重庆市缙云教育联盟高二年级期末考试
数学试题
学校:___________姓名：___________考场：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知集合A=xx20)的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若FM=16FN，则E的离心率为
A. 4155 B. 2155 C. 5 D. 25
4. 已知焦点在x轴上且离心率为32的椭圆E，其对称中心是原点，过点M(0,1)的直线与E交于A，B两点，且AM=2MB，则点B的纵坐标的取值范围是
A. (1,3] B. (1,4] C. (2,4] D. (2,6]
5. 有下列命题：①“a≠5或b≠−5”是“a+b≠0”的必要不充分条件；②已知命题p:对任意负实数x，都有x2−2x+12>0，则¬p是：存在非负实数x，满足x2−2x+12≤0；③已知数列{an}与{bn}满足bn=an+an+1，则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}
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为等差数列”的充分不必要条件；④已知F1,F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，则1PF1+1PF2的最小值为1.其中所有真命题的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
1. 三棱锥P-ABC的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为△ABC的( )
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
2. 设圆C：x2+y2=3，直线l：x+3y−6=0，点Px0,y0∈l，若存在点Q∈C，使得∠OPQ=60°(O为坐标原点)，则x0的取值范围是( )
A. −12,1 B. 0,65 C. 0,1 D. −12,65
3. 将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到352在第二考点，从353到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）
4. 下列命题正确的是
A. 已知x∈R，则“x−10”的充分不必要条件
B. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为y=0.3x−m，若样本中心点为m,−2.8，则m=4
C. 若随机变量X～B100,p，且EX=20，则D12X+1=5
D. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，f(1)=0，则不等式f(log2x)>0的解集为(−12,2)
5. 在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是( )
A. 恰好取到一件次品有C31C471不同取法；
B. 至少取到一件次品有C31C471不同取法；
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C. 两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有C31C471A22不同取法；
D. 把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有C31C471不同种方式．
1. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f(x0)=f(x0+1)=22，且f(x)在(x0,x0+1)上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是( )
A. f(x0+12)=1
B. 若x0=0，则f(x)=sin(πx+π4)
C. f(x)的最小正周期为4
D. f(x)在(0,2020)上的零点个数最少为1010个
2. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点F1(−1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，则下列命题中正确的是( )
A. 曲线C过坐标原点
B. 曲线C关于坐标原点对称
C. 曲线C关于坐标轴对称
D. 若点在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12a2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
3. 已知函数f(x)=x3−3x+1，求曲线y=f(x)过点(1,−2)处的切线方程______．
4. 关于函数f(x)=sinx−cosx+2sinxcosx有如下四个命题：①2π是f(x)的周期；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于x=34π对称；④f(x)的最大值为324.其中所有真命题是________.(填命题序号)
5. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的右端点为A，其中O为坐标原点，若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为____________．
6. 已知向量a→=x2,x+1，b→=1−x,t，若函数fx=a→·b→ 在区间−1,1 上是增函数，则t 的取值范围为 ．
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四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
1. 在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2−c2sinC=32ab．(1)求角C的大小；
(2)若C>π4，c=5，▵ABC的周长为12，求▵ABC的面积．
2. 已知数列an满足：a1=3，且对任意的n∈N*，都有1，an,an+1成等差数列．
(1)证明数列an−1等比数列；
(2)已知数列bn前n和为Sn，条件①：bn=an−1(2n+1)，条件②：bn=n+1an−1，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件来求数列bn前n和Sn．
3. 已知△ABC中，AB⊥BC，BC=12，AB=24，分别取边AB，AC的中点D，E，将▵ADE沿DE折起到△A1DE的位置，设点M为棱A1D的中点，点P为的A1B中点，棱BC上的点N
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满足BN=3NC．
(1)求证：平面A1EC；
(2)试探究△ADE在折起的过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥N−PCE的体积为18，若存在，求出二面角A1−DE−C的大小，若不存在，请说明理由．
1. 某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评+仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”.该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：
教师评分
11
10
9
分数所占比例
14
12
14
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将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．
已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．
(1)求该同学这个题目需要仲裁的概率；
(2)求该同学这个题目得分X的分布列及数学期望E(X)(精确到整数)．
1. 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于P,Q两点．
(1)若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G.记点G的纵坐标为yG，求yG的值．
(2)若p=2，点Mx0,y0在曲线y=-1-x2上且线段MP,MQ的中点均在抛物线C上，记线段PQ的中点为N，ΔMPQ面积为S.用x0,y0表示点N的横坐标，并求S2x02-4y03的值．
2. 已知函数f(x)=lg1−x1+x．
(1)求不等式f(f(x))+f(lg2)>0的解集；
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(2)函数g(x)=2−ax(a>0,a≠1)，若存在x1，x2∈[0,1)，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围；
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查交集及其运算，先分别得出集合A、B，再取交集即可，属于基础题．
【解答】
解：集合A={x|x20恒成立，
所以f(x)在[−2,0)上单调递增，在(0,23]上单调递增，
所以当x=−2时，函数f(x)取得最小值，且f(x)min=f(−2)=121−1e2．
故选D．
3.【答案】B
【解析】
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【分析】
本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，确定a，b，c之间的关系是关键，考查运算能力，属于中档题．
设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，∠MOF=α，∠MOR=β，用a，b表示tanα，tanβ，再求出tan2β，由FM=16FN，得|MN|=5|FM|，可得a，b，c的关系式，结合离心率公式即可得出所求值．
【解答】
解：设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，∠MOF=α，∠MOR=β，
因为tanα=ba，|OF|=c，a2+b2=c2，
所以|OM|=a，|FM|=b，tanβ=ab，
所以tan2β=2tanβ1−tan2β=2abb2−a2．
又因为|OM|=a，所以MN=atan2β=2a2bb2−a2．
又由FM=16FN，得|MN|=5|FM|，即2a2bb2−a2=5b，
结合a2+b2=c2整理可得12a2=5c2，即离心率e=2155．
故选B．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量法求解相关范围问题，属于中档题.根据椭圆的离心率可设椭圆E的标准方程为x024m+y02m=1(m>1)，设B(x0,y0)，由向量关系得到A(−2x0,3−2y0).然后将点的坐标代入椭圆方程，得到y0=14(m+3).由y02≤m即可得到答案．
【解答】
解：设B(x0,y0)，A(x,y)，
则由AM=2MB，可得(−x,1−y)=2(x0,y0−1)，
解得x=−2x0，y=3−2y0，即A(−2x0,3−2y0).
由题意可设椭圆E的标准方程为x024m+y02m=1(m>1)，
所以x024m+y02m=1(−2x0)24m+(3−2y0)2m=1,
消去x0，y0的平方项，得y0=14(m+3)，
由y02≤m，即(m+3)216≤m，
解得1≤m≤9，又m>1，所以10，则¬p是：存在非负实数x，满足x2−2x+12≤0，故②是真命题，
③若数列an为等差数列，设公差为d，则当n≥2时，bn−bn−1=an+an+1−an−1−an=an+1−an+an−an−1=2d，为常数，则数列{bn}为等差数列，即充分性成立，
若数列bn为等差数列，设公差为b，则n≥2时，bn−bn−1=an+an+1−an−1−an=an+1−an−1=d为常数，则无法推出an−an−1为常数，即无法判断数列{an}为等差数列，即必要性不成立，
即“数列an为等差数列”是“数列bn为等差数列”充分不必要条件，故③正确，
④由题意可知a2=4，b2=1，∴c2=3.设|PF1|=x，|PF2|=y，x+y=4，且2−3≤x≤2+3，1|PF1|+1|PF2|=|PF1|+|PF2||PF1||PF2|=4xy=4x(4−x)，
令f(x)=x(4−x)=−x2+4x=−(x−2)2+4，2−3≤x≤2+3，∴1≤f(x)≤4，∴1PF1+1PF2的最小值为1，故④正确，
②③④正确，故选B．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面与平面垂直的性质，线面垂直、线线垂直的判定，以及棱锥的结构特征，属于中档题，
三个侧面两两垂直，可得三条侧棱两两垂直，根据线面垂直、线线垂直的转化，可得结论．
【解答】
解：由三棱锥P−ABC的三个侧面两两垂直，可得三条侧棱两两垂直，
由PA⊥PB，PA⊥PC，PB、PC⊂平面PBC，PB∩PC=P，
∴PA⊥平面PBC，
又BC⊂平面PBC.∴PA⊥BC．
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设点P在底面ABC的射影是O，则PO⊥平面ABC，
∵BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC．
又PA、PO为平面PAO内两条相交直线，
∴BC⊥平面PAO，AO在平面PAO内，则BC⊥OA；
同理可证AB⊥OC，AC⊥OB，故O为△ABC的垂心．
故选D．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，属于较难题．
解题的关键是结合图形，利用几何知识，判断出PO≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围．
【解答】
解：圆C外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值，
因为sin∠OPQ=QOPO，QO为定值，即半径，
PO变大，则sin∠OPQ变小，由于∠OPQ∈(0,π2)，
所以∠OPQ也随之变小，可以得知，
当∠OPQ=60°，且PQ与圆相切时，PO=2，
而当PO>2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ
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