山东省烟台市2021届高三上学期期末考试数学试题

‎2020-2021学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学 注意事项：‎ ‎1.本试题满分150分，考试时间为120分钟．‎ ‎2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上． ‎ ‎3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答 题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。‎ ‎1.已知集合，，则 A. B. C. D.‎ ‎2.已知命题，，则为 A.， B.，‎ C.， D.，‎ ‎3.已知等差数列的前项和为，若，，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品. 如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为（单位：） ‎ A. B. C. D.‎ 7‎ ‎5.若，则 A. B. C. D. ‎ ‎6.右图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以为圆心，以为半径，为公园入口，道路为东西方向，道路经过点且向正北方向延伸，，，现计划从处起修一条新路与道路相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.如图所示，平面向量的夹角为，，点关于点的对称点为点，点关于点的对称点为点，则为 ‎ A. B. C. D.无法确定 ‎8.已知函数，若方程有个不 同的实根，从小到大依次为，则下列说法错误的是 A. B.当时，‎ C.当且时， D.当时， ‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数图象，则 ‎ 7‎ A.是函数的一个解析式 B.直线是函数图象的一条对称轴 C.函数是周期为的奇函数 D.函数的递减区间为 ‎10.已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于、两点，其中在第一象限，若，则 A. B. C.以为直径的圆与轴相切 D. ‎11.已知，，下列命题中正确的是 ‎ A.若，则 ‎ B.若，则 C.若，则 ‎ D.若，则 ‎12.已知函数，，则 ‎ A.函数在上无极值点 B.函数在上存在唯一极值点 ‎ C.若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为 ‎ 7‎ D.若，则的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 ‎ ‎13.已知为双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线交C于A、B两点，若，则的离心率为 . ‎ ‎14.已知数列满足，，用表示不超过的最大整数，则数列的前项和为 . ‎ ‎15.测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量某建筑物高度，如图所示，已知该建筑物垂直于水平面，水平面上两点的距离为，，，，则该建筑物的高度为 （单位：）. ‎ ‎16.一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截 下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式，其中为球的半径，‎ 为球缺的高.若一球与一棱长为的正四面体的各棱均相切，则该球的半径为 ，‎ 该球被此正四面体的一个侧面所截得的球缺（小于半球）的体积为 .（本题第 一空2分，第二空3分） ‎ 7‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（10分）‎ 在①，②，③‎ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.‎ ‎ 问题：已知内角的对边分别是，， ，求的最大值.‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.‎ ‎18.（12分）‎ 已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎19.（12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）当点在线段的何位置时，平面与平面所成 锐二面角的大小为？指出点的位置，并说明理由.‎ 7‎ ‎20.（12分）‎ 在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点，飞机降落曲线大致为，其中（单位：）表示飞机距离着陆点的水平距离，（单位：）表示飞机距离着陆点的竖直高度. 假设飞机开始降落时的竖直高度为，距离着陆点的水平距离为，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落时的降落曲线与水平方向的直线相切.‎ ‎（1）用分别表示和；‎ ‎（2）若飞机开始降落时的水平速度，且在整个降落过程中水平速度保持不变，另外，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加速度（即关于降落时间（单位：）的导函数的导数）的绝对值不超过，求飞机开始降落时距离着陆点的水平距离的最小值.‎ ‎21.（12分）‎ 已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右焦点，过斜率不为零的直线交椭圆于两点，的周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为椭圆的右顶点，直线分别交直线于 7‎ 两点，试判断以为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由.‎ ‎22.（12分）‎ 已知函数(，为自然对数的底数）.‎ ‎（1）若在定义域内有唯一零点，求的取值范围；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围.‎ 7‎