第1课时曲线运动 运动的合成与分解
考点考级
命题点
考查频率
曲线运动的条件及轨迹(Ⅰ)
命题点1：曲线运动的理解及判断
命题点2：物体做曲线运动的条件及运动轨迹分析
2016·课标卷Ⅰ，18
运动的合成与分解及应用(Ⅱ)
命题点1：运动性质的分析
命题点2：运动合成实例分析
————
关联速度问题(Ⅰ)
命题点1：绳牵连物体运动问题
命题点2：杆牵连物体运动问题
————
考点一 曲线运动的条件及轨迹(高频15)
[诊断小练]
(1)变速运动一定是曲线运动．( )
(2)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化．( )
100
(3)做曲线运动的物体加速度可以为零．( )
(4)做曲线运动的物体加速度可以不变．( )
(5)曲线运动有可能是匀变速运动．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
命题点1 曲线运动的理解及判断
1．关于曲线运动的性质，以下说法正确的是( )
A．曲线运动一定是变速运动
B．曲线运动一定是变加速运动
C．变速运动不一定是曲线运动
D．运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动一定是直线运动
【解析】 曲线运动的速度方向是时刻发生变化的，因此是变速运动，A正确；加速度是否发生变化要看合外力是否发生变化，斜向上抛到空中的物体做曲线运动，但加速度大小不变，B错误；变速运动也可能是只有速度的大小发生变化，它就不是曲线运动，C正确；由匀速圆周运动知，D错误．
【答案】 AC
命题点2 物体做曲线运动的条件及运动轨迹分析
2．(2018·山东泰安高三上学期期中)一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变．则该质点( )
A．不可能做匀变速运动
B．速度的大小保持不变
C．速度的方向总是与该恒力的方向垂直
D．任意相等时间内速度的变化量总相同
【解析】 恒力施加后，物体一定做匀变速运动，可能是曲线运动，也可能是直线运动，故选项D正确．
100
【答案】 D
3.(2014·四川卷，8(1))小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹．图中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是 ________(填轨迹字母代号)．实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向 ________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动．
【解析】 力改变运动状态，当力与速度共线时物体做直线运动，不共线时物体做曲线运动，物体做曲线运动总是由初速度方向弯向合外力方向，且只能无限接近合外力方向．
【答案】 b c 不在
合力、速度、轨迹之间的关系
做曲线运动的物体，其速度方向与运动轨迹相切，所受的合力方向与速度方向不在同一条直线上，合力改变物体的运动状态，据此可以判断：
(1)已知运动轨迹，可以判断合力的大致方向在轨迹的包围区间(凹侧)，如图所示．在电场中，经常根据这一规律确定带电粒子所受的电场力方向，进而分析粒子的电性或场强方向．
(2)运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间，根据受力方向和速度方向可以判断轨迹的大致弯曲方向．
(3)根据合力方向与速度方向的夹角，判断物体的速率变化情况：夹角为锐角时，速率变大；夹角为钝角时，速率变小；合力方向与速度方向垂直时，速率不变，这是匀速圆周运动的受力条件．
考点二 运动的合成与分解及应用
100
1.
2．合运动的性质判断
3．两个直线运动的合运动性质的判断
标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线 运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线 运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为 匀变速直线 运动
如果v合与a合不共线，为 匀变速曲线 运动
[诊断小练]
(1)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等．( )
(2)合运动的速度一定比分运动的速度大．( )
(3)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动．( )
(4)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则．( )
(5)合运动不一定是物体的实际运动．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
100
命题点1 运动性质的分析
4．物体受到几个力的作用处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能做( )
A．匀速直线运动或静止 B．匀变速直线运动
C．非匀变速曲线运动 D．匀变速曲线运动
【解析】 物体处于平衡状态，则原来几个力的合力一定为零，现受到另一恒力作用，物体一定做变速运动，A错误．若物体原来做匀速直线运动，且速度方向与恒力方向共线，则物体做匀变速直线运动，B正确．若速度方向与恒力方向不在同一直线上，则物体做曲线运动．因施加的力是恒力，物体的加速度也是恒定的，因此物体做匀变速曲线运动，C错误，D正确．
【答案】 BD
命题点2 运动合成实例分析
5．如图所示，起重机将货物沿竖直方向以速度v1匀速吊起，同时又沿横梁以速度v2水平匀速向右运动，关于货物的运动下列表述正确的是( )
A．货物的实际运动速度为v1＋v2
B．货物的实际运动速度为
C．货物相对地面做曲线运动
D．货物相对地面做直线运动
【解析】 货物的实际速度为，选项B正确，A错误；货物的速度大小和方向均不变，做直线运动，D正确，C错误．
【答案】 BD
考点三 关联速度问题
100
1．模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法
合速度→绳拉物体的实际运动速度v
分速度→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如下图所示．
命题点1 绳牵连物体运动问题
6.如图所示，A、B两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮相连，现在将A球以速度v向左匀速移动，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，下列说法正确的是( )
100
A．此时B球的速度为 v
B．此时B球的速度为 v
C．在β增大到90°的过程中，B球做匀速运动
D．在β增大到90°的过程中，B球做加速运动
【解析】 由速度的合成与分解知，A、B两球沿绳方向的分速度相等，则vcos α＝vBcos β，可得vB＝v，A正确，B错误；在A球向左匀速运动的过程中，α减小、β增大，余弦函数为减函数，故在β增大到90°的过程中，B球做加速运动，C错误，D正确．
【答案】 AD
命题点2 杆牵连物体运动问题
7.在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑细杆AB的两个端点A、B被分别约束在x轴和y轴上运动，现让A沿x轴正方向以v0匀速运动，已知P点为杆的中点，杆AB与x轴的夹角为θ，下列关于P点的运动轨迹和P点的运动速度大小v的表达式正确的是( )
A．P点的运动轨迹是一条直线
B．P点的运动轨迹是圆的一部分
C．P点的运动速度大小v＝v0tan θ
D．P点的运动速度大小v＝
【解析】 设P点坐标为(x，y)，则A、B点的坐标分别为(2x,0)、(0,2y)，AB长度一定，设为L，根据勾股定理，
有(2x)2＋(2y)2＝L2，解得x2＋y2＝2，
故P点的运动轨迹是圆的一部分，故A错误，B正确．
100
画出运动轨迹，如图所示，
速度v与杆的夹角
α＝90°－2θ
由于杆不可伸长，故P点的速度沿杆方向的分速度与A点速度沿杆方向的分速度相等，故
vcos α＝v0cos θ，
vcos (90°－2θ)＝v0cos θ，
解得v＝，故C错误，D正确．
【答案】 BD
绳(杆)端速度分解思路
物理建模系列(五) 小船渡河模型分析
1．模型构建
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究．这样的运动系统可看作“小船渡河模型”．
100
2．模型展示
3．三种速度：v1(水的流速)、v2(船在静水中的速度)、v(船的实际速度)．
4．三种情景
过河要求
过河方法
图象
以最短时间过河
①船头垂直对岸(在下游上岸)
tmin＝
以最短位移过河
②v2＞v1时，船头指向上游，垂直到达对岸．
位移x＝d，船头方向与河岸方向的夹角为θ，那么cos θ＝
渡河时间t＝位移x＝
③v2mAg，物块A处于超重状态，B对．
【答案】 B
[创新导向练]
7．生活科技——曲线运动的条件在飞行中孔明灯的应用
春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福，如图甲所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的( )
A．直线OA B．曲线OB
C．曲线OC D．曲线OD
【解析】 孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，则合外力沿Oy方向，在水平Ox方向做匀速运动，此方向上合力为零，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹内侧可知轨迹可能为曲线OD，故D正确．
【答案】 D
8．体育运动——足球运动中的力学问题
100
在足球场上罚任意球时，运动员踢出的足球，在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示．关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法中正确的是( )
A．合外力的方向与速度方向在一条直线上
B．合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧
C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向
D．合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向
【解析】 足球做曲线运动，则其速度方向为轨迹的切线方向，根据物体做曲线运动的条件可知，合外力的方向一定指向轨迹的内侧，故C正确．
【答案】 C
9．生活科技——教具中的运动合成与分解的原理
如图所示为竖直黑板，下边为黑板的水平槽，现有一三角板ABC，∠C＝30°.三角板上A处固定一大小不计的滑轮．现让三角板竖直紧靠黑板，BC边与黑板的水平槽重合，将一细线一端固定在黑板上与A等高的Q点，另一端系一粉笔头(可视为质点)．粉笔头最初与C重合，且细线绷紧．现用一水平向左的力推动三角板向左移动，保证粉笔头紧靠黑板的同时，紧靠三角板的AC边，当三角板向左移动的过程中，粉笔头会在黑板上留下一条印迹．关于此印迹，以下说法正确的是( )
A．若匀速推动三角板，印迹为一条直线
B．若匀加速推动三角板，印迹为一条曲线
C．若变加速推动三角板，印迹为一条曲线
D．无论如何推动三角板，印迹均为直线，且印迹与AC边成75°角
【解析】
100
在三角板向左移动的过程中，粉笔头沿AC边向上运动，且相对于黑板水平方向向左运动，由于两个分运动的速度始终相等，故粉笔头的印迹为一条直线，如图中CD所示，A正确，B、C错误；根据图中的几何关系可得，∠ACD＝∠ADC＝＝75°，D正确．
【答案】 AD
10．科技前沿——做曲线运动的波音737飞机
如图所示，从广州飞往上海的波音737航班上午10点到达上海浦东机场，若飞机在降落过程中的水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前( )
A．飞机的运动轨迹为曲线
B．经20 s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C．在第20 s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D．飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s
【解析】 由于合初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s末的水平分速度为20 m/s，竖直方向的分速度为2 m/s，B错误；飞机在第20 s内，水平位移x＝－＝21 m，竖直位移y＝－＝2.1 m，C错误．飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s，D正确．
【答案】 D
[综合提升练]
11．如图甲所示，质量m＝2.0 kg的物体在水平外力的作用下在水平面上运动，已知物体沿x方向和y方向的xt图象和vyt图象如图乙、丙所示，t＝0时刻，物体位于原点O.g取10 m/s2.根据以上条件，求：
100
(1)t＝10 s时刻物体的位置坐标；
(2)t＝10 s时刻物体的速度大小．
【解析】 (1)由图可知坐标与时间的关系为：
在x轴方向上：x＝3.0t m，在y轴方向上：y＝0.2t2 m
代入时间t＝10 s，可得：
x＝3.0×10 m＝30 m，y＝0.2×102 m＝20 m
即t＝10 s时刻物体的位置坐标为(30 m,20 m)．
(2)在x轴方向上：v0＝3.0 m/s
当t＝10 s时，vy＝at＝0.4×10 m/s＝4.0 m/s
v＝＝m/s＝5.0 m/s
【答案】 (1)(30 m,20 m) (2)5.0 m/s
12．如图所示，在竖直平面内的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平向右．设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力．一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4 m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示(坐标格为正方形，g＝10 m/s2)求：
(1)小球在M点的速度v1；
(2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；
(3)小球到达N点的速度v2的大小．
【解析】 (1)设正方形的边长为x0.
100
竖直方向做竖直上抛运动，有v0＝gt1,2x0＝t1
水平方向做匀加速直线运动，有3x0＝t1.
解得v1＝6 m/s.
(2)由竖直方向的对称性可知，小球再经过t1到x轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x轴时落到x＝12处，位置N的坐标为(12,0)．
(3)到N点时竖直分速度大小为v0＝4 m/s
水平分速度vx＝a水平tN＝2v1＝12 m/s，
故v2＝＝4 m/s.
【答案】 (1)6 m/s (2)见解析图 (3)4 m/s
第2课时平抛运动
考点考级
命题点
考查频率
平抛运动的规律及应用(Ⅱ)
命题点1：平抛运动的规律及应用
命题点2：类平抛运动
2017·课标卷Ⅰ，15
多体平抛运动问题分析(Ⅱ)
命题点1：从同一竖直线(同一点)上抛出多个物体问题
命题点2：从不同竖直线上抛出多个物体问题
————
平抛运动中的临界问题(Ⅱ)
命题点1：用极端分析法分析临界问题
命题点2：用对称法分析临界问题
2015·课标卷Ⅰ，18
100
考点一 平抛运动的规律及应用(高频16)
1.
2．基本规律(如图)
(1)位移关系
(2)速度关系
3．速度变化量：做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示．
100
4．两个重要推论：
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示．
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α.
[诊断小练]
(1)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化．( )
(2)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动．( )
(3)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大．( )
(4)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大．( )
(5)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
命题点1 平抛运动的规律及应用
1．(2017·课标卷Ⅰ，15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
100
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
【解析】 在竖直方向，球做自由落体运动，由h＝ gt2知，选项A、D错误．
由v2＝2gh知，选项B错误．
在水平方向，球做匀速直线运动，通过相同水平距离，速度大的球用时少，选项C正确．
【答案】 C
2.如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B点，不计空气阻力．求：
(1)抛出后经多长时间物体与斜面间距离最大？
(2)A、B间的距离为多少？
【解析】
解法一：以抛出点为坐标原点沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，(如图所示)
vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ，
ax＝gsin θ，ay＝gcos θ.
物体沿斜面方向做初速度为vx，加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy，加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．
(1)令vy′＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝，
(2)当t＝时，离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝，
100
AB间距离x＝s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2
＝.
解法二：(1)如图所示当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为横坐标的中点P，
则tan θ＝＝，t＝.
(2)＝y＝gt2＝，
而∶＝1∶3，
所以＝Y＝4y＝，
AB间距离s＝＝.
解法三：(1)设物体运动到C点离斜面最远，所用时间为t，将v分解成vx和vy，如图甲所示，则由tan θ＝＝，得t＝.
(2)设由A到B所用时间为t′，水平位移为x，竖直位移为y，如图乙所示，由图可得tan θ＝，y＝xtan θ①
y＝gt′2②
x＝v0t′③
100
由①②③得：t′＝
而x＝v0t′＝，
因此A、B间的距离s＝＝.
【答案】 (1) (2)
命题点2 类平抛运动
3．如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端，两斜面间距大于小球直径．若同时释放，a、b、c小球到达水平面的时间分别为t1、t2、t3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′.下列关于时间的关系正确的是( )
A．t1＞t3＞t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′
C．t1′＞t3′＞t2′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′
【解析】 由静止释放三小球时，
对a：＝gsin 30°·t，则t＝.
对b：h＝gt，则t＝.
对c：＝gsin 45°·t，则t＝.
所以t1＞t3＞t2.
当平抛三小球时：小球b做平抛运动，竖直方向运动情况同第一次情况，小球a、c在斜面内做类平抛运动，沿斜面向下方向的运动同第一次情况，所以t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′.故选A、B、C.
【答案】 ABC
100
分解思想在平抛运动中的应用
(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度．
(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量．
考点二 多体平抛运动问题分析
1．多体平抛运动问题是指多个物体在 同一竖直平面内 平抛时所涉及的问题．
2．三类常见的多体平抛运动
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在 同一 高度，二者间距只取决于两物体的 水平 分运动．
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差 相同 ，二者间距由两物体的 水平分运动 和 竖直高度差 决定．
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间 均匀增大 ，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．
命题点1 从同一竖直线(同一点)抛出多个物体问题
4．如图所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向上．图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹．小球a从(0,2L)抛出，落在(2L,0)处；小球b、c从(0，L)抛出，分别落在(2L,0)和(L,0)处．不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．a和b初速度相同
100
B．b和c运动时间相同
C．b的初速度是c的两倍
D．a运动时间是b的两倍
【解析】 b、c的高度相同，小于a的高度，根据h＝gt2，得t＝，知b、c的运动时间相同，a的运动时间是b的运动时间的倍．故B正确，D错误；因为a的运动时间长，但是水平位移相同，根据x＝v0t知，a的水平速度小于b的水平速度．故A错误；b、c的运动时间相同，b的水平位移是c的水平位移的两倍，则b的初速度是c的初速度的两倍．故C正确．故选B、C.
【答案】 BC
命题点2 从不同竖直线上抛出多个物体问题
5.(2018·华中师大第一附中高三上学期期中)如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端c处．在c点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的三等分点d处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A．ta＝tb B．ta＝3tb
C．va＝vb D．va＝vb
【解析】 对于a球：h＝gt，x＝vata；对于b球：＝gt，x＝vb·tb，由以上各式得：ta＝tb，va＝vb，故A对．
【答案】 A
(1)物体做平抛运动的时间由物体被抛出点的高度决定，而物体的水平位移由物体被抛出点的高度和物体的初速度共同决定．
(2)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处.
100
考点三 平抛运动中的临界问题(高频17)
处理平抛运动中的临界问题要抓住两点
(1)找出临界状态对应的临界条件．
(2)要用分解速度或者分解位移的思想分析平抛运动中的临界问题．
命题点1 用极端分析法分析临界问题
所谓极端分析法，是指两个变量之间的关系，若是单调上升或单调下降的函数关系，可以通过连续地改变某个变量甚至达到变化的极端，来对另一个变量进行判断的研究方法．
6.如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水平击出．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)
(1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？
(2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度．
【解析】 (1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x1＝3 m，竖直位移y1＝h2－h1＝(2.5－2)m＝0.5 m，根据位移关系x＝vt，y＝gt2，可得v＝x，代入数据可得v1＝3 m/s，即所求击球速度的下限．
100
设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x2＝12 m，竖直位移y2＝h2＝2.5 m，代入上面的速度公式v＝x，可求得v2＝12 m/s，即所求击球速度的上限．
欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足
3 m/s
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