山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

‎2020-2021学年度第一学期期末学业水平诊断 高二数学 注意事项：‎ ‎1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。 ‎ ‎3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答 题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.数列的通项公式可能是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.与双曲线有公共焦点且离心率为的椭圆的标准方程为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数.他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数；正方形数；等等.右图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第项为 ‎ 7‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设是椭圆的焦点，若椭圆上存在一点满足，则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎6.已知数列满足， ，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图是一水平放置的青花瓷.它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称.若该花瓶的 最小直径为，瓶口直径为，瓶高为，则该双曲线 的虚轴长为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知数列的通项公式为，将数列中的整数从小到大排列得到新数列，则的前项和为 ‎ A. B. C. D.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9.下列命题中正确的是 7‎ A.双曲线与直线有且只有一个公共点 B.平面内满足的动点的轨迹为双曲线 C.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D.过给定圆上一定点作圆的动弦，则弦的中点的轨迹为椭圆 ‎10.若数列满足，则称为斐波那契数列.记数列的前项和为，则 A. B.‎ C. D.‎ ‎11.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，‎ 为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，‎ 若为钝角，则该椭圆的离心率可能为 A. B. C. D. ‎ ‎12.已知数列，则 ‎ A.数列的第项均为 B.是数列的第项 C.数列前项和为 D.数列前项和为 7‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 ‎ ‎13.已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为 ‎14.已知椭圆:的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的方程为 ‎15.已知为等比数列的前项和，，，则的值为 ‎16.汽车前照灯的反射镜为一个抛物面.它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上.由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过透镜的折射等作用达到照亮路面的效果.如图，从灯泡发出的光线经抛物线反射后，沿平行射出， 的角平分线所在的直线方程为，则抛物线方程为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（10分）‎ 从条件①，②，③中任选一个补充在下面问题中，并解答.‎ 问题：已知数列的各项均为正数，为等比数列，， ， ，求数列的前项和.‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.‎ 7‎ ‎18.（12分）‎ 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设，点为轨迹上一点，且，求的面积.‎ ‎19.（12分）‎ 在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会超出一些买主的支付能力，贷款消费不失为一种可行的选择，但是也要量入为出，理智消费.某家庭计划在2021年元旦从某银行贷款万元购置一辆轿车，贷款时间为个月.该银行现提供了两种可选择的还款方案：方案一是以月利率的复利计息，每月底还款，每次还款金额相同；方案二是以季度利率的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同.（注：复利是指把前一期的利息与本金之和作为本金，再计算下一期的利息.）‎ ‎（1）分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额为多少万元？（结果精确到小数点后三位，参考数据：，.）‎ ‎（2）从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选择哪种方案？说明理由.‎ ‎20.（12分）‎ 7‎ 已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于两点.‎ ‎（1）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；‎ ‎（2）若点是直线上的动点，且，求面积的最小值.‎ ‎21.（12分）‎ 已知是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，轴，，椭圆的短轴长等于.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设为直线上一点，为椭圆上一点，且以为直径的圆过坐标原点，求的取值范围.‎ ‎22.（12分） ‎ 已知等比数列的前项和为，，.数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）分别求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若，为数列的前项和，是否存在不同的正整数 7‎ ‎（其中成等差数列），使得成等比数列？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.‎ 7‎