2018全国Ⅲ文科数学高考真题

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．‎ A． B． C． D．‎ ‎3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ‎4．若，则 A． B． C． D．‎ ‎5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7‎ ‎6．函数的最小正周期为 A． B． C． D．‎ ‎7．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A． B． C． D．‎ ‎8．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎9．函数的图像大致为 ‎10．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为 A． B． C． D．‎ ‎11．的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则 A． B． C． D．‎ ‎12．设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥 体积的最大值为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知向量，，．若，则________．‎ ‎14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．‎ ‎15．若变量满足约束条件则的最大值是________．‎ ‎16．已知函数，，则________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 等比数列中，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记为的前项和．若，求．‎ ‎18．（12分）‎ 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：‎ ‎（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；‎ ‎（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：‎ 超过 不超过 第一种生产方式 第二种生产方式 ‎（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？‎ 附：，．‎ ‎19．（12分）‎ 如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．‎ ‎20．（12分）‎ 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点． ‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求中点的轨迹的参数方程．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数．‎ ‎（1）画出的图像；‎ ‎（2）当，，求的最小值．‎ 绝密★启用前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C ‎ ‎7．B 8．A 9．D 10．D 11．C 12．B 二、填空题 ‎13． 14．分层抽样 15．3 16．‎ 三、解答题 ‎17．（12分）‎ 解：（1）设的公比为，由题设得．‎ 由已知得，解得（舍去），或．‎ 故或．‎ ‎（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．‎ 若，则．由得，解得．‎ 综上，．‎ ‎18．（12分）‎ 解：（1）第二种生产方式的效率更高．‎ 理由如下：‎ ‎（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．‎ ‎（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．‎ ‎（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产 任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．‎ 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．‎ ‎（2）由茎叶图知．‎ 列联表如下：‎ 超过 不超过 第一种生产方式 ‎15‎ ‎5‎ 第二种生产方式 ‎5‎ ‎15‎ ‎（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．‎ ‎19．（12分）‎ 解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．‎ 因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．‎ 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．‎ 又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．‎ 而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．‎ ‎（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．‎ 证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．‎ 连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．‎ MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．‎ ‎20．（12分）‎ 解：（1）设，，则，．‎ 两式相减，并由得．‎ 由题设知，，于是．‎ 由题设得，故．‎ ‎（2）由题意得F（1，0）．设，则 ‎．‎ 由（1）及题设得，．‎ 又点P在C上，所以，从而，．‎ 于是．‎ 同理．‎ 所以．‎ 故．‎ ‎21．（12分）‎ 解：（1），．‎ 因此曲线在点处的切线方程是．‎ ‎（2）当时，．‎ 令，则．‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增；‎ 所以．因此．‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 解：（1）的直角坐标方程为．‎ 当时，与交于两点．‎ 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎（2）的参数方程为为参数，．‎ 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．‎ 于是，．又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是为参数，．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 解：（1）‎ 的图像如图所示．‎ ‎（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为