2018全国Ⅰ卷文科数学高考真题

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．设，则 A．0 B． C． D．‎ ‎3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：‎ 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎4．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎6．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D．‎ ‎7．在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎8．已知函数，则 A．的最小正周期为π，最大值为3‎ B． 的最小正周期为π，最大值为4‎ C． 的最小正周期为，最大值为3‎ D．的最小正周期为，最大值为4‎ ‎9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 A． B． ‎ C． D．2‎ ‎10．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且 ‎，则 A． B． C． D．‎ ‎12．设函数，则满足的x的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知函数，若，则________．‎ ‎14．若满足约束条件则的最大值为________．‎ ‎15．直线与圆交于两点，则________．‎ ‎16．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 已知数列满足，，设．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（3）求的通项公式．‎ ‎18．（12分）‎ 如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．‎ ‎19．（12分）‎ 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：‎ 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎26‎ ‎5‎ 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎5‎ ‎（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：‎ ‎（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；‎ ‎（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）‎ ‎20．（12分）‎ 设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．‎ ‎（1）当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D ‎ ‎7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D 二、填空题 ‎13．-7 14．6 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由条件可得an+1=．‎ 将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．‎ 将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．‎ 从而b1=1，b2=2，b3=4．‎ ‎（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ 由条件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ ‎（3）由（2）可得，所以an=n·2n-1．‎ ‎18．解：（1）由已知可得，=90°，．‎ 又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．‎ 又AB平面ABC，‎ 所以平面ACD⊥平面ABC．‎ ‎（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．‎ 又，所以．‎ 作QE⊥AC，垂足为E，则．‎ 由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．‎ 因此，三棱锥的体积为 ‎．‎ ‎19．解：（1）‎ ‎（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为 ‎0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，‎ 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．‎ ‎（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 ‎．‎ 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 ‎．‎ 估计使用节水龙头后，一年可节省水．‎ ‎20．解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．‎ 所以直线BM的方程为y=或．‎ ‎（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．‎ 当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．‎ 由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．‎ 直线BM，BN的斜率之和为 ‎．①‎ 将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得 ‎．‎ 所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN．‎ 综上，∠ABM=∠ABN．‎ ‎21．解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．‎ 由题设知，f ′（2）=0，所以a=．‎ 从而f（x）=，f ′（x）=．‎ 当0