2018全国Ⅱ卷理科数学高考真题

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，则中元素的个数为 ‎ A．9 B．8 C．5 D．4‎ ‎3．函数的图像大致为 ‎ ‎4．已知向量，满足，，则 A．4 B．3 C．2 D．0‎ ‎5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎6．在中，，，，则 A． B． C． D．‎ ‎7．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎10．若在是减函数，则的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 A． B．0 C．2 D．50‎ ‎12．已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． ‎ B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎14．若满足约束条件 则的最大值为__________．‎ ‎15．已知，，则__________．‎ ‎16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求，并求的最小值．‎ ‎18．（12分）‎ 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．‎ ‎（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；‎ ‎（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．‎ ‎19．（12分）‎ 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．‎ ‎（1）求的方程 ‎（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．‎ ‎20．（12分）‎ 如图，在三棱锥中，，，为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若，证明：当时，；‎ ‎（2）若在只有一个零点，求．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为 ‎（为参数）．‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．‎ ‎23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ 绝密★启用前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A ‎7．B 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D 二、填空题 ‎13． 14．9 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：‎ ‎（1）设的公差为d，由题意得．‎ 由得d=2．‎ 所以的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得．‎ 所以当n=4时，取得最小值，最小值为−16．‎ ‎18．解：‎ ‎（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ‎(亿元)．‎ 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ‎(亿元)．‎ ‎（2）利用模型②得到的预测值更可靠．‎ 理由如下：‎ ‎（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．‎ ‎（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．‎ 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．‎ ‎19．解：‎ ‎（1）由题意得，l的方程为．‎ 设，‎ 由得．‎ ‎，故．‎ 所以．‎ 由题设知，解得（舍去），．‎ 因此l的方程为．‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即．‎ 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或 因此所求圆的方程为或．‎ ‎20．解：‎ ‎（1）因为，为的中点，所以，且．‎ 连结．因为，所以为等腰直角三角形，‎ 且，．‎ 由知．‎ 由知平面．‎ ‎（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．‎ 由已知得取平面的法向量．‎ 设，则．‎ 设平面的法向量为．‎ 由得，可取，‎ 所以．‎ 由已知可得．‎ 所以．解得（舍去），．‎ 所以．‎ 又，所以．‎ 所以与平面所成角的正弦值为．‎ ‎21．解：‎ ‎（1）当时，等价于．‎ 设函数，则．‎ 当时，，所以在单调递减．‎ 而，故当时，，即．‎ ‎（2）设函数．‎ 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．‎ ‎（i）当时，，没有零点；‎ ‎（ii）当时，．‎ 当时，；当时，．‎ 所以在单调递减，在单调递增．‎ 故是在的最小值．‎ ‎①若，即，在没有零点；‎ ‎②若，即，在只有一个零点；‎ ‎③若，即，由于，所以在有一个零点，‎ 由（1）知，当时，，所以．‎ 故在有一个零点，因此在有两个零点．‎ 综上，在只有一个零点时，．‎ ‎22．解：‎ ‎（1）曲线的直角坐标方程为．‎ 当时，的直角坐标方程为，‎ 当时，的直角坐标方程为．‎ ‎（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 ‎．①‎ 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．‎ 又由①得，故，于是直线的斜率．‎ ‎23．解：‎ ‎（1）当时，‎ 可得的解集为．‎ ‎（2）等价于．‎ 而，且当时等号成立．故等价于．‎ 由可得或，所以的取值范围是