2019年数学普通高等学校招生全国统一考试
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2019年数学普通高等学校招生全国统一考试

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资料简介
绝密★本科目考试启用前 ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理)(北京卷)‎ 本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)已知复数z=2+i,则 ‎(A) (B) (C)3 (D)5‎ ‎(2)执行如图所示的程序框图,输出的s值为 ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎(3)已知直线l的参数方程为(t为参数),则点(1,0)到直线l的距离是 名师解读,权威剖析,独家奉献,打造不一样的高考!‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(4)已知椭圆(a>b>0)的离心率为,则 ‎(A)a2=2b2 (B)3a2=4b2 (C)a=2b (D)3a=4b ‎(5)若x,y满足,且y≥−1,则3x+y的最大值为 ‎(A)−7 (B)1 (C)5 (D)7‎ ‎(6)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2−m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是−26.7,天狼星的星等是−1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 ‎(A)1010.1 (B)10.1 (C)lg10.1 (D)10−10.1‎ ‎(7)设点A,B,C不共线,则“与的夹角为锐角”是“”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:就是其中之一(如图).给出下列三个结论:‎ ‎①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);‎ ‎②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;‎ 名师解读,权威剖析,独家奉献,打造不一样的高考!‎ ‎③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.‎ 其中,所有正确结论的序号是 ‎(A)① (B)② (C)①② (D)①②③‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9)函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________.‎ ‎(10)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=−3,S5=−10,则a5=__________,Sn的最小值为__________.‎ ‎(11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为__________.‎ ‎(12)已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:‎ ‎①l⊥m; ②m∥; ③l⊥.‎ 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__________.‎ ‎(13)设函数f(x)=ex+ae−x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=________;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是___________.‎ 名师解读,权威剖析,独家奉献,打造不一样的高考!‎ ‎(14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.‎ ‎①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;‎ ‎②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为__________.‎ 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。‎ ‎(15)(本小题13分)‎ 在△ABC中,a=3,b−c=2,cosB=.‎ ‎(Ⅰ)求b,c的值;‎ ‎(Ⅱ)求sin(B–C)的值.‎ ‎(16)(本小题14分)‎ 如图,在四棱锥P–ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:CD⊥平面PAD;‎ ‎(Ⅱ)求二面角F–AE–P的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)设点G在PB上,且.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.‎ ‎(17)(本小题13分)‎ 名师解读,权威剖析,独家奉献,打造不一样的高考!‎ 改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:‎ 支付金额(元)‎ 支付方式 ‎(0,1000]‎ ‎(1000,2000]‎ 大于2000‎ 仅使用A ‎18人 ‎9人 ‎3人 仅使用B ‎10人 ‎14人 ‎1人 ‎(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;‎ ‎(Ⅱ)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.‎ ‎(18)(本小题14分)‎ 已知抛物线C:x2=−2py经过点(2,−1).‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;‎ ‎(Ⅱ)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=−1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.‎ ‎(19)(本小题13分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)当时,求证:;‎ ‎(Ⅲ)设,记在区间上的最大值为M(a).当M(a 名师解读,权威剖析,独家奉献,打造不一样的高考!‎ ‎)最小时,求a的值.‎ ‎(20)(本小题13分)‎ 已知数列{an},从中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i1

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