2019年数学（文）普通高等学校招生全国统一考试

绝密★本科目考试启用前 ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知集合A={x|–10）的离心率是，则a=‎ ‎（A） （B）4 （C）2 （D）‎ ‎（6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（k=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 ‎（A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D）‎ ‎（8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ ‎（A）4β+4cosβ （B）4β+4sinβ （C）2β+2cosβ （D）2β+2sinβ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）已知向量=（–4，3），=（6，m），且，则m=__________．‎ ‎（10）若x，y满足 则的最小值为__________，最大值为__________．‎ ‎（11）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．‎ ‎（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．‎ ‎（13）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：‎ ‎①l⊥m；②m∥；③l⊥．‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．‎ ‎（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．‎ ‎①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；‎ ‎②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 在△ABC中，a=3，，cosB=．‎ ‎（Ⅰ）求b，c的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin（B+C）的值．‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．‎ ‎（17）（本小题12分）‎ 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ 支付金额 支付方式 不大于2 000元 大于2 000元 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ 仅使用A ‎27人 ‎3人 仅使用B ‎24人 ‎1人 ‎（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；‎ ‎（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；‎ ‎（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；‎ ‎（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知椭圆的右焦点为，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点．‎ ‎（20）（本小题14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：；‎ ‎（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．‎ ‎（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ 绝密★启用前 ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）C （2）D （3）A （4）B ‎（5）D （6）C （7）A （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9）8 （10）–3 1‎ ‎（11） （12）40‎ ‎（13）若，则．（答案不唯一）‎ ‎（14）130 15‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎（15）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由余弦定理，得 ‎．‎ 因为，‎ 所以．‎ 解得．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由得．‎ 由正弦定理得．‎ 在中，．‎ 所以．‎ ‎（16）（共13分）‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ 解：（Ⅰ）设的公差为．‎ 因为，‎ 所以．‎ 因为成等比数列，‎ 所以．‎ 所以．‎ 解得．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．‎ 所以，当时，；当时，．‎ 所以，的最小值为．‎ ‎（17）（共12分）‎ 解：（Ⅰ）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人，‎ A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．‎ 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100–30–25–5=40人．‎ 估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为．‎ ‎（Ⅱ）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则．‎ ‎（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ 假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由（II）知，=0.04．‎ 答案示例1：可以认为有变化．理由如下：‎ 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．‎ 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：‎ 事件E是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．‎ ‎（18）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）因为平面ABCD，‎ 所以．‎ 又因为底面ABCD为菱形，‎ 所以．‎ 所以平面PAC．‎ ‎（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，‎ 所以PA⊥AE．‎ 因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ 所以AE⊥CD．‎ 所以AB⊥AE．‎ 所以AE⊥平面PAB．‎ 所以平面PAB⊥平面PAE．‎ ‎（Ⅲ）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．‎ 取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．‎ 则FG∥AB，且FG=AB．‎ 因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，‎ 所以CE∥AB，且CE=AB．‎ 所以FG∥CE，且FG=CE．‎ 所以四边形CEGF为平行四边形．‎ 所以CF∥EG．‎ 因为CF平面PAE，EG平面PAE，‎ 所以CF∥平面PAE．‎ ‎（19）（共14分）‎ 解：（I）由题意得，b2=1，c=1．‎ 所以a2=b2+c2=2．‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 则直线AP的方程为．‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ 令y=0，得点M的横坐标．‎ 又，从而．‎ 同理，．‎ 由得．‎ 则，．‎ 所以 ‎．‎ 又，‎ 所以．‎ 解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）．‎ ‎（20）（共14分）‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ 解：（Ⅰ）由得．‎ 令，即，得或．‎ 又，，‎ 所以曲线的斜率为1的切线方程是与，‎ 即与．‎ ‎（Ⅱ）令．‎ 由得．‎ 令得或．‎ 的情况如下：‎ 所以的最小值为，最大值为．‎ 故，即．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ 综上，当最小时，．‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎