2019年理科数学普通高等学校招生全国统一考试

绝密★启用前 ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。‎ ‎4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a0 D．│a│>│b│‎ ‎7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 ‎ C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 ‎8．若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．8‎ ‎9．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是 A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin2x│ ‎ C．f(x)=cos│x│ D．f(x)=sin│x│‎ ‎10．已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为 A． B． ‎ C．2 D．‎ ‎12．设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ ‎13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________．‎ ‎14．已知是奇函数，且当时，.若，则__________．‎ ‎15．的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．‎ ‎16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎ 17．（12分）‎ 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ ‎（1）证明：BE⊥平面EB1C1；‎ ‎（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．‎ ‎18．（12分）‎ ‎11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.‎ ‎（1）求P（X=2）；‎ ‎（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.‎ ‎19．（12分）‎ 已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.‎ ‎（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；‎ ‎（2）求{an}和{bn}的通项公式.‎ ‎20．（12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；‎ ‎（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.‎ ‎21．（12分）‎ 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；‎ ‎（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ ‎（i）证明：是直角三角形；‎ ‎（ii）求面积的最大值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.‎ ‎（1）当时，求及l的极坐标方程；‎ ‎（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知 ‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，，求的取值范围.‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学·参考答案 ‎1．A 2．C 3．C 4．D 5．A ‎ ‎6．C 7．B 8．D 9．A 10．B ‎ ‎11．A 12．B ‎13．0.98 14．–3 ‎ ‎15．6 16．26；‎ ‎17．解：（1）由已知得，平面，平面，‎ 故．‎ 又，所以平面．‎ ‎（2）由（1）知．由题设知≌，所以，‎ 故，．‎ 以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz，‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ 则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，，．‎ 设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则 即 所以可取n=.‎ 设平面的法向量为m=（x，y，z），则 即 所以可取m=（1，1，0）．‎ 于是．‎ 所以，二面角的正弦值为．‎ ‎18．解：（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ ‎（2）X=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．‎ 因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．‎ ‎19．解：（1）由题设得，即．‎ 又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．‎ 由题设得，即．‎ 又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．‎ ‎（2）由（1）知，，．‎ 所以，‎ ‎．‎ ‎20．解：（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+∞）．‎ 因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．‎ 因为f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零点．‎ 综上，f（x）有且仅有两个零点．‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ ‎（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上．‎ 由题设知，即，故直线AB的斜率．‎ 曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，‎ 所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线．‎ ‎21．解：（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．‎ ‎（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为．‎ 由得．‎ 记，则．‎ 于是直线的斜率为，方程为．‎ 由得 ‎．①‎ 设，则和是方程①的解，故，由此得．‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ 从而直线的斜率为．‎ 所以，即是直角三角形．‎ ‎（ii）由（i）得，，所以△PQG的面积．‎ 设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．‎ 因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．‎ 因此，△PQG面积的最大值为．‎ ‎22．解：（1）因为在C上，当时，．‎ 由已知得．‎ 设为l上除P的任意一点．在中，，‎ 经检验，点在曲线上．‎ 所以，l的极坐标方程为．‎ ‎（2）设，在中， 即．‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎ 因为P在线段OM上，且，故的取值范围是．‎ 所以，P点轨迹的极坐标方程为 ．‎ ‎23．解：（1）当a=1时，．‎ 当时，；当时，．‎ 所以，不等式的解集为．‎ ‎（2）因为，所以．‎ 当，时，．‎ 所以，的取值范围是．‎ 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！‎