2019年全国卷Ⅱ文数高考试题文档版（含答案）

资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上 答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 ={ | 1}A x x   ， { | 2}B x x  ，则 A∩B= A．(–1，+∞) B．(–∞，2) C．(–1，2) D． 2．设 z=i(2+i)，则 z = A．1+2i B．–1+2i C．1–2i D．–1–2i 3．已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|= 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” A． 2 B．2 C．5 2 D．50 4．生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只 测量过该指标的概率为 A． 2 3 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 6．设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)= e 1x  ，则当 x0)两个相邻的极值点，则 = A．2 B． 3 2 C．1 D． 1 2 9．若抛物线 y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 2 2 13 x y p p   的一个焦点，则 p= A．2 B．3 C．4 D．8 10．曲线 y=2sinx+cosx 在点(π，–1)处的切线方程为 A． 1 0x y     B． 2 2 1 0x y     C． 2 2 1 0x y     D． 1 0x y     11．已知 a∈（0， π 2 ），2sin2α=cos2α+1，则 sinα= A． 1 5 B． 5 5 C． 3 3 D． 2 5 5 12．设 F 为双曲线 C： 2 2 2 2 1x y a b   （a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与 圆 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” A． 2 B． 3 C．2 D． 5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．若变量 x，y 满足约束条件 2 3 6 0 3 0 2 0 x y x y y            ， ， ， 则 z=3x–y 的最大值是___________. 14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率 的估计值为___________. 15． ABC△ 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsinA+acosB=0，则 B=___________. 16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但 南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边 形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点 都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_ ________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 1 1E BB C C 的体积． 18．（12 分） 已知{ }na 是各项均为正数的等比数列， 1 3 22, 2 16a a a   . （1）求{ }na 的通项公式； （2）设 2logn nb a ，求数列{ }nb 的前 n 项和. 19．（12 分） 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度 相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表. y 的分组 [ 0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80) 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （精确到 0.01） 附： 74 8.602 . 20．（12 分） 已知 1 2,F F 是椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原点． （1）若 2POF△ 为等边三角形，求 C 的离心率； （2)如果存在点 P，使得 1 2PF PF ，且 1 2F PF△ 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围. 21.（12 分） 已知函数 ( ) ( 1)ln 1f x x x x    .证明： （1） ( )f x 存在唯一的极值点； （2） ( )=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在极坐标系中，O 为极点，点 0 0 0( , )( 0)M     在曲线 : 4sinC   上，直线 l 过点 (4,0)A 且与OM 垂直，垂足为 P. （1）当 0 = 3   时，求 0 及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 已知 ( ) | | | 2 | ( ).f x x a x x x a     （1）当 1a  时，求不等式 ( ) 0f x  的解集； （2）若 ( ,1)x  时， ( ) 0f x  ，求 a 的取值范围. 1．C 2．D 3．A 4．B 5．A 6．D 7．B 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A 13．9 14．0.98 15． 3π 4 16． 2 1 17．解：（1）由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A1，BE  平面 ABB1A1， 故 1 1B C BE . 又 1BE EC ，所以 BE⊥平面 1 1EB C . （2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知 Rt △ ABE≌Rt △ A1B1E，所以 1 1 45AEB A EB     ，故 AE=AB=3， 1 2 6AA AE  . 作 1EF BB ，垂足为 F，则 EF⊥平面 1 1BB C C ，且 3EF AB  . 所以，四棱锥 1 1E BB C C 的体积 1 3 6 3 183V      . 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 18．解：（1）设 na 的公比为q，由题设得 22 4 16q q  ，即 2 2 8 0q q   . 解得 2q   （舍去）或q=4. 因此 na 的通项公式为 1 2 12 4 2n n na     . （2）由（1）得 2(2 1)log 2 2 1nb n n    ，因此数列 nb 的前n项和为1 3 2 1n n     . 19.解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为 14 7 0.21100   . 产值负增长的企业频率为 2 0.02100  . 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企 业比例为2%. （2） 1 ( 0.10 2 0.10 24 0.30 53 0.50 14 0.70 7) 0.30100y             ，   5 22 1 1 100 i i i s n y y    2 2 2 2 21 ( 0.40) 2 ( 0.20) 24 0 53 0.20 14 0.40 7100               资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” =0.0296， 0.0296 0.02 74 0.17s     ， 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%. 20.解：（1）连结 1PF ，由 2POF△ 为等边三角形可知在 1 2F PF△ 中， 1 2 90F PF   ， 2PF c ， 1 3PF c ，于是 1 22 ( 3 1)a PF PF c    ，故C 的离心率是 3 1ce a    . （2）由题意可知，满足条件的点 ( , )P x y 存在当且仅当 1 | | 2 162 y c  ， 1y y x c x c     ， 2 2 2 2 1x y a b   ， 即 | | 16c y  ，① 2 2 2x y c  ，② 2 2 2 2 1x y a b   ，③ 由②③及 2 2 2a b c  得 4 2 2 by c  ，又由①知 2 2 2 16y c  ，故 4b  . 由②③得  2 2 2 2 2 ax c bc   ，所以 2 2c b ，从而 2 2 2 22 32,a b c b    故 4 2a  . 当 4b  ， 4 2a  时，存在满足条件的点P. 所以 4b  ， a 的取值范围为[4 2, ) . 21.解：（1） ( )f x 的定义域为（0，+  ）. 1 1( ) ln 1 lnxf x x xx x       . 因为 lny x 单调递增， 1y x  单调递减，所以 ( )f x 单调递增，又 (1) 1 0f     ， 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 1 ln 4 1(2) ln 2 02 2f      ，故存在唯一 0 (1,2)x  ，使得  0 0f x  . 又当 0x x 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减；当 0x x 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增. 因此， ( )f x 存在唯一的极值点. （2）由（1）知  0 (1) 2f x f   ，又  2 2e e 3 0f    ，所以 ( ) 0f x  在 0,x  内存在唯一根 x  . 由 0 1x   得 0 1 1 x   . 又 1 1 1 1 ( )1 ln 1 0ff                      ，故 1  是 ( ) 0f x  在 00, x 的唯一根. 综上， ( ) 0f x  有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 22．解：（1）因为  0 0,M   在C上，当 0 3   时， 0 4sin 2 33    . 由已知得| | | | cos 23OP OA   . 设 ( , )Q   为l上除P的任意一点.在 Rt OPQ△ 中 cos | | 23 OP        ， 经检验，点 (2, )3P  在曲线 cos 23        上. 所以，l的极坐标方程为 cos 23        . （2）设 ( , )P   ，在 Rt OAP△ 中，| | | | cos 4cos ,OP OA    即 4cos  .. 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 因为P在线段OM上，且 AP OM ，故 的取值范围是 ,4 2       . 所以，P点轨迹的极坐标方程为 4cos , ,4 2           . 23．解：（1）当 a=1 时， ( )=| 1| +| 2|( 1)f x x x x x   . 当 1x  时， 2( ) 2( 1) 0f x x    ；当 1x  时， ( ) 0f x  . 所以，不等式 ( ) 0f x  的解集为 ( ,1) . （2）因为 ( )=0f a ，所以 1a  . 当 1a  ， ( ,1)x  时， ( )=( ) +(2 )( )=2( )( 1)