(精校版)2019年全国卷Ⅱ理数高考试题文档版(含答案) (2)
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(精校版)2019年全国卷Ⅱ理数高考试题文档版(含答案) (2)

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资料简介
资料下载来源:高中数学教师群:247360252,高中数学学生解题交流群:536036395,高中数学秒杀方法群:677837127, 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 5 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题 无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|x2-5x+6>0},B={ x|x-1b,则 A.ln(a−b)>0 B.3a0 D.│a│>│b│ 7.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 资料下载来源:高中数学教师群:247360252,高中数学学生解题交流群:536036395,高中数学秒杀方法群:677837127, 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 8.若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 2 2 3 1x y p p   的一个焦点,则 p= A.2 B.3 C.4 D.8 9.下列函数中,以 2  为周期且在区间( 4  , 2  )单调递增的是 A.f(x)=│cos 2x│ B.f(x)=│sin 2x│ C.f(x)=cos│x│ D.f(x)= sin│x│ 10.已知α∈(0, 2  ),2sin 2α=cos 2α+1,则 sin α= A. 1 5 B. 5 5 C. 3 3 D. 2 5 5 11.设 F 为双曲线 C: 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆 2 2 2x y a  交 于 P,Q 两点.若 PQ OF ,则 C 的离心率为 A. 2 B. 3 C.2 D. 5 12.设函数 ( )f x 的定义域为 R,满足 ( 1) 2 ( )f x f x  ,且当 (0,1]x 时, ( ) ( 1)f x x x  .若对任意 ( , ]x m  , 都有 8( ) 9f x   ,则 m 的取值范围是 A. 9, 4     B. 7, 3     C. 5, 2     D. 8, 3     二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有 10 个车次的正点率为 0.97,有 20 个车 次的正点率为 0.98,有 10 个车次的正点率为 0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 __________. 14.已知 ( )f x 是奇函数,且当 0x  时, ( ) eaxf x   .若 (ln 2) 8f  ,则 a __________. 15. ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c .若 π6, 2 , 3b a c B   ,则 ABC△ 的面积为__________. 16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时 期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面 体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的 表面上,且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空 2 分, 第二空 3 分.) 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必 须作答.第 22、23 为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分) 如图,长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,点 E 在棱 AA1 上,BE⊥EC1. 资料下载来源:高中数学教师群:247360252,高中数学学生解题交流群:536036395,高中数学秒杀方法群:677837127, 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” (1)证明:BE⊥平面 EB1C1; (2)若 AE=A1E,求二面角 B–EC–C1 的正弦值. 18.(12 分) 11 分制乒乓球比赛,每赢一球得 1 分,当某局打成 10:10 平后,每球交换发球权,先多得 2 分的一方获胜, 该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为 0.5,乙发球时甲得分的概率为 0.4,各球的结果相互独立.在某局双方 10:10 平后,甲先发球,两人又打了 X 个球该局比赛结束. (1)求 P(X=2); (2)求事件“X=4 且甲获胜”的概率. 19.(12 分) 已知数列{an}和{bn}满足 a1=1,b1=0, 14 3 4n n na a b   , 14 3 4n n nb b a   . (1)证明:{an+bn}是等比数列,{an–bn}是等差数列; (2)求{an}和{bn}的通项公式. 20.(12 分) 已知函数   1 1ln x f x x x     . (1)讨论 f(x)的单调性,并证明 f(x)有且仅有两个零点; (2)设 x0 是 f(x)的一个零点,证明曲线 y=ln x 在点 A(x0,ln x0)处的切线也是曲线 exy  的切线. 21.(12 分) 已知点 A(−2,0),B(2,0),动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为− 1 2 .记 M 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程,并说明 C 是什么曲线; (2)过坐标原点的直线交 C 于 P,Q 两点,点 P 在第一象限,PE⊥x 轴,垂足为 E,连结 QE 并延长交 C 于 点 G. (i)证明: PQG△ 是直角三角形; (ii)求 PQG△ 面积的最大值. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在极坐标系中,O 为极点,点 0 0 0( , )( 0)M     在曲线 : 4sinC   上,直线 l 过点 (4,0)A 且与 OM 垂 直,垂足为 P. (1)当 0 = 3   时,求 0 及 l 的极坐标方程; (2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时,求 P 点轨迹的极坐标方程. 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 已知 ( ) | | | 2 | ( ).f x x a x x x a     (1)当 1a  时,求不等式 ( ) 0f x  的解集; (2)若 ( ,1]x  时, ( ) 0f x  ,求 a 的取值范围. 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 资料下载来源:高中数学教师群:247360252,高中数学学生解题交流群:536036395,高中数学秒杀方法群:677837127, 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 理科数学·参考答案 1.A 2.C 3.C 4.D 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.B 11.A 12.B 13.0.98 14.–3 15.6 3 16.26; 2 1 17.解:(1)由已知得, 1 1B C  平面 1 1ABB A , BE  平面 1 1ABB A , 故 1 1B C  BE . 又 1BE EC ,所以 BE  平面 1 1EB C . (2)由(1)知 1 90BEB   .由题设知 1 1Rt RtABE A B E△ △ ,所以 45AEB   , 故 AE AB , 1 2AA AB . 以 D 为坐标原点, DA  的方向为x轴正方向,| |DA  为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, 则C(0,1,0),B(1,1,0), 1C (0,1,2),E(1,0,1), (1, 1,1)CE   , 1 (0,0,2)CC  . 设平面EBC的法向量为n=(x,y,x),则 0, 0, CB CE       n n 即 0, 0, x x y z      所以可取n= (0, 1, 1)  . 设平面 1ECC 的法向量为m=(x,y,z),则 1 0, 0, CC CE       m m 即 2 0, 0. z x y z      所以可取m=(1,1,0). 于是 1cos , | || | 2    n mn m n m . 所以,二面角 1B EC C  的正弦值为 3 2 . 18.解:(1)X=2就是10:10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因 此P(X=2)=0.5×0.4+(1–0.5)×(1–04)=05. (2)X=4且甲获胜,就是10:10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是 甲、乙各得1分,后两球均为甲得分. 因此所求概率为 [0.5×(1–0.4)+(1–0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1. 19.解:(1)由题设得 1 14( ) 2( )n n n na b a b    ,即 1 1 1 ( )2n n n na b a b    . 又因为a1+b1=l,所以 n na b 是首项为1,公比为 1 2 的等比数列. 资料下载来源:高中数学教师群:247360252,高中数学学生解题交流群:536036395,高中数学秒杀方法群:677837127, 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 由题设得 1 14( ) 4( ) 8n n n na b a b     , 即 1 1 2n n n na b a b     . 又因为a1–b1=l,所以 n na b 是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)知, 1 1 2n n na b   , 2 1n na b n   . 所以 1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n na a b a b n       , 1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n nb a b a b n       . 20.解:(1)f(x)的定义域为(0,1),(1,+∞)单调递增. 因为 f(e)= e 11 0e 1   , 2 2 2 2 2 e 1 e 3(e ) 2 0e 1 e 1f       , 所以 f(x)在(1,+∞)有唯一零点 x1,即 f(x1)=0. 又 1 10 1x   , 1 1 1 1 1 11( ) ln ( ) 01 xf x f xx x       , 故 f(x)在(0,1)有唯一零点 1 1 x . 综上,f(x)有且仅有两个零点. (2)因为 0ln 0 1 e x x  ,故点 B(–lnx0, 0 1 x )在曲线 y=ex 上. 由题设知 0( ) 0f x  ,即 0 0 0 1ln 1 xx x   , 故直线 AB 的斜率 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 11 1ln 1 1 1ln 1 xxx x xk xx x xxx         . 曲线 y=ex 在点 0 0 1( ln , )B x x  处切线的斜率是 0 1 x ,曲线 lny x 在点 0 0( ,ln )A x x 处切线的斜率也是 0 1 x , 所以曲线 lny x 在点 0 0( ,ln )A x x 处的切线也是曲线 y=ex 的切线. 21.解:(1)由题设得 1 2 2 2 y y x x     ,化简得 2 2 1(| | 2)4 2 x y x   ,所以 C 为中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆,不含左右顶点. (2)(i)设直线 PQ 的斜率为 k,则其方程为 ( 0)y kx k  . 由 2 2 14 2 y kx x y    得 2 2 1 2 x k    . 记 2 2 1 2 u k   ,则 ( , ), ( , ), ( ,0)P u uk Q u uk E u  . 于是直线QG 的斜率为 2 k ,方程为 ( )2 ky x u  . 由 2 2 ( ),2 14 2 ky x u x y       得 2 2 22 2(2 ) 2 8 0k x uk x k u     .① 设 ( , )G GG x y ,则 u 和 Gx 是方程①的解,故 2 2 (3 2) 2G u kx k   ,由此得 3 22G uky k   . 资料下载来源:高中数学教师群:247360252,高中数学学生解题交流群:536036395,高中数学秒杀方法群:677837127, 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 从而直线 PG 的斜率为 3 2 2 2 12 (3 2) 2 uk ukk u k kuk     . 所以 PQ PG ,即 PQG△ 是直角三角形. (ii)由(i)得 2| | 2 1PQ u k  , 2 2 2 1| | 2 uk kPG k   , 所以△PQG 的面积 2 2 2 2 18( )1 8 (1 )| | 12 (1 2 )(2 ) 1 2( ) kk k kS PQ PG k k kk       ‖ . 设 t=k+ 1 k ,则由 k>0 得 t≥2,当且仅当 k=1 时取等号. 因为 2 8 1 2 tS t   在[2,+∞)单调递减,所以当 t=2,即 k=1 时,S 取得最大值,最大值为 16 9 . 因此,△PQG 面积的最大值为 16 9 . 22.解:(1)因为  0 0,M   在C上,当 0 3   时, 0 4sin 2 33    . 由已知得| | | | cos 23OP OA   . 设 ( , )Q   为l上除P的任意一点.在 Rt OPQ△ 中 cos | | 23 OP        , 经检验,点 (2, )3P  在曲线 cos 23        上. 所以,l的极坐标方程为 cos 23        . (2)设 ( , )P   ,在 Rt OAP△ 中,| | | | cos 4cos ,OP OA    即 4cos  .. 因为P在线段OM上,且 AP OM ,故 的取值范围是 ,4 2       . 所以,P点轨迹的极坐标方程为 4cos , ,4 2           . 23.解:(1)当 a=1 时, ( )=| 1| +| 2|( 1)f x x x x x   . 当 1x  时, 2( ) 2( 1) 0f x x    ;当 1x  时, ( ) 0f x  . 所以,不等式 ( ) 0f x  的解集为 ( ,1) . (2)因为 ( )=0f a ,所以 1a  . 当 1a  , ( ,1)x  时, ( )=( ) +(2 )( )=2( )( 1)

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