2019年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版（含答案）

资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 24 2 { 6 0{ }M x x N x x x       ， ，则 M N = A． { 4 3x x   B． 4 2{x x   C． { 2 2x x   D． { 2 3x x  2．设复数 z 满足 =1iz  ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． 2 2+1 1( )x y  B． 2 2 1( 1)x y  C． 22 ( 1) 1yx    D． 22 ( +1) 1yx   3．已知 0.2 0.3 2  log 0.2 2 0.2a b c  ， ， ，则 A． a b c  B． a c b  C． c a b  D．b c a  4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1 2  （ 5 1 2  ≈0.618， 称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 脐的长度之比也是 5 1 2  ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长 度为 26 cm，则其身高可能是 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 5．函数 f(x)= 2 sin cos   x x x x 在[ , ]  的图像大致为 A． B． C． D． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为 阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻 的概率是 A． 5 16 B． 11 32 C． 21 32 D． 11 16 7．已知非零向量 a，b 满足| | 2 | |a b ，且 ( )a b  b，则 a 与 b 的夹角为 A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 8．如图是求 1 12 12 2   的程序框图，图中空白框中应填入 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” A．A= 1 2 A B．A= 12 A  C．A= 1 1 2A D．A= 11 2A  9．记 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和．已知 4 50 5S a ， ，则 A． 2 5na n  B．   3 10na n  C． 22 8nS n n  D． 21 22nS n n  10．已知椭圆 C 的焦点为 1 21,0 1,0F F( )， ( )，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若 2 2| | 2 | |AF F B ， 1| | | |AB BF ，则 C 的方程为 A． 2 2 12 x y  B． 2 2 13 2 x y  C． 2 2 14 3 x y  D． 2 2 15 4 x y  11．关于函数 ( ) sin | | | sin   |f x x x  有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ 2  ， ）单调递增 ③f(x)在[ , ]  有 4 个零点 ④f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 12．已知三棱锥 P−ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为 A． 68  B． 64  C． 62  D． 6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 23( )e xy x x  在点 (0 )0， 处的切线方程为____________． 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 14．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 2 1 4 6 1 3a a a ， ，则 S5=____________． 15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前 期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的 概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________． 16．已知双曲线 C： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线 分别交于 A，B 两点．若 1F A AB  ， 1 2 0F B F B   ，则 C 的离心率为____________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(12 分) ABC△ 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C   ． （1）求 A； （2）若 2 2a b c  ，求 sinC． 18．（12 分） 如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC， BB1，A1D 的中点． （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求二面角 A−MA1−N 的正弦值． 19．（12 分） 已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P． 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若 3AP PB  ，求|AB|． 20．（12 分） 已知函数 ( ) sin ln(1 )f x x x   ， ( )f x 为 ( )f x 的导数．证明： （1） ( )f x 在区间 ( 1, )2  存在唯一极大值点； （2） ( )f x 有且仅有 2 个零点． 21．（12 分） 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠 多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 1 分；若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、 乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为 X． （1）求 X 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， ( 0,1, ,8)ip i   表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为 甲 药 比 乙 药 更 有 效 ” 的 概 率 ， 则 0 0p  ， 8 1p  ， 1 1i i i ip ap bp cp    ( 1,2, ,7)i   ， 其 中 ( 1)a P X   ， ( 0)b P X  ， ( 1)c P X  ．假设 0.5  ， 0.8  ． (i)证明： 1{ }i ip p  ( 0,1,2, ,7)i   为等比数列； (ii)求 4p ，并根据 4p 的值解释这种试验方案的合理性． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 tx t ty t       ， （t 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0      ． 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明： （1） 2 2 21 1 1 a b ca b c      ； （2） 3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a     ． 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学•参考答案 一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题 13．y=3x 14．121 3 15．0.18 16．2 三、解答题 17．解：（1）由已知得 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C   ，故由正弦定理得 2 2 2b c a bc   ． 由余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc    ． 因为 0 180A   ，所以 60A  ． （2）由（1）知 120B C  ，由题设及正弦定理得  2 sin sin 120 2sinA C C   ， 即 6 3 1cos sin 2sin2 2 2C C C   ，可得   2cos 60 2C    ． 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 由于 0 120C   ，所以   2sin 60 2C   ，故  sin sin 60 60C C        sin 60 cos60 cos 60 sin 60C C       6 2 4  ． 18．解：（1）连结B1C，ME． 因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C，且ME= 1 2 B1C． 又因为N为A1D的中点，所以ND= 1 2 A1D． 由题设知A1B1  DC，可得B1C  A1D，故ME  ND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN  平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA． 以D为坐标原点， DA  的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” (2,0,0)A ， A1(2 ， 0 ， 4) ， (1, 3,2)M ， (1,0,2)N ， 1 (0,0, 4)A A   ， 1 ( 1, 3, 2)A M    ， 1 ( 1,0, 2)A N    ， (0, 3,0)MN   ． 设 ( , , )x y zm 为平面A1MA的法向量，则 1 1 0 0 A M A A        m m ， 所以 3 2 0 4 0 x y z z      ， ． 可取 ( 3,1,0)m ． 设 ( , , )p q rn 为平面A1MN的法向量，则 1 0 0 MN A N        ， ． n n 所以 3 0 2 0 q p r     ， ． 可取 (2,0, 1) n ． 于是 2 3 15cos , | | 52 5      ‖ m nm n m n ， 所以二面角 1A MA N  的正弦值为 10 5 ． 19．解：设直线    1 1 2 2 3: , , , ,2l y x t A x y B x y  ． （1）由题设得 3 ,04F      ，故 1 2 3| | | | 2AF BF x x    ，由题设可得 1 2 5 2x x  ． 由 2 3 2 3 y x t y x      ，可得 2 29 12( 1) 4 0x t x t    ，则 1 2 12( 1) 9 tx x    ． 从而 12( 1) 5 9 2 t   ，得 7 8t   ． 所以l 的方程为 3 7 2 8y x  ． （2）由 3AP PB  可得 1 23y y  ． 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 由 2 3 2 3 y x t y x      ，可得 2 2 2 0y y t   ． 所以 1 2 2y y  ．从而 2 23 2y y   ，故 2 11, 3y y   ． 代入 C 的方程得 1 2 13, 3x x  ． 故 4 13| | 3AB  ． 20．解：（1）设 ( ) ( )g x f ' x ，则 1( ) cos 1g x x x    ， 2 1sin( )) (1x' xg x     . 当 1, 2x      时， ( )g' x 单调递减，而 (0) 0, ( ) 02g' g'   ，可得 ( )g' x 在 1, 2     有唯一零点， 设为 . 则当 ( 1, )x   时， ( ) 0g' x  ；当 , 2x      时， ( ) 0g' x  . 所以 ( )g x 在 ( 1, ) 单调递增，在 , 2       单调递减，故 ( )g x 在 1, 2     存在唯一极大值点， 即 ( )f ' x 在 1, 2     存在唯一极大值点. （2） ( )f x 的定义域为( 1, )  . （i）当 ( 1,0]x   时，由（1）知， ( )f ' x 在( 1,0) 单调递增，而 (0) 0f '  ，所以当 ( 1,0)x   时， ( ) 0f ' x  ，故 ( )f x 在( 1,0) 单调递减，又 (0)=0f ，从而 0x  是 ( )f x 在 ( 1,0] 的唯一 零点. （ii）当 0, 2x     时，由（1）知， ( )f ' x 在(0, ) 单调递增，在 , 2       单调递减，而 (0)=0f ' ， 02f '      ，所以存在 , 2       ，使得 ( ) 0f '   ，且当 (0, )x  时， ( ) 0f ' x  ；当 , 2x      资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 时， ( ) 0f ' x  .故 ( )f x 在(0, ) 单调递增，在 , 2       单调递减. 又 (0)=0f ， 1 ln 1 02 2f               ，所以当 0, 2x     时， ( ) 0f x  .从而， ( )f x 在 0, 2       没有零点. （iii）当 ,2x      时， ( ) 0f ' x  ，所以 ( )f x 在 ,2     单调递减.而 02f      ， ( ) 0f   ， 所以 ( )f x 在 ,2     有唯一零点. （iv）当 ( , )x    时，ln( 1) 1x   ，所以 ( )f x