(精校版)2019年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版(含答案)
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(精校版)2019年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版(含答案)

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资料下载来源:高中数学教师群:247360252,高中数学学生解题交流群:536036395,高中数学秒杀方法群:677837127, 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 24 2 { 6 0{ }M x x N x x x       , ,则 M N =( ) A. { 4 3x x   B. 4 2{x x   C. { 2 2x x   D. { 2 3x x  2.设复数 z 满足 =1iz  ,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( ) A. 2 2+1 1( )x y  B. 2 2 1( 1)x y  C. 22 ( 1) 1yx    D. 22 ( +1) 1yx   3.已知 0.2 0.3 2  log 0.2 2 0.2a b c  , , ,则( ) A. a b c  B. a c b  C. c a b  D.b c a  4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1 2  ( 5 1 2  ≈0.618,称 为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉 至肚脐的长度之比也是 5 1 2  .若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 105 cm,头顶至脖 子下端的长度为 26 cm,则其身高可能是( ) A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 5.函数 f(x)= 2 sin cos   x x x x 在[ , ]  的图像大致为( ) A. B. C. D. 6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成,爻分为阳爻 “——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是( ) A. 5 16 B. 11 32 C. 21 32 D. 11 16 7.已知非零向量 a,b 满足| | 2 | |a b ,且 ( )a b  b,则 a 与 b 的夹角为( ) A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 8.如图是求 1 12 12 2   的程序框图,图中空白框中应填入( ) A.A= 1 2 A B.A= 12 A  C.A= 1 1 2A D.A= 11 2A  9.记 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和.已知 4 50 5S a , ,则( ) A. 2 5na n  B.   3 10na n  C. 22 8nS n n  D. 21 22nS n n  资料下载来源:高中数学教师群:247360252,高中数学学生解题交流群:536036395,高中数学秒杀方法群:677837127, 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 10.已知椭圆 C 的焦点为 1 21,0 1,0F F( ), ( ),过 F2 的直线与 C 交于 A,B 两点.若 2 2| | 2 | |AF F B , 1| | | |AB BF , 则 C 的方程为( ) A. 2 2 12 x y  B. 2 2 13 2 x y  C. 2 2 14 3 x y  D. 2 2 15 4 x y  11.关于函数 ( ) sin | | | sin   |f x x x  有下述四个结论: ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间( 2  , )单调递增 ③f(x)在[ , ]  有 4 个零点 ④f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 12.已知三棱锥 P−ABC 的四个顶点在球 O 的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 PA,AB 的中点,∠CEF=90°,则球 O 的体积为( ) A. 68  B. 64  C. 62  D. 6 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.曲线 23( )e xy x x  在点 (0 )0, 处的切线方程为____________. 14.记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 2 1 4 6 1 3a a a , ,则 S5=____________. 15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比 赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为 0.6,客场取胜的概率为 0.5, 且各场比赛结果相互独立,则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________. 16.已知双曲线 C: 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别 交于 A,B 两点.若 1F A AB  , 1 2 0F B F B   ,则 C 的离心率为____________. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必 须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分) ABC△ 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,设 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C   . (1)求 A; (2)若 2 2a b c  ,求 sinC. 18.(12 分)如图,直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N 分别是 BC,BB1,A1D 的中点. (1)证明:MN∥平面 C1DE; (2)求二面角 A−MA1−N 的正弦值. 19.(12 分)已知抛物线 C:y2=3x 的焦点为 F,斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 A,B,与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|+|BF|=4,求 l 的方程; (2)若 3AP PB  ,求|AB|. 20.(12 分)已知函数 ( ) sin ln(1 )f x x x   , ( )f x 为 ( )f x 的导数.证明: (1) ( )f x 在区间 ( 1, )2  存在唯一极大值点; (2) ( )f x 有且仅有 2 个零点. 21.(12 分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方 案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一 轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时,就停止试 验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙 药的白鼠未治愈则甲药得 1 分,乙药得 1 分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分, 资料下载来源:高中数学教师群:247360252,高中数学学生解题交流群:536036395,高中数学秒杀方法群:677837127, 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 甲药得 1 分;若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药 的得分记为 X. (1)求 X 的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分, ( 0,1, ,8)ip i   表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药 比乙药更有效”的概率,则 0 0p  , 8 1p  , 1 1i i i ip ap bp cp    ( 1,2, ,7)i   ,其中 ( 1)a P X   , ( 0)b P X  , ( 1)c P X  .假设 0.5  , 0.8  . (i)证明: 1{ }i ip p  ( 0,1,2, ,7)i   为等比数列; (ii)求 4p ,并根据 4p 的值解释这种试验方案的合理性. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 tx t ty t       , (t 为参数).以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0      . (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)求 C 上的点到 l 距离的最小值. 23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知 a,b,c 为正数,且满足 abc=1.证明: (1) 2 2 21 1 1 a b ca b c      ; (2) 3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a     . 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学•参考答案 一、选择题 1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D 二、填空题 13.y=3x 14.121 3 15.0.18 16.2 三、解答题 17.解:(1)由已知得 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C   ,故由正弦定理得 2 2 2b c a bc   . 由余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc    . 因为 0 180A   ,所以 60A  . (2)由(1)知 120B C  ,由题设及正弦定理得  2 sin sin 120 2sinA C C   , 即 6 3 1cos sin 2sin2 2 2C C C   ,可得   2cos 60 2C    . 由于 0 120C   ,所以   2sin 60 2C   ,故 资料下载来源:高中数学教师群:247360252,高中数学学生解题交流群:536036395,高中数学秒杀方法群:677837127, 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv”  sin sin 60 60C C        sin 60 cos60 cos 60 sin 60C C       6 2 4  . 18.解:(1)连结B1C,ME. 因为M,E分别为BB1,BC的中点, 所以ME∥B1C,且ME= 1 2 B1C. 又因为N为A1D的中点,所以ND= 1 2 A1D. 由题设知A1B1  DC,可得B1C  A1D,故ME  ND, 因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED. 又MN  平面EDC1,所以MN∥平面C1DE. (2)由已知可得DE⊥DA. 以D为坐标原点, DA  的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz,则 (2,0,0)A ,A1(2,0,4), (1, 3,2)M , (1,0,2)N , 1 (0,0, 4)A A   , 1 ( 1, 3, 2)A M    , 1 ( 1,0, 2)A N    , (0, 3,0)MN   . 设 ( , , )x y zm 为平面A1MA的法向量,则 1 1 0 0 A M A A        m m , 所以 3 2 0 4 0 x y z z      , . 可取 ( 3,1,0)m . 设 ( , , )p q rn 为平面A1MN的法向量,则 1 0 0 MN A N        , . n n 所以 3 0 2 0 q p r     , .可取 (2,0, 1) n . 于是 2 3 15cos , | | 52 5      ‖ m nm n m n , 所以二面角 1A MA N  的正弦值为 10 5 . 资料下载来源:高中数学教师群:247360252,高中数学学生解题交流群:536036395,高中数学秒杀方法群:677837127, 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 19.解:设直线    1 1 2 2 3: , , , ,2l y x t A x y B x y  . (1)由题设得 3 ,04F      ,故 1 2 3| | | | 2AF BF x x    ,由题设可得 1 2 5 2x x  . 由 2 3 2 3 y x t y x      ,可得 2 29 12( 1) 4 0x t x t    ,则 1 2 12( 1) 9 tx x    . 从而 12( 1) 5 9 2 t   ,得 7 8t   . 所以l 的方程为 3 7 2 8y x  . (2)由 3AP PB  可得 1 23y y  . 由 2 3 2 3 y x t y x      ,可得 2 2 2 0y y t   . 所以 1 2 2y y  .从而 2 23 2y y   ,故 2 11, 3y y   . 代入C 的方程得 1 2 13, 3x x  . 故 4 13| | 3AB  . 20.解:(1)设 ( ) ( )g x f ' x ,则 1( ) cos 1g x x x    , 2 1sin( )) (1x' xg x     . 当 1, 2x      时, ( )g' x 单调递减,而 (0) 0, ( ) 02g' g'   ,可得 ( )g' x 在 1, 2     有唯一零点, 设为 . 则当 ( 1, )x   时, ( ) 0g' x  ;当 , 2x      时, ( ) 0g' x  . 所以 ( )g x 在( 1, ) 单调递增,在 , 2       单调递减,故 ( )g x 在 1, 2     存在唯一极大值点,即 ( )f ' x 在 1, 2     存在唯一极大值点. (2) ( )f x 的定义域为( 1, )  . (i)当 ( 1,0]x  时,由(1)知, ( )f ' x 在( 1,0) 单调递增,而 (0) 0f '  ,所以当 ( 1,0)x  时, ( ) 0f ' x  ,故 ( )f x 在( 1,0) 单调递减,又 (0)=0f ,从而 0x  是 ( )f x 在( 1,0] 的唯一零点. (ii)当 0, 2x     时,由(1)知, ( )f ' x 在(0, ) 单调递增,在 , 2       单调递减,而 (0)=0f ' , 02f '      ,所以存在 , 2       ,使得 ( ) 0f '   ,且当 (0, )x  时, ( ) 0f ' x  ;当 , 2x      时, ( ) 0f ' x  .故 ( )f x 在(0, ) 单调递增,在 , 2       单调递减. 又 (0)=0f , 1 ln 1 02 2f               ,所以当 0, 2x     时, ( ) 0f x  .从而, ( )f x 在 0, 2       没 有零点. (iii)当 ,2x      时, ( ) 0f ' x  ,所以 ( )f x 在 ,2     单调递减.而 02f      , ( ) 0f   ,所以 ( )f x 在 ,2     有唯一零点. (iv)当 ( , )x   时,ln( 1) 1x   ,所以 ( )f x

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