资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交
流群：536036395，高中数学秒杀方法群：677837127，
购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信
“hehezmv”
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在
答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规
定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1． 已知集合 { | 1 0 1 2}A x ，，， ， 2{ | 1}B x x ≤ ，则 A∩B＝
A．{－1，0，1} B．{0，1} C．{－1，1} D．{0，1，2}
2． 若 (1 i) 2iz ，则 z
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i
3． 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． 1
6 B． 1
4 C． 1
3 D． 1
2
4． 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古代文学瑰宝，并称为中国古典
小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，
其中阅读过《西游记》和《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生有 80
位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》
的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交
流群：536036395，高中数学秒杀方法群：677837127，
购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信
“hehezmv”
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
5． 函数 ( ) 2sin sin 2f x x x 在[0,2 ] 的零点个数
A．2 B．3 C．4 D．5
6． 已知各项为正数的等比数列{ }na 的前 4 项和为 15，且 5 3 13 4a a a ，则 3a
A．16 B．8 C．4 D．2
7．已知曲线 e lnxy a x x 在点 (1 e)a， 处的切线方程为 2y x b ，则
A． e 1a b ， B． e 1a b ，
C． -1e 1a b ， D． -1e 1a b ，
8． 如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，
△
ECD 为正三角形，
平面 ECD⊥平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则
A．BM＝EN，且直线 BM，EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线
C．BM＝EN，且直线 BM，EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线
9．执行右边的程序框图，如果输入的 为 0.01，则输出 s 的值为
A． 4
12 2
B． 5
12 2
C． 6
12 2
D． 7
12 2
10．已知 F 是双曲线 C：
2 2
14 5
x y 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为
坐标原点．若| | | |OP OF ，则△OPF 的面积为
A． 3
2
B． 5
2
C． 7
2 D． 9
2
11．记不等式组 6
2
x y
x y
，≥
≥0 表示的平面区域为 D．命题 p： ( , ) 2 9x y D x y ， ≥ ；命题 q：
( , ) 2 12x y D x y ， ≤ ．下面给出了四个命题
① p q ② p q ③ p q ④ p q
资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交
流群：536036395，高中数学秒杀方法群：677837127，
购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信
“hehezmv”
这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
12．设 ( )f x 是定义域为 R 的偶函数，且在 (0 + )， 单调递减，则
A．
23
32
3
1(log ) (2 ) (2 )4f f f
B．
2 3
3 2
3
1(log ) (2 ) (2 )4f f f
C．
23
32
3
1(2 ) (2 ) (log )4f f f
D．
2 3
3 2
3
1(2 ) (2 ) (log )4f f f
资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交
流群：536036395，高中数学秒杀方法群：677837127，
购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信
“hehezmv”
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量 ，a b ， (2,2)a ， ( 8,6) b ，则 cos ，a b __________.
14．记 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和，若 3 5a ， 7 13a ，则 10S ___________．
15．设 1 2F F， 为椭圆 C：
2 2
136 20
x y 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限．若△MF1F2
为等腰三角形，则 M 的坐标为___________．
16．学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型．如图，该
模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得
的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所
在棱的中点， 6AB BC cm， 1 4AA cm．3D 打印所用的原
料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料
的质量为___________ g．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将 200 只小鼠随机分成
A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只
小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小
鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：
记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P(C)的估计值
为 0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中的 a，b 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用改组区间的中点值
为代表）．
18．（12 分）
资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交
流群：536036395，高中数学秒杀方法群：677837127，
购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信
“hehezmv”
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin sin2
A Ca b A ．
（1）求 B；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且 1c ，求△ABC 面积的取值范围．
19．（12 分）
图 1 是由矩形 ADEB，Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB＝1，BE＝
BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2．
（1）证明：图 2 中的 A，C，D，G 四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE；
（2）求图 2 中的四边形 ACGD 的面积．
20．（12 分）
已知 3 2( ) 2 2f x x ax ．
（1）讨论 ( )f x 的单调性；
（2）当 0 3a 时，记 ( )f x 在区间[0,1] 的最大值为 M，最小值为 m，求 M m 的取值
范围．
21．（12 分）
已知曲线 C：
2
2
xy ， D 为直线 1
2y 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为
A，B．
（1）证明：直线 AB 过定点；
（2）若以 5(0, )2E 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方
程．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
如图，在极坐标系 Ox 中， (2,0)A ， ( 2, )4B ， ( 2, )4C ， (2, )D ，弧 AB ，BC ，CD
所在圆的圆心分别是 (1,0) ，(1, )2
，(1, ) ，曲线 1M 是弧
AB ，曲线 2M 是弧 BC ，曲线 3M 是弧 CD ．
资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交
流群：536036395，高中数学秒杀方法群：677837127，
购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信
“hehezmv”
（1）分别写出 1M ， 2M ， 3M 的极坐标方程；
（2）曲线 M 由 1M ， 2M ， 3M 构成，若点 P 在 M 上，且| | 3OP ，求 P 的极坐标．
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
设 x y z R， ， ，且 1x y z ．
（1）求 2 2 2( 1) ( 1) ( 1)x y z 的最小值；
（2）若 2 2 2 1( 2) ( 1) ( ) 3x y z a ≥ 成立，证明： 3a ≤ - 或 1a≥ ．
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．D 4．C 5．B 6．C
7．D 8．B 9．C 10．B 11．A 12．C
二、填空题
13． 2
10
14．100 15． (3, 15) 16．118.8
三、解答题
17．（12 分）
由已知得 0.70 0.20 0.15a ，故
0.35a ．
1 0.05 0.15 0.70 0.10b ．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2 0.15 3 0.20 4 0.30 5 0.20 6 0.10 7 0.05 4.05 ．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3 0.05 4 0.10 5 0.15 6 0.35 7 0.20 8 0.15 6.00 ．
18．（12 分）
（1）由题设及正弦定理得 sin sin sin sin2
A CA B A ．
因为 sin 0A ，所以 sin sin2
A C B ．
由 180A B C ，可得 sin cos2 2
A C B ，故 cos 2sin cos2 2 2
B B B ．
因为 cos 02
B ，故 1sin =2 2
B ，因此 60B ．
（2）由题设及（1）知△ABC 的面积 3
4ABCS a ．
资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交
流群：536036395，高中数学秒杀方法群：677837127，
购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信
“hehezmv”
由正弦定理得 sin sin(120 ) 3 1
sin sin 2tan 2
c A c Ca C C C
．
由于△ABC 为锐角三角形，故 0 90A ， 0 90C ．
由（1）知 120A C ，所以 30 90C ，故 1 22 a ，从而 3 3
8 2ABCS ．
因此，△ABC 面积的取值范围是 3 3( , )8 2
．
19．（12 分）
（1）由已知 AD∥BE，CG∥BE，所以 AD∥CG，
故 AD，CG 确定一个平面，从而 A，C，D，G 四点共面．
由已知得 AB⊥BE，AB⊥BC，故 AB⊥平面 BCGE．
又因为 AB 平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 BCGE．
（2）取 CG 的中点 M，连结 EM，DM．
因为 AB∥DE，AB⊥平面 BCGE，所以 DE⊥平面 BCGE，故 DE⊥CG．
由已知，四边形 BCGE 是菱形，且∠EBC=60°得 EM⊥CG，故 CG⊥平面 DEM．
因此 DM ⊥CG.
在 Rt△DEM 中，DE=1，EM= 3 ，故 DM=2．
所以四边形 ACGD 的面积为 4.．
20．（12 分）
（1） 2( ) 6 2 2 (3 )f x x ax x x a ．
令 ( ) 0f x ，得 0x 或
3
ax ．
若 0a ，则当 ( ,0) ( , )3
ax 时， ( ) 0f x ；当 (0, )3
ax 时， ( ) 0f x ．
故 ( )f x 在 ( ,0) ， ( , )3
a 单调递增，在 (0, )3
a 单调递减；
若 0a ， ( )f x 在 ( , ) 单调递增；
若 0a ，则当 ( , ) (0, )3
ax 时， ( ) 0f x ；当 ( 0)3
ax ， 时， ( ) 0f x ．
故 ( )f x 在 ( , )3
a ， (0, ) 单调递增，在 ( ,0)3
a 单调递减．
（2）满足题设条件的 a，b 存在．
当 0 3a 时，由（1）知， ( )f x 在 (0, )3
a 单调递减，在 ( ,1)3
a 单调递增．
所以 ( )f x 在[0,1] 的最小值为
3
( ) 23 27
a af ，最大值为 (0) 2f 或 (1) 4f a ．于是
3
227
am ， 4 0 2
2 2 3.
a aM a
， ，
， ≤
所以
3
3
2 0 227
2 3.27
aa a
M m
a a
， ，
， ≤
资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交
流群：536036395，高中数学秒杀方法群：677837127，
购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信
“hehezmv”
当 0 2a 时，可知
3
2 27
aa 单调递减，所以 M m 的取值范围是 8( ,2)27
．
当 2 3a ≤ 时，
3
27
a 单调递增，所以 M m 的取值范围是 8[ ,1)27
．
综上， M m 的取值范围是 8[ ,2)27
21．（12 分）
（1）设 1( , )2D t ， 1 1( , )A x y ，则 2
1 12x y ．
由于 y x ，所以切线 DA 的斜率为 1x ，故
1
1
1
1
2y
xx t
．
整理得 1 12 2 1 0tx y ．
设 2 2( , )B x y ，同理可得 2 22 2 1 0tx y ．
故直线 AB 的方程为 2 2 1 0tx y ．
所以直线 AB 过定点 1(0, )2
．
（2）由（1）得直线 AB 的方程为 1
2y tx ．
由 2
1
2
2
y tx
xy
，
可得 2 2 1 0x tx ．
于是 1 2 2x x t ， 1 2 1x x ， 2
1 2 1 2( ) 1 2 1y y t x x t ，
设 M 为线段 AB 的中点，则 2 1( , )2M t t ．
由于 EM AB ，而 2( , 2)EM t t ，AB
与向量 (1, )t 平行，所以 2( 2) 0t t t ，解得 0t
或 1t ．
当 0t 时，| | 2EM ，所求圆的方程为 2 25( ) 42x y ．
当 1t 时，| | 2EM ，所求圆的方程为 2 25( ) 22x y ．
22．（10 分）
（1）由题设可得，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的极坐标方程为
2cos ， 2sin ， 2cos ．
所以 1M 的极坐标方程为 2cos （ 0 4
≤ ≤ ）， 2M 的极坐标方程为 2sin
（
4 4
≤ ≤ ）， 3M 极坐标方程为 2cos （
4
≤ ≤ ）．
（2）设 ( , )P ，由题设及（1）知
若 0 4
≤ ≤ ，则 2cos 3 ，解得
6
；
若
4 4
≤ ≤ ，则 2sin 3 ，解得
3
或
3
；
资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交
流群：536036395，高中数学秒杀方法群：677837127，
购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信
“hehezmv”
若
4
≤ ≤ ，则 2cos 3 ，解得
6
．
综上，P 的极坐标为 ( 3, )6
或 ( 3, )3
或 ( 3, )3
或 ( 3, )6
．
23．（10 分）
（1）由于
2[( 1) ( 1) ( 1)]x y z
2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 2( 1)( 1) 2( 1)( 1) 2( 1)( 1)x y z x y x z y z
2 2 23[( 1) ( 1) ( 1) ]x y z ≤ ，
故由已知得 2 2 2 4( 1) ( 1) ( 1) 3x y z ≥ ，当且仅当 5 1 1
3 3 3x y z ， ， 时等号成立．
所以 2 2 2( 1) ( 1) ( 1)x y z 的最小值为 4
3
．
（2）由于
2[( 2) ( 1) ( )]x y z a
2 2 2( 2) ( 1) ( ) 2( 2)( 1) 2( 2)( ) 2( 1)( )x y z a x y x z a y z a
2 2 23[( 2) ( 1) ( ) ]x y z a ≤ ，
由已知得
2
2 2 2 (2 )( 2) ( 1) ( ) 3
ax y z a ≥ ，当且仅当 4 1 2 2
3 3 3
a a ax y z ， ，
时等号成立．
因此 2 2 2( 2) ( 1) ( )x y z a 最小值为
2(2 )
3
a ．
由题设知
2(2 ) 1
3 3
a ≥ ，解得 3a ≤ - 或 1a≥ ．
微信/支付宝扫码支付