2019年全国卷Ⅱ理数高考试题文档版（含答案）

资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上 答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．设集合 A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a0 D．│a│>│b│ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 8．若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 2 2 3 1x y p p   的一个焦点，则 p= A．2 B．3 C．4 D．8 9．下列函数中，以 2  为周期且在区间( 4  ， 2  )单调递增的是 A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│ C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│ 10．已知α∈(0， 2  )，2sin 2α=cos 2α+1，则 sin α= A． 1 5 B． 5 5 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” C． 3 3 D． 2 5 5 11．设 F 为双曲线 C： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆 2 2 2x y a  交于 P，Q 两点.若 PQ OF ，则 C 的离心率为 A． 2 B． 3 C．2 D． 5 12．设函数 ( )f x 的定义域为 R，满足 ( 1) 2 ( )f x f x  ，且当 (0,1]x 时， ( ) ( 1)f x x x  .若对任意 ( , ]x m  ，都有 8( ) 9f x   ，则 m 的取值范围是 A． 9, 4     B． 7, 3     C． 5, 2     D． 8, 3     二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率 的估计值为__________. 14．已知 ( )f x 是奇函数，且当 0x  时， ( ) eaxf x   .若 (ln 2) 8f  ，则 a __________. 15． ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c .若 π6, 2 , 3b a c B   ，则 ABC△ 的面积为__________. 16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南 北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形 围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都 在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为 _________.（本题第一空 2 分，第二空 3 分.） 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，求二面角 B–EC–C1 的正弦值. 18．（12 分） 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方 获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得 分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方 10:10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛 结束. （1）求 P（X=2）； （2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率. 19．（12 分） 已知数列{an}和{bn}满足 a1=1，b1=0， 14 3 4n n na a b   ， 14 3 4n n nb b a   . （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” （2）求{an}和{bn}的通项公式. 20．（12 分） 已知函数   1 1ln x f x x x     . （1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点； （2）设 x0 是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 exy  的切线. 21．（12 分） 已知点 A(−2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为− 1 2 .记 M 的轨迹为曲线 C. （1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G. （i）证明： PQG△ 是直角三角形； （ii）求 PQG△ 面积的最大值. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在极坐标系中，O 为极点，点 0 0 0( , )( 0)M     在曲线 : 4sinC   上，直线 l 过点 (4,0)A 且与OM 垂直，垂足为 P. （1）当 0 = 3   时，求 0 及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 ( ) | | | 2 | ( ).f x x a x x x a     （1）当 1a  时，求不等式 ( ) 0f x  的解集； （2）若 ( ,1]x  时， ( ) 0f x  ，求 a 的取值范围. 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学·参考答案 1．A 2．C 3．C 4．D 5．A 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 6．C 7．B 8．D 9．A 10．B 11．A 12．B 13．0.98 14．–3 15．6 3 16．26； 2 1 17．解：（1）由已知得， 1 1B C  平面 1 1ABB A ， BE  平面 1 1ABB A ， 故 1 1B C  BE ． 又 1BE EC ，所以 BE  平面 1 1EB C ． （2）由（1）知 1 90BEB   ．由题设知 1 1Rt RtABE A B E△ △ ，所以 45AEB   ， 故 AE AB ， 1 2AA AB ． 以 D 为坐标原点， DA  的方向为x轴正方向，| |DA  为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则C（0，1，0），B（1，1，0）， 1C （0，1，2），E（1，0，1）， (1, 1,1)CE   ， 1 (0,0,2)CC  ． 设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则 0, 0, CB CE       n n 即 0, 0, x x y z      所以可取n= (0, 1, 1)  . 设平面 1ECC 的法向量为m=（x，y，z），则 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 1 0, 0, CC CE       m m 即 2 0, 0. z x y z      所以可取m=（1，1，0）． 于是 1cos , | || | 2    n mn m n m ． 所以，二面角 1B EC C  的正弦值为 3 2 ． 18．解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙 得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05． （2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前 两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为 [0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1． 19．解：（1）由题设得 1 14( ) 2( )n n n na b a b    ，即 1 1 1 ( )2n n n na b a b    ． 又因为a1+b1=l，所以 n na b 是首项为1，公比为 1 2 的等比数列． 由题设得 1 14( ) 4( ) 8n n n na b a b     ， 即 1 1 2n n n na b a b     ． 又因为a1–b1=l，所以 n na b 是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知， 1 1 2n n na b   ， 2 1n na b n   ． 所以 1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n na a b a b n       ， 1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n nb a b a b n       ． 20．解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增． 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 因为 f（e）= e 11 0e 1   ， 2 2 2 2 2 e 1 e 3(e ) 2 0e 1 e 1f       ， 所以 f（x）在（1，+∞）有唯一零点 x1，即 f（x1）=0． 又 1 10 1x   ， 1 1 1 1 1 11( ) ln ( ) 01 xf x f xx x       ， 故 f（x）在（0，1）有唯一零点 1 1 x ． 综上，f（x）有且仅有两个零点． （2）因为 0ln 0 1 e x x  ，故点 B（–lnx0， 0 1 x ）在曲线 y=ex 上． 由题设知 0( ) 0f x  ，即 0 0 0 1ln 1 xx x   ， 故直线 AB 的斜率 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 11 1ln 1 1 1ln 1 xxx x xk xx x xxx         ． 曲线 y=ex 在点 0 0 1( ln , )B x x  处切线的斜率是 0 1 x ，曲线 lny x 在点 0 0( ,ln )A x x 处切线的斜率也是 0 1 x ， 所以曲线 lny x 在点 0 0( ,ln )A x x 处的切线也是曲线 y=ex 的切线． 21．解：（1）由题设得 1 2 2 2 y y x x     ，化简得 2 2 1(| | 2)4 2 x y x   ，所以 C 为中心在坐标原点，焦 点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 ( 0)y kx k  ． 由 2 2 14 2 y kx x y    得 2 2 1 2 x k    ． 记 2 2 1 2 u k   ，则 ( , ), ( , ), ( ,0)P u uk Q u uk E u  ． 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 于是直线 QG 的斜率为 2 k ，方程为 ( )2 ky x u  ． 由 2 2 ( ),2 14 2 ky x u x y       得 2 2 22 2(2 ) 2 8 0k x uk x k u     ．① 设 ( , )G GG x y ，则 u 和 Gx 是方程①的解，故 2 2 (3 2) 2G u kx k   ，由此得 3 22G uky k   ． 从而直线 PG 的斜率为 3 2 2 2 12 (3 2) 2 uk ukk u k kuk     ． 所以 PQ PG ，即 PQG△ 是直角三角形． （ii）由（i）得 2| | 2 1PQ u k  ， 2 2 2 1| | 2 uk kPG k   ， 所以△PQG 的面积 2 2 2 2 18( )1 8 (1 )| | 12 (1 2 )(2 ) 1 2( ) kk k kS PQ PG k k kk       ‖ ． 设 t=k+ 1 k ，则由 k>0 得 t≥2，当且仅当 k=1 时取等号． 因为 2 8 1 2 tS t   在[2，+∞）单调递减，所以当 t=2，即 k=1 时，S 取得最大值，最大值为 16 9 ． 因此，△PQG 面积的最大值为 16 9 ． 22．解：（1）因为  0 0,M   在C上，当 0 3   时， 0 4sin 2 33    . 由已知得| | | | cos 23OP OA   . 设 ( , )Q   为l上除P的任意一点.在 Rt OPQ△ 中 cos | | 23 OP        ， 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 经检验，点 (2, )3P  在曲线 cos 23        上. 所以，l的极坐标方程为 cos 23        . （2）设 ( , )P   ，在 Rt OAP△ 中，| | | | cos 4cos ,OP OA    即 4cos  .. 因为P在线段OM上，且 AP OM ，故 的取值范围是 ,4 2       . 所以，P点轨迹的极坐标方程为 4cos , ,4 2           . 23．解：（1）当 a=1 时， ( )=| 1| +| 2|( 1)f x x x x x   . 当 1x  时， 2( ) 2( 1) 0f x x    ；当 1x  时， ( ) 0f x  . 所以，不等式 ( ) 0f x  的解集为 ( ,1) . （2）因为 ( )=0f a ，所以 1a  . 当 1a  ， ( ,1)x  时， ( )=( ) +(2 )( )=2( )( 1)