2019年全国卷Ⅰ文数高考试题文档版（含答案）

资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．设 3 i 1 2iz   ，则 z = A．2 B． 3 C． 2 D．1 2．已知集合      1,2,3,4,5,6,7 2,3,4,5 2,3,6,7U A B  ， ， ，则 A． 1,6 B． 1,7 C． 6,7 D． 1,6,7 3．已知 0.2 0.3 2log 0.2, 2 , 0.2a b c   ，则 A． a b c  B． a c b  C． c a b  D． b c a  4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1 2  （ 5 1 2  ≈0.618， 称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 脐的长度之比也是 5 1 2  ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长 度为 26 cm，则其身高可能是 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 5．函数 f(x)= 2 sin cos x x x x   在[-π，π]的图像大致为 A． B． C． D． 6．某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样 方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 A．8 号学生 B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生 7．tan255°= A．-2- 3 B．-2+ 3 C．2- 3 D．2+ 3 8．已知非零向量 a，b 满足 a =2 b ，且（a-b）  b，则 a 与 b 的夹角为 A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 9．如图是求 1 12 12 2   的程序框图，图中空白框中应填入 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” A．A= 1 2 A B．A= 12 A  C．A= 1 1 2A D．A= 11 2A  10．双曲线 C： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C 的离心率为 A．2sin40° B．2cos40° C． 1 sin50 D． 1 cos50 11．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA-bsinB=4csinC，cosA=- 1 4 ，则 b c = A．6 B．5 C．4 D．3 12．已知椭圆C的焦点为 1 2( 1,0), (1,0)F F ，过F2的直线与C交于A，B两点.若 2 2| | 2 | |AF F B ， 1| | | |AB BF ， 则 C 的方程为 A． 2 2 12 x y  B． 2 2 13 2 x y  C． 2 2 14 3 x y  D． 2 2 15 4 x y  二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 2 )3( exy x x  在点 (0,0) 处的切线方程为___________． 14．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 1 3 31 4a S ， ，则 S4=___________． 15．函数 3π( ) sin(2 ) 3cos2f x x x   的最小值为___________． 16．已知∠ACB=90°，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到∠ACB 两边 AC，BC 的距离均为 3 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为___________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17．（12 分） 某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意 或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ． P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18．（12 分） 记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 S9=-a5． （1）若 a3=4，求{an}的通项公式； （2）若 a1>0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围． 19．（12 分） 如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC， BB1，A1D 的中点. 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求点 C 到平面 C1DE 的距离． 20．（12 分） 已知函数 f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为 f（x）的导数． （1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若 x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求 a 的取值范围． 21.（12 分） 已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，│AB│ =4，⊙M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切． （1）若 A 在直线 x+y=0 上，求⊙M 的半径； （2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 tx t ty t       ， （t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0      ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 23．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分） 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明： （1） 2 2 21 1 1 a b ca b c      ； （2） 3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a     ． 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学·参考答案 一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B 二、填空题 13．y=3x 14． 5 8 15．−4 16． 2 三、解答题 17．解： 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 40 0.850  ，因此男顾客对该商场服务满意的概 率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为 30 0.650  ，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6． （2） 2 2 100 (40 20 30 10) 4.76250 50 70 30K        ． 由于 4.762 3.841 ，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18．解： （1）设 na 的公差为d． 由 9 5S a  得 1 4 0a d  ． 由a3=4得 1 2 4a d  ． 于是 1 8, 2a d   ． 因此 na 的通项公式为 10 2na n  ． （2）由（1）得 1 4a d  ，故 ( 9)( 5) , 2n n n n da n d S    . 由 1 0a  知 0d  ，故 n nS a 等价于 2 11 10 0n n  ，解得1≤n≤10． 所以n的取值范围是{ |1 10, }n n nN ． 19．解： （1）连结 1 ,B C ME .因为M，E分别为 1,BB BC 的中点，所以 1 ME B C∥ ，且 1 1 2ME B C .又因为N 为 1A D 的中点，所以 1 1 2ND A D . 由题设知 1 1 =A B DC∥ ，可得 1 1=B C A D∥ ，故 =ME ND∥ ，因此四边形MNDE为平行四边形，MN ED∥ . 又 MN 平面 1C DE ，所以MN∥平面 1C DE . （2）过C作C1E的垂线，垂足为H. 由已知可得 DE BC ， 1DE C C ，所以DE⊥平面 1C CE ，故DE⊥CH. 从而CH⊥平面 1C DE ，故CH的长即为C到平面 1C DE 的距离， 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 由已知可得CE=1，C1C=4，所以 1 17C E  ，故 4 17 17CH  . 从而点C到平面 1C DE 的距离为 4 17 17 . 20．解： （1）设 ( ) ( )g x f x ，则 ( ) cos sin 1, ( ) cosg x x x x g x x x    . 当 π(0, )2x 时， ( ) 0g x  ；当 π ,π2x     时， ( ) 0g x  ，所以 ( )g x 在 π(0, )2 单调递增，在 π ,π2      单 调递减. 又 π(0) 0, 0, (π) 22g g g       ，故 ( )g x 在 (0,π) 存在唯一零点. 所以 ( )f x 在 (0,π) 存在唯一零点. （2）由题设知 (π) π, (π) 0f a f  ，可得a≤0. 由（1）知， ( )f x 在 (0,π) 只有一个零点，设为 0x ，且当  00,x x 时， ( ) 0f x  ；当  0,πx x 时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在 00, x 单调递增，在 0,πx 单调递减. 又 (0) 0, (π) 0f f  ，所以，当 [0,π]x 时， ( ) 0f x . 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 又当 0, [0,π]a x 时，ax≤0，故 ( )f x ax . 因此，a的取值范围是 ( ,0] . 21．解：（1）因为 M 过点 ,A B ，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线 + =0x y 上，且 ,A B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 y x 上，故可设 ( , )M a a . 因为 M 与直线x+2=0相切，所以 M 的半径为 | 2 |r a  . 由已知得| |=2AO ，又 MO AO  ，故可得 2 22 4 ( 2)a a   ，解得 =0a 或 =4a . 故 M 的半径 =2r 或 =6r . （2）存在定点 (1,0)P ，使得| | | |MA MP 为定值. 理由如下： 设 ( , )M x y ，由已知得 M 的半径为 =| +2|,| |=2r x AO . 由于 MO AO  ，故可得 2 2 24 ( 2)x y x    ，化简得M的轨迹方程为 2 4y x . 因为曲线 2: 4C y x 是以点 (1,0)P 为焦点，以直线 1x   为准线的抛物线，所以| |= +1MP x . 因为| | | |= | |= +2 ( +1)=1MA MP r MP x x   ，所以存在满足条件的定点P. 22．解：（1）因为 2 2 11 11 t t    ，且   22 2 2 2 22 2 1 4 12 1 1 y t tx t t              ，所以C的直角坐标方程为 2 2 1( 1)4 yx x    . l 的直角坐标方程为 2 3 11 0x y   . （2）由（1）可设C的参数方程为 cos , 2sin x y      （ 为参数， π π   ）. C上的点到l 的距离为 π4cos 11| 2cos 2 3sin 11| 3 7 7          . 当 2π 3    时， π4cos 113      取得最小值7，故C上的点到 l 距离的最小值为 7 . 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群： 536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 23．解：（1）因为 2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc c a ac      ，又 1abc  ，故有 2 2 2 1 1 1ab bc caa b c ab bc ca abc a b c           . 所以 2 2 21 1 1 a b ca b c      . （2）因为 , , a b c 为正数且 1abc  ，故有 3 3 3 3 3 33( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( )a b b c c a a b b c a c         =3( + )( + )( + )a b b c a c 3 (2 ) (2 ) (2 )ab bc ac    =24. 所以 3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a      .