（精校版）2019年天津卷理数高考试题文档版（含答案）

资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页， 第Ⅱ卷 3-5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务 必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 标号。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： ·如果事件 A 、 B 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B  . ·如果事件 A 、 B 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P AB P A P B . ·圆柱的体积公式V Sh ，其中 S 表示圆柱的底面面积， h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式 1 3V Sh ，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 { 1,1,2,3,5}, {2,3,4}, { |1 3}A B C x x     R ，则 ( )A C B   A. 2 B. 2,3 C. 1,2,3 D. 1,2,3,4 2.设变量 ,x y 满足约束条件 2 0, 2 0, 1, 1, x y x y x y           则目标函数 4z x y   的最大值为 A.2 B.3 C.5 D.6 3.设 x R ，则“ 2 5 0x x  ”是“| 1| 1x   ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为 A.5 B.8 C.24 D.29 5.已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，准线为l ，若l 与双曲线 2 2 2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b     的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且| | 4 | |AB OF （ O 为原点），则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 6.已知 5log 2a  ， 0.5og 2.l 0b  ， 0.20.5c  ，则 , ,a b c 的大小关系为 A. a c b  B. a b c  C.b c a  D. c a b  7.已知函数 ( ) sin( )( 0, 0,| | )f x A x A         是奇函数，将  y f x 的图像上所有点的横坐标伸长到原 来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为  g x .若  g x 的最小正周期为 2π ，且 24g      ，则 3 8f      A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 8.已知 a R ，设函数 2 2 2 , 1,( ) ln , 1, x ax a xf x x a x x       若关于 x 的不等式 ( ) 0f x 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为 A. 0,1 B. 0,2 C. 0,e D. 1,e 第Ⅱ卷 二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9.i 是虚数单位，则 5 1 i i   的值为 . 10. 8 3 12 8x x     是展开式中的常数项为 . 11.已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点， 另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 . 12.设 a R ，直线 2 0ax y   和圆 2 2cos , 1 2sin x y        （ 为参数）相切，则 a 的值为 . 13.设 0, 0, 2 5x y x y    ，则 ( 1)(2 1)x y xy   的最小值为 . 14.在 四 边 形 ABCD 中 ， , 2 3, 5, 30AD BC AB AD A    ∥ ， 点 E 在 线 段 CB 的 延 长 线 上 ， 且 AE BE ，则 BD AE   . 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 13 分） 在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c .已知 2b c a  ，3 sin 4 sinc B a C . （Ⅰ）求 cos B 的值； （Ⅱ）求 sin 2 6B     的值. 16.（本小题满分 13 分） 设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 2 3 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同 学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率. 17.（本小题满分 13 分） 如图， AE  平面 ABCD ， ,CF AE AD BC∥ ∥ ， , 1, 2AD AB AB AD AE BC     . （Ⅰ）求证： BF ∥平面 ADE ； （Ⅱ）求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角 E BD F  的余弦值为 1 3 ，求线段CF 的长. 18.（本小题满分 13 分） 设椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点为 F ，上顶点为 B .已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 5 5 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上. 若| | | |ON OF （O 为原点），且OP MN ，求直线 PB 的斜率. 19.（本小题满分 14 分） 设 na 是等差数列， nb 是等比数列.已知 1 1 2 2 3 34, 6 2 2, 2 4a b b a b a     ， . （Ⅰ）求 na 和 nb 的通项公式； （Ⅱ）设数列 nc 满足 1 1 1, 2 2 , 2 ,1, , k k n k k c nc b n        其中 *k N . （i）求数列   2 2 1n na c  的通项公式； （ii）求  2 * 1 n i i i a c n   N . 20.（本小题满分 14 分） 设函数 ( ) e cos , ( )xf x x g x 为  f x 的导函数. （Ⅰ）求  f x 的单调区间； （Ⅱ）当 ,4 2x       时，证明 ( ) ( ) 02f x g x x     ； （ Ⅲ ） 设 nx 为 函 数 ( ) ( ) 1u x f x  在 区 间 2 ,24 2m m      内 的 零 点 ， 其 中 n N ， 证 明 2 0 0 2 2 sin cos n nn x x e x       . 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）参考解答 一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 40 分. 1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8.C 二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 30 分. 9. 13 10. 28 11. π 4 12. 3 4 13. 4 3 14. 1 三.解答题 15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分 13 分. （Ⅰ）解：在 ABC△ 中，由正弦定理 sin sin b c B C  ，得 sin sinb C c B ，又由 3 sin 4 sinc B a C ，得 3 sin 4 sinb C a C ， 即 3 4b a . 又 因 为 2b c a  ， 得 到 4 3b a ， 2 3c a . 由 余 弦 定 理 可 得 2 2 2 2 2 2 4 16 19 9cos 22 42 3 a a aa c bB a a         . （ Ⅱ ） 解 ： 由 （ Ⅰ ） 可 得 2 15sin 1 cos 4B B   ， 从 而 15sin 2 2sin cos 8B B B   ， 2 2 7cos2 cos sin 8B B B    ，故 15 3 7 1 3 5 7sin 2 sin 2 cos cos2 sin6 6 6 8 2 8 2 16B B B                ， 16.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分. （Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为 2 3 ，故 2~ 3, 3X B     ，从而 3 3 2 1( ) , 0,1,2,33 3 k k kP X k C k             . 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量 X 的数学期望 2( ) 3 23E X    . （ Ⅱ ） 解 ： 设 乙 同 学 上 学 期 间 的 三 天 中 7 ： 30 之 前 到 校 的 天 数 为 Y ， 则 2~ 3, 3Y B     ， 且 { 3, 1} { 2, 0}M X Y X Y     .由题意知事件{ 3, 1}X Y  与{ 2, 0}X Y  互斥，且事件 3X  与  1Y  ，事件 2X  与 0Y  均相互独立，从而由（Ⅰ）知 ( ) ({ 3, 1} { 2, 0}) ( 3, 1) ( 2, 0)P M P X Y X Y P X Y P X Y           8 2 4 1 20( 3) ( 1) ( 2) ( 0) 27 9 9 27 243P X P Y P X P Y           . 17.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问 题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13 分. 依题意，可以建立以 A 为原点，分别以 AB AD AE   ， ， 的方向为 x 轴， y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如 图），可得 (0,0,0), (1,0,0), (1,2,0), (0,1,0)A B C D ， (0,0,2)E .设 ( 0)CF h h > ，则  1,2,F h . （Ⅰ）证明：依题意， (1,0,0)AB  是平面 ADE 的法向量，又 (0,2, )BF h ，可得 0BF AB   ，又因为直 线 BF  平面 ADE ，所以 BF ∥平面 ADE . （Ⅱ）解：依题意， ( 1,1,0), ( 1,0,2), ( 1, 2,2)BD BE CE         . 设 ( , , )n x y z 为平面 BDE 的法向量，则 0, 0, n BD n BE        即 0, 2 0, x y x z       不妨令 1z  ， 可得 (2,2,1)n  .因此有 4cos , 9| || | CE nCE n CE n      . 所以，直线CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为 4 9 . （Ⅲ）解：设 ( , , )m x y z 为平面 BDF 的法向量，则 0, 0, m BD m BF        即 0, 2 0, x y y hz       不妨令 1y  ，可得 21,1,m h      . 由题意，有 2 24| | 1cos , | || | 343 2 m n hm n m n h       ，解得 8 7h  .经检验，符合题意. 所以，线段CF 的长为 8 7 . 18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲面的性质. 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分 13 分. （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为 c ，依题意， 52 4, 5 cb a   ，又 2 2 2a b c  ，可得 5a  ， 2,b  1c  . 所以，椭圆的方程为 2 2 15 4 x y  . （Ⅱ）解：由题意，设     0 , ,0P P p MP x y x M x， .设直线 PB 的斜率为  0k k  ，又  0,2B ，则直线 PB 的方程为 2y kx  ，与椭圆方程联立 2 2 2, 1,5 4 y kx x y     整理得 2 24 5 20 0k x kx   ，可得 2 20 4 5P kx k    ，代 入 2y kx  得 2 2 8 10 4 5P ky k   ，进而直线OP 的斜率 24 5 10 P p y k x k   .在 2y kx  中，令 0y  ，得 2 Mx k   . 由题意得  0, 1N  ，所以直线 MN 的斜率为 2 k .由OP MN ，得 24 5 110 2 k k k          ，化简得 2 24 5k  ， 从而 2 30 5k   . 所以，直线 PB 的斜率为 2 30 5 或 2 30 5  . 19.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求 和的基本方法以及运算求解能力.满分 14 分. （Ⅰ）解：设等差数列 na 的公差为 d ，等比数列 nb 的公比为 q .依题意得 2 6 6 2 , 6 12 4 , q d q d      解得 3, 2, d q    故 14 ( 1) 3 3 1, 6 2 3 2n n n na n n b           . 所以， na 的通项公式为  3 1,n na n b  的通项公式为 3 2n nb   . （Ⅱ）（i）解：       2 2 21 1 3 2 1 3 2 1 9 4 1n n x n n n na c a b           . 所以，数列   2 2 1n na c  的通项公式为  2 2 1 9 4 1n n na c     . （ii）解：    2 2 2 2 1 1 1 1 21 1 n n n i i n i i i i i i i i i i a c a a c a a c                    1 2 2 1 2 4 3 9 4 12 n n n n i i                2 1 2 4 1 4 3 2 5 2 9 1 4 n n n n           2 1 1 *27 2 5 2 12n n n n        N . 20.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归 与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分. （Ⅰ）解：由已知，有 '( ) (cos sin )xf x e x x  .因此，当 52 ,24 4x k k        ( )k Z 时，有sin cosx x ， 得  ' 0f x  ，则  f x 单调递减；当 32 ,24 4x k k        ( )k Z 时，有sin cosx x ，得  ' 0f x  ， 则  f x 单调递增. 所 以 ，  f x 的 单 调 递 增 区 间 为 32 ,2 ( ), ( )4 4k k k f x        Z 的 单 调 递 减 区 间 为 52 ,2 ( )4 4k k k        Z . （Ⅱ）证明：记 ( ) ( ) ( ) 2h x f x g x x      .依题意及（Ⅰ），有 ( ) (cos sin )xg x e x x  ，从而 '( ) 2 sinxg x e x  . 当 ,4 2x      时，  ' 0g x  ，故 '( ) '( ) '( ) ( )( 1) '( ) 02 2h x f x g x x g x g x x                  . 因此，  h x 在区间 ,4 2       上单调递减，进而 ( ) 02 2h x h f            . 所以，当 ,4 2x       时， ( ) ( ) 02f x g x x     . （Ⅲ）证明：依题意，     1 0n nu x f x   ，即 cos 1nx ne x  .记 2n ny x n  ，则 ,4 2ny      ，且      2 2e cos e cos 2 en ny x n n n n n n Nf y y x n      . 由    2 01n nf y e f y  及（Ⅰ），得 0ny y .由（Ⅱ）知，当 ,4 2x      时，  ' 0g x  ，所以  g x 在 ,4 2       资料下载来源：高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数学秒杀方法群：677837127， 购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 word 版+微信“hehezmv” 上为减函数，因此    0 04ng y g y g      .又由（Ⅱ）知，     02n n nf y g y y     ，故          0 2 2 2 2 0 0 0 02 sin cos sin cos n n n n n n y n n e e e ef yy g y g y g y y x xe y                . 所以， 2 0 0 2 2 sin cos n nn x x e x       .