2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 （浙江卷）

Z 数学试题卷 第 1页 共 4页 绝密★考试结束前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 姓名 准考证号 . 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷 和答题纸规定的位置上。 2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本 试题卷上的作答一律无效。 参考公式： 如果事件 A, B 互斥, 那么 柱体的体积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh 如果事件 A, B 相互独立, 那么 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 P(A·B)=P(A)·P(B) 锥体的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n V= Sh 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 Pn(k)= k nC pk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) 球的表面积公式 台体的体积公式 S = 4πR2 球的体积公式 其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, V= πR3 h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．已知集合  1 4P x x   ，，则 P Q  A． 1 2x x  B． 2 3x x  C． 2 3x x  D． 1 4x x  2．已知 a R ，若  1 2 ia a   (i 为虚数单位)是实数，则 a  A．1 B． 1 C． 2 D． 2 3．若实数 ,x y 满足约束条件 3 1 0 3 0 x y x y        ，则 2z x y  的取值范围是 A．  ,4 B． 4, C． 5,  D． ,  3 1 3 4 1 1 2 2( ) 1 3 V hS S S S   资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， Z 数学试题卷 第 2页 共 4页 4．函数 cos siny x x x  在区间 π, π  的图像大致为 A． B． C． D． 5．某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位： 3cm ）是 A． 7 3 B． 14 3 C．3 D． 6 6． 已知空间中不过同一点的三条直线 , ,m n l ，则“ , ,m n l 在同一平面”是 “ , ,m n l 两两相交”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7． 已知等差数列 na 的前 n 项和 nS ，公差 0d  ， 1 1a d  .记 1 2b S ， 1 2 2n n nb S S   ， *n N ，下 列等式不可能成立的是 A． 4 2 62a a a  B． 4 2 62b b b  C． 2 4 2 8a a a D． 2 4 2 8b b b 8． 已知点  0,0O ，  2,0A  ，  2,0B .设点 P 满足 2PA PB  ，且 P 为函数 23 4y x  图像 上的点，则 OP  A． 22 2 B． 4 10 5 C． 7 D． 10 9． 已知 ,a b R 且 0ab  ，若    2 0x a x b x a b     在 0x  上恒成立，则 A． 0a  B． 0a  C． 0b  D． 0b  10．设集合 ,S T ， *S N ， *T N ， ,S T 中至少有两个元素，且 ,S T 满足： ①对于任意 ,x y S ，若 x y ，都有 xy T ； ②对于任意 ,x y T ，若 x y ，则 y Sx  ；下列命题正确的是 A．若 S 有 4 个元素，则 S T 有 7 个元素 B．若 S 有 4 个元素，则 S T 有 6 个元素 C．若 S 有 3 个元素，则 S T 有 4 个元素 D．若 S 有 3 个元素，则 S T 有 5 个元素 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， Z 数学试题卷 第 3页 共 4页 非选择题部分 (共 110 分) 二、填空题：本大题共 7 小题，共 36 分。多空题每小题 6 分；单空题每小题 4 分。 11．已知数列 na 满足  1 2n n na  ，则 3S  ▲ . 12．设  5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 61 2x a a x a x a x a x a x       ，则 5a  ▲ ； 1 2 3a a a   ▲ . 13．已知 tan 2  ，则 cos 2  ▲ ； πtan 4      ▲ . 14．已知圆锥展开图的侧面积为 2π ，且为半圆，则底面半径为 ▲ . 15．设直线  : 0l y kx b k   ，圆 2 2 1 : 1C x y  ，  2 2 2 : 4 1C x y   ，若直线 l 与 1 2,C C 都相切， 则 k  ▲ ；b  ▲ . 16．一个盒子里有 1 个红 1 个绿 2 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿 出黄球的个数为 ，则  0P    ▲ ；  E   ▲ . 17．设 1e ， 2e 为单位向量，满足 1 22 2e e  ， 1 2a e e  ， 1 23b e e  ，设 ,a b 的夹角为 ，则 2cos  的最小值为 ▲ . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18. （本题满分 14 分） 在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2 sin 3b A a ． （Ⅰ）求角 B ； （Ⅱ）求 cos cos cosA B C  的取值范围． 19. （本题满分 15 分） 如图，三棱台 DEF ABC 中，面 ADFC  面 ABC ， 45ACB ACD     ， 2DC BC . （Ⅰ）证明： EF DB ； （Ⅱ）求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值． （第19题图） 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， Z 数学试题卷 第 4页 共 4页 20. （本题满分 15 分） 已知数列     , ,n n na b c 中， 1 1 1 1a b c   ， 1 1n n nc a a   ，  * 1 2 n n n n bc c n Nb     ． （Ⅰ）若数列 nb 为等比数列，且公比 0q  ，且 1 2 36b b b  ，求 q 与 na 的通项公式； （Ⅱ）若数列 nb 为等差数列，且公差 0d  ，证明： 1 2 11nc c c d       ． 21. （本题满分 15 分） 如图，已知椭圆 2 2 1 : 12 xC y  ，抛物线  2 2 : 2 0C y px p  ， 点 A 是椭圆 1C 与抛物线 2C 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 1C 于点 B ，交抛物线 2C 于 M （ ,B M 不同于 A ）． （Ⅰ）若 1 16p  ，求抛物线 2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值． 22. （本题满分 15 分） 已知1 2a  ，函数   exf x x a   ，其中 e 2.71828  为自然对数的底数． （Ⅰ）证明：函数  y f x 在 0, 上有唯一零点； （Ⅱ）记 0x 为函数  y f x 在  0, 上的零点，证明： （i）  01 2 1a x a    ； （ii）     0 0 e e 1 1xx f a a   . （第21题图） 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289，