绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如
需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.已知集合 A={x||x|1，x∈Z}，则 A∩B=（ ）
A. B. {–3，–2，2，3）
C. {–2，0，2} D. {–2，2}
【答案】D
【解析】
【分析】
解绝对值不等式化简集合 ,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为 3, 2, 1,0,1,2A x x x Z ，
1, 1B x x x Z x x 或 1,x x Z ，
所以 2, 2A B .
故选：D.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.
2.（1–i）4=（ ）
A. –4 B. 4
资料下载来源：高中数学资料群：957807472，
高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289，
C. –4i D. 4i
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
【详解】 4 2 2 2 2 2(1 ) [(1 ) ] (1 2 ) ( 2 ) 4i i i i i .
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
3.如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，…，a12.设 1≤i0 时，讨论函数 g（x）= ( ) ( )f x f a
x a
的单调性．
【答案】（1） 1c ；（2） ( )g x 在区间 (0, )a 和 ( , )a 上单调递减，没有递增区间
【解析】
【分析】
（1）不等式 ( ) 2f x x c 转化为 ( ) 2 0f x x c ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进
行求解即可；
（2）对函数 ( )g x 求导，把导函数 ( )g x 的分子构成一个新函数 ( )m x ，再求导得到 ( )m x ，根据 ( )m x 的正
负，判断 ( )m x 的单调性，进而确定 ( )g x 的正负性，最后求出函数 ( )g x 的单调性.
【详解】（1）函数 ( )f x 的定义域为： (0, )
( ) 2 ( ) 2 0 2ln 1 2 0( )f x x c f x x c x x c ，
设 ( ) 2ln 1 2 ( 0)h x x x c x ，则有 2 2(1 )( ) 2 xh x x x
，
当 1x 时， ( ) 0, ( )h x h x 单调递减，
当 0 1x 时， ( ) 0, ( )h x h x 单调递增，
所以当 1x 时，函数 ( )h x 有最大值，
即 max( ) (1) 2ln1 1 2 1 1h x h c c ，
要想不等式 ( ) 在 (0, ) 上恒成立，
只需 max( ) 0 1 0 1h x c c ；
（2） 2ln 1 (2ln 1) 2(ln ln )( ) ( 0x a x ag x xx a x a
且 )x a
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因此 2
2( ln ln )( ) ( )
x a x x x ag x x x a
，设 ( ) 2( ln ln )m x x a x x x a ，
则有 ( ) 2(ln ln )m x a x ，
当 x a 时， ln lnx a ，所以 ( ) 0m x ， ( )m x 单调递减，因此有 ( ) ( ) 0m x m a ，即
( ) 0g x ，所以 ( )g x 单调递减；
当 0 x a 时， ln lnx a ，所以 ( ) 0m x ， ( )m x 单调递增，因此有 ( ) ( ) 0m x m a ，即 ( ) 0g x ，
所以 ( )g x 单调递减，
所以函数 ( )g x 在区间 (0, )a 和 ( , )a 上单调递减，没有递增区间.
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学
运算能力，是中档题.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将
所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多
答按所答第一题评分．
[选修 4—4：坐标系与参数方程]
22.已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 C1：
2
2
4cos
4sin
x
y
，
（θ为参数），C2：
1,
1
x t t
y t t
（t 为参数）.
（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过
极点和 P 的圆的极坐标方程.
【答案】（1） 1 : 4C x y ； 2 2
2 : 4C x y ；（2） 17 cos5
.
【解析】
【分析】
（1）分别消去参数 和 t 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点 P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极
坐标方程.
【详解】（1）由 2 2cos sin 1 得 1C 的普通方程为： 4x y ；
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由
1
1
x t t
y t t
得：
2 2
2
2 2
2
1 2
1 2
x t t
y t t
，两式作差可得 2C 的普通方程为： 2 2 4x y .
（2）由 2 2
4
4
x y
x y
得：
5
2
3
2
x
y
，即 5 3,2 2P
；
设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中 0a ，
则
2 2
25 302 2a a
，解得： 17
10a ，所求圆的半径 17
10r ，
所求圆的直角坐标方程为：
2 2
217 17
10 10x y
，即 2 2 17
5x y x ，
所求圆的极坐标方程为 17 cos5
.
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐
标方程等知识，属于常考题型.
[选修 4—5：不等式选讲]
23.已知函数 f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.
（1）当 a=2 时，求不等式 f(x)≥4 的解集；
（2）若 f(x)≥4，求 a 的取值范围.
【答案】（1） 3
2x x
或 11
2x
；（2） , 1 3, .
【解析】
【分析】
（1）分别在 3x 、 3 4x 和 4x 三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当 2a 时， 4 3f x x x .
当 3x 时， 4 3 7 2 4f x x x x ，解得： 3
2x ≤ ；
当 3 4x 时， 4 3 1 4f x x x ，无解；
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当 4x 时， 4 3 2 7 4f x x x x ，解得： 11
2x ；
综上所述： 4f x 的解集为 3
2x x
或 11
2x .
（2） 22 2 22 1 2 1 2 1 1f x x a x a x a x a a a a （当且仅当
22 1a x a 时取等号），
21 4a ，解得： 1a 或 3a ，
a 的取值范围为 , 1 3, .
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
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