2020年全国2卷文科数学latex版(1)

2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 一、 选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合 A = {x | |x| < 3, x ∈ Z}, B = {x | |x| > 1, x ∈ Z}, 则 A ∩ B = ( ) ∅A. {−3, −2, 2, 3}B. {−2, 0, 2}C. {−2, 2}D. 2. (1 − i)4= ( ) −4A. 4B. −4iC. 4iD. 3. 如图, 将钢琴上的 12 个建键依次记为 a1, a2 · · · , a12, 设 1 ≤ i < j < k ≤ 12, 若 k −i = 3 且 j −i = 4, 则称 ai, aj, ak 为原位大三和弦; 若 k − j = 4 且 j − i = 3, 则称 ai, aj, ak 为原位小三和弦. 用这 12 个键构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 ( ) 5A. 8B. 10C. 15D. 4. 在新冠肺炎疫情防控期间, 某超市开通网上销售业务, 每天能完成 1200 份订单的配货, 由于订单量大 幅增加, 导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压 500 份订单为配货, 预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05, 志愿者每人每天能完成 50 份订单配 货, 为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95, 则至少需要志愿者 ( ) 10 名A. 18 名B. 24 名C. 32 名D. 5. 已知单位向量 a, b 的夹角为 60◦, 则在下列的向量中与 b 垂直的是 ( ) a + 2bA. 2a + bB. a − 2bC. 2a − bD. 6. 记 Sn 为等比数列 {an} 的前 n 项和, 若 a5 − a3 = 12, a6 − a4 = 24, 则 Sn an = ( ) 2n − 1A. 2 − 21−nB. 2 − 2n−1C. 21−n − 1D. 7. 执行右边的程序框图若输入的 k = 0, a = 0, 则输出的 k 为 ( ) 2A. 3B. 4C. 5D. 第 1 页 (共 9 页) 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 8. 若过点 (2,1) 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的距离为 ( ) √ 5 5A. 2 √ 5 2B. 3 √ 5 5C. 4 √ 5 5D. 9. 设 O 为坐标原点,x = a 与双曲线 C : x2 a2 − y2 b2 = 1(a > 0, b > 0) 的两条渐近线分别交于 D, E 两点, 若 △ODE 的面积为 8, 则 C 的焦距的最小值为 ( ) 32A. 16B. 4C. 8D. 10. 设函数 f(x) = x3 − 1 x3 , 则 f(x) ( ) 是奇函数, 且在 (0, +∞) 上单调递增A. 是奇函数, 且在 (0, +∞) 上单调递减B. 是偶函数, 且在 (0, +∞) 上单调递增C. 是偶函数, 且在 (0, +∞) 上单调递减D. 11. 已知 △ABC 是面积为 9 √ 3 4 的等边三角形, 且其顶点都在球 O 的球面上, 若球 O 的表面积为 16π, 则 O 到平面 ABC 的距离为 ( ) 3 2A. √ 3B. 1C. √ 3 2D. 12. 若 2x − 2y < 3−x − 3−y, 则 ( ) ln |x − y| > 0A. ln |x − y| < 0B. ln |y − x + 1| > 0C. ln |y − x + 1| < 0D. 第 2 页 (共 9 页) 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 二、 填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 13. 若 sin x = −2 3, 则 cos 2x = . 14. 记 Sn 为等差数列 {an} 前 n 项和, 若 a1 = −2, a2 + a6 = 2, 则 S10 = . 15. 若 x, y 满足    x + y ≥ −1 x − y ≥ −1 2x − y ≤ 1 , 则 z = x + 2y 的最大值 = . 16. 设有以下四个命题: P1 : 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 P2 : 过空间中任意三点有且仅有一个平面 P3 : 若空间两条直线不相交, 则这两条直线平行 P4 : 若直线 l ⊂ 平面 α, 直线 m ⊥ 平面 α, 则 m ⊥ l 则下述命题中所有真命题的序号是 . Œ P1 ∧ p4  p1 ∧ p2 Ž ¬P2 ∨ P3  ¬P3 ∨ ¬p4 第 3 页 (共 9 页) 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 三、 解答题: 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题, 每个试题考 生都必须作答. 第 22、23 为选考题, 考生根据要求作答. (一) 必考题: 共 60 分 17. (12 分) △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 cos2(π 2 + A) + cos A = 5 4 (1) 求 A; (2) b − c = √ 3 3 a, 证明:△ABC 是直角三角形. 第 4 页 (共 9 页) 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 18. (12 分) 某沙漠地区经过治理, 生态系统得到很大改善, 野生动物数量有所增加, 为调查该地区某种野生动物 的数量, 将其分成面积相近的 200 个地块, 从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区, 査得到样本数据 (xi, yi)(i = 1, 2, 3 · · · , 20) 其中 xi, yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积 (单位: 公顷) 和这种野生动物的数量, 并计算得 20P i=1 xi = 60, 20P i=1 yi = 1200, 20P i=1 (xi − x)2 = 80, 20P i=1 (yi − y)2 = 9000, 20P i=1 (xi − x)(yi − y) = 800. (1) 求该地区这种野生动物数量的估计值 (这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物量的平 均数乘以地块数); (2) 求样本 (xi, yi)(i = 1, 2, 3 · · · , 20) 的相关系数 (精到 0.01); (3) 根据现有统计资料, 各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地区这种野 生动物数量更准确的估计, 请给出一种你认为更合理的抽样方法, 并说明理由. 附: 相关系数:r = nX i=1 (xi − x)(yi − y) vuut nX i=1 (xi − x)2 nX i=1 (yi − y)2 , √ 2 ≈ 1.414 第 5 页 (共 9 页) 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 19. (12 分) 已知椭圆 C1 : x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合,C1 的中心与 C2 的顶 点重合, 过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点, 且 |CD| = 4 3|AB|. (1) 求 C1 的离心率; (2) C1 的四个顶点到 C2 准线距离之和为 12, 求 C1 和 C2 的标准方程. 第 6 页 (共 9 页) 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 20. (12 分) 如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 B1C1C 是矩形,M, N 分别为 BC, B1C1 的中点,P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F. (1) 证明:AA1//MN, 且平面 A1AMN ⊥ 平面 EB1C1F; (2) 设 O 为 △A1B1C1 的中心, 若 AO = AB = 6,AO// 平面 EB1C1F, 且 ∠MP N = π 3 , 求四棱锥 B − EB1C1F 的体积. 第 7 页 (共 9 页) 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 21. (12 分) 已知函数 f(x) = 2 ln x + 1. (1) 若 f(x) ≤ 2x + c, 求 c 的取值范围; (2) 若 a > 0, 讨论函数 g(x) = f(x) − f(a) x − a 的单调性. 第 8 页 (共 9 页) 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， (二) 选考题: 共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做, 则按所做的第一题计分. 22. [ 选修 4 − 4 : 坐标系与参数方程 ](10 分) 已知曲线 C1, C2 的参数方程分别为 C1 :    x = 4 cos2 θ, y = 4 sin2 θ (θ 为参数),C2 :    x = t + 1 t , y = t − 1 t (t 为参数). (1) 将 C1, C2 的参数方程化为普通方程; (2) 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设 C1, C2 的交点为 P, 求圆心在极轴上, 且 经过极点和 P 的圆的极坐标方程. 23. [ 选修 4 − 5 : 不等式选讲 ](10 分) 已知函数 f(x) = |x − a2| + |x − 2a + 1|. (1) 当 a = 2 时, 求不等式 f(x) ≥ 4 的解集; (2) 若 f(x) ≥ 4, 求 a 的取值范围. 第 9 页 (共 9 页) 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289，