2020年全国普通高等学校招生全国统一考试数学一卷

2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（江苏卷） 数学 Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上。 1. 已知集合 ，则 = . 2. 已知 是虚数单位，则复数 的实部是 . 3. 已知⼀组数据 的平均数为 ，则 的值是 . 4. 将⼀颗质地均匀的正⽅体骰⼦先后抛掷 次，观察向上的点数，则点数和为 的概率是 . 5. 右图是⼀个算法流程图，若输出 的值为 ，则输⼊ 的值为 . 6. 在平⾯直⾓坐标系 中，若双曲线 的⼀条渐近线⽅程为 ，则该双曲线 的离⼼率是 . 7. 已知 是奇函数，当 时， ，则 的值是 . 8. 已知 ，则 的值是 . 9. 如图，六⾓螺帽⽑坯是由⼀个正六棱柱挖去⼀个圆柱所构成的，已知螺帽的底⾯正六边形边长为 ，⾼为 ，内孔半径为 ，则此六⾓螺帽⽑坯的体积是 . 10. 将函数 的图像向右平移 个单位长度，则平移后的图像中与 轴最近的对称轴⽅ 程是 . 11. 设 是公差为 的等差数列， 是公⽐为 的等⽐数列，已知数列 的前 项和 ，则 的值是 . 12. 已知 ，则 的最⼩值是 . 13. 在 中， ， ， 在边 上，延长 到 ，使得 ，若 （ 为常数），则 的 长度是 . 14. 在平⾯直⾓坐标系 中，已知 是圆 上的两个动点，满⾜ ，则 ⾯积的最⼤值是 . •••••••• A = { − 1, 0, 1, 2}，B = {0, 2, 3} A ∩ B i z = (1 + i)(2 − i) 4，2a，3 − a，5，6 4 a 2 5 y −2 x xOy x2 a2 − y2 5 = 1(a > 0) y = 5 2 x y = f (x) x ≥ 0 f (x) = x 2 3 f (−8) sin2 ( π 4 + α) = 2 3 sin2α 2cm 2cm 0.5cm cm3 y = 3sin(2x + π 4 ) π 6 y {an} d {bn} q {an + bn} n Sn = n2 − n + 2n − 1(n ∈ N∗) d + q 5x2y2 + y4 = 1(x, y ∈ R) x2 + y2 △ABC AB = 4，AC = 3 ∠BAC = 90∘ D AC AD P AP = 9 PA = mPB + ( 3 2 − m)PC m CD xOy P ( 3 2 , 0 ) ，A，B C:x2 + (y − 1 2 ) 2 = 36 PA = PB △PAB 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 购买1951年至今的所有高考数学试卷及答案word版+微信“hehezmv” 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 15. （本⼩题满分14分） 在三棱柱 中， 平⾯ ， ， 分别是 ， 的中点. （1）求证： 平⾯ ； （2）求证：平⾯ 平⾯ . 16.（本⼩题满分14分） 在 中，⾓ 的对边分别为 ，已知 . （1）求 的值； （2）在边 上取⼀点 ，使得 ，求 的值。 17.（本⼩题满分14分） 某地准备在⼭⾕中建⼀座桥梁，桥址位置的竖直截⾯图如图所⽰：⾕底 在⽔平线 上，桥 与 平⾏， 为铅垂线（ 在 上），经测量，左侧曲线 上任⼀点 到 的距离 （⽶）与 到 的距离 （⽶）之间满⾜关系式 ；右侧曲线 上任⼀点 到 的 距离 （⽶）与 到 的距离 （⽶）之间满⾜关系式 ，已知点 到 的 距离为 ⽶。 （1）求桥 的长度； （2）计划在⾕底两侧建造平⾏于 的桥墩 和 ，且 为 ⽶，其中 ， 在 上（不 包括端点），桥墩 每⽶造价 （万元），桥墩 每⽶造价 （万元）（ ），问 为多少⽶时，桥墩 与 的总造价最低？ ••••••• ABC − A1B1C1 AB ⊥ AC，B1C ⊥ ABC E F AC B1C EF// AB1C1 AB1C ⊥ ABB1 △ABC A，B，C a，b，c a = 3，c = 2，B = 45∘ sinC BC D cos∠ADC = − 4 5 tan∠DAC O MN AB MN OO′ O′ AB AO D MN h1 D OO′ a h1 = 1 40 a2 BO F MN h2 F OO′ b h2 = − 1 800 b3 + 6b B OO′ 40 AB OO′ CD EF CE 80 C K AB EF k CD 3 2 k k > 0 O′ E CD EF 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 购买1951年至今的所有高考数学试卷及答案word版+微信“hehezmv” 18.（本⼩题满分16分） 在平⾯直⾓坐标系 中，若椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上 且在第⼀象限内， ，直线 与椭圆 相交于另⼀点 . （1）求 的周长； （2）在 轴上任取⼀点 ，直线 与椭圆 的右准线相交于点 ，求 的最⼩值； （3）设点 在椭圆 上，记 与 的⾯积分别是 ， ，若 ，求 的坐标。 19.（本⼩题满分16分） 已知关于 的函数 与 在区间 上恒有 . （1）若 ，求 的表达式； （2）若 ，求 的取值范围； （3）若 ， ，求证： . 20.（本⼩题满分16分） 已知数列 的⾸项 ，前 项和为 ，设 与 是常数，若对⼀切正整数 ，均有 成⽴，则称此数列为“ ”数列. （1）若等差数列 是“ ”数列，求 的值； （2）若数列 是“ ”数列，且 ，求数列 的通项公式； （3）对于给定的 ，是否存在三个不同的数列 为“ ”数列，且 ？若存在，求 的 取值范围；若不存在，说明理由。 xOy E : x2 4 + y2 3 = 1 F1 F2 A E AF2 ⊥ F1F2 AF1 E B △AF1F2 x P AP E Q OP · QP M E △OAB △MAB S1 S2 S2 = 3S1 M x y = f (x)，y = g(x) h(x) = k x + b(k, b ∈ R) D f (x) ⩾ h(x) ⩾ g(x) f (x) = x2 + 2x, g(x) = − x2 + 2x, D = ( − ∞, + ∞) h(x) f (x) = x2 − x + 1, g(x) = klnx, h(x) = k x − k, D = (0, + ∞) k f (x) = x4 − 2x2, g(x) = 4x2 − 8, h(x) = 4(t2 − t)x − 3t4 + 2t2(0 < |t | ⩽ 2) D = [m, n] ⊂ [ − 2, 2] n − m ≤ 7 |an |(n ∈ N∗) a1 = 1 n Sn λ k n S 1 k n+1 − S 1 kn = λa 1 k n−1 λ − k {an} λ − 1 λ {an} 3 3 − 2 an > 0 {an} λ {an} λ − 3 an ⩾ 0 λ 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 购买1951年至今的所有高考数学试卷及答案word版+微信“hehezmv”