精品解析：2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）（解析版）

2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分 150 分. 2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 ( )U A B ð （ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【解析】 【分析】 首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：  1,0,1,2A B   ，则    U 2,3A B  ð . 故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题. 2.若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α0 D. sin2α0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|= 4 3 |AB|. （1）求 C1 的离心率； （2）设 M 是 C1 与 C2 的公共点，若|MF|=5，求 C1 与 C2 的标准方程. 【答案】（1） 1 2 ；（2） 2 2 1 : 136 27 x yC   ， 2 2 : 12C y x . 【解析】 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 【分析】 （1）求出 AB 、 CD ，利用 4 3CD AB 可得出关于 a 、 c 的齐次等式，可解得椭圆 1C 的离心率的值； （2）由（1）可得出 1C 的方程为 2 2 2 2 14 3 x y c c   ，联立曲线 1C 与 2C 的方程，求出点 M 的坐标，利用抛物 线的定义结合 5MF  可求得 c 的值，进而可得出 1C 与 2C 的标准方程. 【详解】（1）  ,0F c ， AB x 轴且与椭圆 1C 相交于 A 、 B 两点， 则直线 AB 的方程为 x c ， 联立 2 2 2 2 2 2 2 1 x c x y a b a b c        ，解得 2 x c by a    ，则 22bAB a  ， 抛物线 2C 的方程为 2 4y cx ，联立 2 4 x c y cx    ， 解得 2 x c y c     ， 4CD c  ， 4 3CD AB ，即 284 3 bc a  ， 22 3b ac ， 即 2 22 3 2 0c ac a   ，即 22 3 2 0e e   ， 0 1e Q ，解得 1 2e  ，因此，椭圆 1C 的离心率为 1 2 ； （2）由（1）知 2a c ， 3b c ，椭圆 1C 的方程为 2 2 2 2 14 3 x y c c   ， 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 联立 2 2 2 2 2 4 14 3 y cx x y c c      ，消去 y 并整理得 2 23 16 12 0x cx c   ， 解得 2 3x c 或 6x c  （舍去）， 由抛物线的定义可得 2 5 53 3 cMF c c    ，解得 3c  . 因此，曲线 1C 的标准方程为 2 2 136 27 x y  ， 曲线 2C 的标准方程为 2 12y x . 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查 计算能力，属于中等题. 20.如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的中 点，P 为 AM 上一点，过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F. （1）证明：AA1∥MN，且平面 A1AMN⊥EB1C1F； （2）设 O 为△A1B1C1的中心，若 AO∥平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦 值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 10 10 . 【解析】 【分析】 （1）由 ,M N 分别为 BC ， 1 1B C 的中点， 1//MN CC ，根据条件可得 1 1/ /AA BB ，可证 1MN AA// ，要证平 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 面 1 1EB C F  平面 1A AMN ，只需证明 EF  平面 1A AMN 即可； （2）连接 NP ，先求证四边形ONPA是平行四边形，根据几何关系求得 EP ，在 1 1B C 截取 1B Q EP ，由 （1） BC ⊥平面 1A AMN ，可得 QPN 为 1B E 与平面 1A AMN 所成角，即可求得答案. 【详解】（1） ,M N 分别为 BC ， 1 1B C 的中点， 1//MN BB 又 1 1/ /AA BB 1//MN AA 在 ABC 中， M 为 BC 中点，则 BC AM 又侧面 1 1BBC C 为矩形， 1BC BB  1//MN BB MN BC 由 MN AM M  ， ,MN AM  平面 1A AMN  BC ⊥平面 1A AMN 又 1 1 //B C BC ，且 1 1B C  平面 ABC ， BC 平面 ABC ， 1 1 //B C 平面 ABC 又 1 1B C  平面 1 1EB C F ，且平面 1 1EB C F  平面 ABC EF 1 1 / /B C EF //EF BC 又 BC  平面 1A AMN  EF  平面 1A AMN EF  平面 1 1EB C F 平面 1 1EB C F  平面 1A AMN （2）连接 NP 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289，  //AO 平面 1 1EB C F ，平面 AONP  平面 1 1EB C F NP  //AO NP 根据三棱柱上下底面平行， 其面 1A NMA 平面 ABC AM ，面 1A NMA  平面 1 1 1 1A BC A N  //ON AP 故：四边形ONPA是平行四边形 设 ABC 边长是 6m ( 0m  ) 可得：ON AP ， 6NP AO AB m    O 为 1 1 1A B C△ 的中心，且 1 1 1A B C△ 边长为 6m  1 6 sin60 33ON m     故： 3ON AP m   //EF BC  AP EP AM BM   3 33 3 EP 解得： EP m 在 1 1B C 截取 1B Q EP m  ，故 2QN m  1B Q EP 且 1 //B Q EP 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 四边形 1BQPE 是平行四边形，  1 //B E PQ 由（1） 1 1B C  平面 1A AMN 故 QPN 为 1B E 与平面 1A AMN 所成角 在 Rt QPN△ ，根据勾股定理可得：    2 22 2 2 6 2 10PQ QN PN m m m     2 10sin 102 10 QN mQPN PQ m      直线 1B E 与平面 1A AMN 所成角的正弦值： 10 10 . 【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面 垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题. 21.已知函数 f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性； （2）证明： 3 3( ) 8f x  ； （3）设 n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ 3 4 n n . 【答案】（1）当 0, 3x     时，    ' 0,f x f x 单调递增，当 2,3 3x      时，    ' 0,f x f x 单调递 减，当 2 ,3x      时，    ' 0,f x f x 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性 即可； (2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式； (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得        2 2 2 2 1 2 3sin sin sin 2 sin 2 sin 4 sin 2 sin 2 sin 2n n nf x x x x x x x x x    ，然后结合(2)的结论和三角 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得：   32sin cosf x x x ，则：    2 2 4' 2 3sin cos sinf x x x x   2 2 22sin 3cos sinx x x   2 22sin 4cos 1x x    22sin 2cos 1 2cos 1x x x   ，  ' 0f x  在  0,x  上的根为： 1 2 2,3 3x x   ， 当 0, 3x     时，    ' 0,f x f x 单调递增， 当 2,3 3x      时，    ' 0,f x f x 单调递减， 当 2 ,3x      时，    ' 0,f x f x 单调递增. (2)注意到        2 2sin sin 2 sin sin 2f x x x x x f x          ， 故函数  f x 是周期为 的函数， 结合(1)的结论，计算可得：    0 0f f   ， 2 3 3 3 3 3 2 2 8f               ， 2 2 3 3 3 3 3 2 2 8f                         ， 据此可得：   max 3 3 8f x    ，   min 3 3 8f x     ， 即   3 3 8f x  . (3)结合(2)的结论有： 2 2 2 2sin sin 2 sin 4 sin 2nx x x x 2 3 3 3 3 3sin sin 2 sin 4 sin 2nx x x x         2 2 2 2 1 2 3sin sin sin 2 sin 2 sin 4 sin 2 sin 2 sin 2n n nx x x x x x x x    2 3 23 3 3 3 3 3sin sin 28 8 8 nx x            资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 2 33 3 8 n          3 4 n     . 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数 的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2) 利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决 生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.并用 2B 铅笔将所选题号涂黑， 多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修 4—4：坐标系与参数方程] 22.已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 C1： 2 2 4cos 4sin x y       ， （θ为参数），C2： 1, 1 x t t y t t       （t 为参数）. （1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过 极点和 P 的圆的极坐标方程. 【答案】（1） 1 : 4C x y  ； 2 2 2 : 4C x y  ；（2） 17 cos5   . 【解析】 【分析】 （1）分别消去参数 和 t 即可得到所求普通方程； （2）两方程联立求得点 P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极 坐标方程. 【详解】（1）由 2 2cos sin 1   得 1C 的普通方程为： 4x y  ； 由 1 1 x t t y t t       得： 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 x t t y t t         ，两式作差可得 2C 的普通方程为： 2 2 4x y  . （2）由 2 2 4 4 x y x y      得： 5 2 3 2 x y     ，即 5 3,2 2P     ； 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中 0a  ， 则 2 2 25 302 2a a             ，解得： 17 10a  ，所求圆的半径 17 10r  ， 所求圆的直角坐标方程为： 2 2 217 17 10 10x y            ，即 2 2 17 5x y x  ， 所求圆的极坐标方程为 17 cos5   . 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐 标方程等知识，属于常考题型. [选修 4—5：不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|. （1）当 a=2 时，求不等式 f(x)≥4 的解集； （2）若 f(x)≥4，求 a 的取值范围. 【答案】（1） 3 2x x  或 11 2x   ；（2）   , 1 3,   . 【解析】 【分析】 （1）分别在 3x  、 3 4x  和 4x  三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到    21f x a  ，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当 2a  时，   4 3f x x x    . 当 3x  时，   4 3 7 2 4f x x x x       ，解得： 3 2x ≤ ； 当 3 4x  时，   4 3 1 4f x x x      ，无解； 当 4x  时，   4 3 2 7 4f x x x x       ，解得： 11 2x  ； 综上所述：   4f x  的解集为 3 2x x  或 11 2x   . （2）        22 2 22 1 2 1 2 1 1f x x a x a x a x a a a a                （当且仅当 22 1a x a   时取等号）， 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289，  21 4a   ，解得： 1a   或 3a  ， a 的取值范围为   , 1 3,   . 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289， 扫码获取更多小初高各科免费资料，有 WORD 版和 PDF 版；有学生帮和教师版。 资料下载来源：高中数学资料群：957807472， 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题群：536036395，大学数学群：702457289，