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2020年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
姓名： 准考证号：
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。满分150分。考试用时120分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：
若事件互斥，则
若事件相互独立，则
若事件在一次试验中发生的概率是，则次
独立重复试验中事件恰好发生次的概率
台体的体积公式
其中，分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高
柱体的体积公式
其中表示柱体的底面积，表示柱体的高
锥体的体积公式
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高
球的表面积公式
球的体积公式
其中表示球的半径
选择题部分(共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
2. 已知，若（为虚数单位）是实数，则
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3. 若实数满足约束条件，则的取值范围是
A. B. C. D.
4. 函数在区间上的图像，可能是
A
B
C
D
5. 某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是
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1
2
1 1 1
（第5题图）
主视图 侧视图
俯视图
A. B.
C. D.
6. 已知空间中不过同一点的三条直线.“共面”是“”相交的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 已知等差数列的前项和为，公差，.记，，，下列等式不可能成立的是
A. B. C. D.
8. 已知点（0,0），（-2,0），（2,0）.设点满足，且为函数图像上的点，则=
A. B. C. D.
9. 已知且，对于任意均有，则
A. B. C. D.
10.设集合，，中字至少有两个元素，且满足：
①对于任意的，若，则；
②对于任意的，若，则.下列命题正确的是
A.若有4个元素，则有7个元素 B.若有4个元素，则有6个元素，
C.若有3个元素，则有5个元素 D.若有3个元素,则有四个元素
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列（）的前3项和是 .
12.二项展开式，则 ， .
13.已知，则 ， .
14.已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 .
15.已知直线（）与圆和圆均相切，则 ， .
16.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个不放回，直到取出红球为止，设此过程中取到黄球的个数为，则 ， .
17.已知平面向量，满足，设，，向量的夹角为，则的最小值是 .
三、解答题：本大题有5小题，共 74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题满分14分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知。
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
（第19题图）
19.（本题满分15分）如图，在三棱台中，平面
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，，.
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本题满分15分）已知数列，，满足,，，
（Ⅰ）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式
（Ⅱ）若为等差数列，公差，证明：，.
21.（本题满分15分）如图，已知椭圆：，抛物线：（），点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线与点（不同于）。
（第21题图）
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值.
22.（本题满分15分）已知，函数，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：
（i）；
（ii）.
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