苏科版八下数学 反比例函数（基础）知识讲解

反比例函数（基础） 责编：康红梅 【学习目标】 1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式． 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质． 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质． 4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题． 【要点梳理】 【高清课堂 反比例函数 知识要点】 要点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反 比例.即 xy k ，或表示为 ky x  ，其中 k是不等于零的常数. 一般地，形如 ky x  ( k为常数， 0k  )的函数称为反比例函数，其中 x是自变量， y 是函数，自变量 x的取值范围是不等于 0 的一切实数. 要点诠释：（1）在 ky x  中，自变量 x是分式 k x 的分母，当 0x  时，分式 k x 无意义， 所以自变量 x的取值范围是 ，函数 y的取值范围是 0y  .故函 数图象与 x轴、 y轴无交点. （2） ky x  ( )可以写成 ( )的形式，自变量 x的指数是 －1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件. （3） ky x  ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比 例函数的比例系数 k，从而得到反比例函数的解析式. 要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 ky x  中，只有一个待 定系数 k，因此只需要知道一对 x y、 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 k的值， 从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ky x  ( 0k  )； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数 k的值； （4）把求得的 k值代回所设的函数关系式 ky x  中. 要点三、反比例函数的图象和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、 四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 x轴、 y轴相交，只是无限靠近两坐 标轴. 要点诠释：（1）若点( a b， )在反比例函数 ky x  的图象上，则点( a b ， )也在此图象 上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数 ( k为常数， 0k  ) 中，由于 ，所以 两个分支都无限接近但永远不能达到 x轴和 y轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以 O 为中心，在 0 的两侧取三对（或三对以上）互为相反 数的值，填写 y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量 从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠 近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由 k的符号决定的：当 0k  时，两支曲线分别位于第 一、三象限内，当 0k  时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图 1，当 0k  时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随 x值的增大而减小； （2）如图 2，当 0k  时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内， y 值随 x值的增大而增大； 要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情 况，反比例函数的增减性都是由反比例系数 k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置 和函数的增减性，也可以推断出 k的符号. 要点四：反比例函数 ( )中的比例系数 k的几何意义 过双曲线 x ky  ( 0k  ) 上任意一点作 x轴、 y轴的垂线，所得矩形的面积为 k . 过双曲线 x ky  ( 0k  ) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形 的面积为 2 k . 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴 的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 【典型例题】 类型一、反比例函数的定义 1、下列函数：①y=2x，②y= ，③y=x﹣1，④y= ．其中，是反比例函数的有（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C； 【解析】 解：①y 是 x 正比例函数； ②y 是 x 反比例函数； ③y 是 x 反比例函数； ④y是 x+1的反比例函数． 故选：C． 【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般 ( 0ky k x  ≠ ）转化为 y=kx﹣1 （k≠0）的形式． 类型二、确定反比例函数的解析式 2、（2016春•大庆期末）已知 y与 x成反比例，且当 x=﹣3时，y=4，则当 x=6时，y 的值为 ． 【思路点拨】根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答 案． 【答案】﹣2． 【解析】 解：设反比例函数为 y= ， 当 x=﹣3，y=4 时，4= ，解得 k=﹣12． 反比例函数为 y= ． 当 x=6时，y =﹣2， 故答案为：﹣2． 【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题关键． 举一反三： 【变式】已知 y与 x成反比，且当 6x   时， 4y  ，则当 2x  时， y值为多少？ 【答案】 解：设 ky x  ，当 6x   时， 4y  ， 所以 4 6 k   ，则 k＝－24， 所以有 24y x   ． 当 2x  时， 24 12 2 y     ． 类型三、反比例函数的图象和性质 3、在函数 2 1ay x    （ a为常数）的图象上有三点( 1 1x y， )，( 2 2x y， )，( 3 3x y， )， 且 1 2 30x x x   ，则 1 2 3y y y， ， 的大小关系是（ ）． A． 2 3 1y y y  B． 3 2 1y y y  C． 1 2 3y y y  D． 3 1 2y y y  【答案】D； 【解析】 解：因为 2 21 ( 1) 0k a a       ，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限 内， y随 x的增大而增大．因为 1 2x x ，所以 1 2y y ．因为 3 3( , )x y 在第四象限，而 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y 在第二象限，所以 3 1y y ．所以 3 1 2y y y  ． 【总结升华】已知反比例函数 ky x  ，当 k＞0， x＞0 时， y随 x的增大而减小，需要强 调的是 x＞0；当 k＞0， x＜0 时， y随 x的增大而减小，需要强调的是 x＜0．这里不能 说成当 k＞0， y随 x的增大而减小．例如函数 2y x  ，当 x＝－1 时， y＝－2，当 x＝1 时， y＝2，自变量由－1到 1，函数值 y由－2 到 2，增大了．所以，只能说：当 k＞0时， 在第一象限内， y随 x的增大而减小． 举一反三： 【变式 1】已知 2( 3) my m x   的图象是双曲线，且在第二、四象限， (1)求m的值． (2)若点(－2， 1y )、(－1， 2y )、(1， 3y )都在双曲线上，试比较 1y 、 2y 、 3y 的大小． 【答案】 解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且 2 1 3 0 m m       ，∴ 1m  . (2)由(1)得此函数解析式为： 2y x   ． ∵ (－2， 1y )、(－1， 2y )在第二象限，－2＜－1，∴ 1 20 y y  ． 而(1， 3y )在第四象限， 3 0y  ． ∴ 3 1 2y y y  【高清课堂 反比例函数 例 5】 【变式 2】对于函数 y= ，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象分布在一、三象限； B. 它的图象与坐标轴没有交点； C. 它的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形； D. 当 x＜0时，y的值随 x的增大而增大. 【答案】D； 解：A、k=2＞0，图象位于一、三象限，正确； B、因为 x、y均不能为 0，所以它的图象与坐标轴没有交点，正确； C、它的图象关于 y=﹣x成轴对称，关于原点成中心对称，正确； D，当 x＜0时，y的值随 x的增大而减小， 故选：D． 类型四、反比例函数综合 4、已知点 A(0，2)和点 B(0，－2)，点 P 在函数 1y x   的图象上，如果△PAB 的面积 是 6，求 P点的坐标． 【思路点拨】由已知的点 A、B 的坐标，可求得 AB＝4，再由△PAB 的面积是 6，可知 P 点到 y轴的距离为 3，因此可求 P的横坐标为±3，由于点 P 在 1y x   的图象上，则由横 坐标为±3可求其纵坐标． 【答案与解析】 解：如图所示，不妨设点 P 的坐标为 0 0( , )x y ，过 P 作 PC⊥ y轴于点 C． ∵ A(0，2)、B(0，－2)， ∴ AB＝4． 又∵ 0| |PC x 且 6PABS △ ， ∴ 0 1 | | 4 6 2 x  ，∴ 0| | 3x  ，∴ 0 3x   ． 又∵ 0 0( , )P x y 在曲线 1y x   上，∴ 当 0 3x  时， 0 1 3 y   ；当 0 3x   时， 0 1 3 y  ． ∴ P 的坐标为 1 13, 3 P      或 2 13, 3 P      ． 【总结升华】通过三角形面积建立关于 0x 的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴 的距离等于相应坐标的绝对值． 举一反三： 【变式】已知：如图所示，反比例函数 ky x  的图象与正比例函数 y mx 的图象交于 A、B， 作 AC⊥ y轴于 C，连 BC，则△ABC 的面积为 3，求反比例函数的解析式． 【答案】 解：由双曲线与正比例函数 y mx 的对称性可知 AO＝OB， 则 1 3 2 2AOC ABCS S △ △ ． 设 A 点坐标为( Ax ， Ay )，而 AC＝| Ax |，OC＝| Ay |， 于是 1 1 1 3| | | | 2 2 2 2AOC A A A AS AC OC x y x y      △ ， ∴ 3A Ax y   ， 而由 A A ky x  得 A Ax y k ，所以 3k   ， 所以反比例函数解析式为 3y x   ．