专题 04 平面向量的数量积（客观题）
一、单选题
1．在等腰直角三角形 ABC 中， 1AB AC ，则 AB AC BC
A．0 B． 1
C． 2 D．1
【试题来源】黑龙江省绥化市 2020-2021 学年高三上学期期中考试（理）
【答案】A
【解析】 2 2
0AB AC BC AB AC AC AB AC AB ．故选 A．
2．平面向量 (1,0)a ， ( 1, 3)b ，则向量b
在向量 a
方向上的投影为
A． 1 B．1
C． 1
2 D． 1
2
【试题来源】河南省校 2020-2021 学年高三上学期第四次月考（理）
【答案】A
【解析】依题意，向量b
在向量 a
方向上的投影为
1 11
a b
a
．故选 A．
3．若平面向量 a
与b
的夹角为 120°， 2a
＝ ， 2 3 3a b a b ＝ ，则 b
＝
A． 1
2 B． 1
3
C．2 D．3
【试题来源】山东省德州市 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】B
【解析】化简 2 2 2
2 3 6 4 6 3a b a b a a b b b b ＝ ，
1
3b 或 1
2b （舍去）．故选 B．
4．设向量 ,1a a ， ( )1, 0b b ab ，若 a b ，则直线 2 0 b x y 与直线 2 0x a y
的位置关系是
A．平行 B．相交且垂直
C．相交但不垂直 D．重合
【试题来源】江西省 2021 届高三上学期第四次考试（文）
【答案】B
【解析】因为向量 ,1a a ， ( )1, 0b b ab ，若 a b ，则 0a b ，即 b a ，
所以直线 2 0 b x y 可化为 2y a x ，直线 2 0x a y 可化为 2
1y xa
，
两直线斜率之积为 2
2
1 1a a
，所以两直线相交且垂直．故选 B．
5．已知向量 (1, )a y ， ( 2,1)b 且 ( )a b b ，则实数 y
A．1 B． 1
2
C． 1
2
D． 3
【试题来源】重庆市校 2021 届高三上学期第三次质量检测
【答案】D
【分析】由 ( )a b b 可得 ( ) 0a b b ，从而列出方程求出 y 的值
【解析】因为向量 (1, )a y ， ( 2,1)b ，所以 ( 1, 1)a b y ，
因为 ( )a b b ，所以 ( ) 0a b b ，
所以 ( 2) ( 1) 1 ( 1) 0y ，解得 3y ，故选 D．
6．如图，AB 是单位圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点，则 AC AD
A．1 B． 3
2
C． 3
2 D． 3
【试题来源】山东省临沂市 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】C
【解析】连接 ,OD OC ，则 2 , , 13 6AOD CAD AC ，
在 AOD△ 中，由余弦定理得 2 2 2 11 1 2 1 1 ( ) 3, 32AD AD ．
所以 31 3 cos 6 2AC AD ．故选 C．
7．已知单位向量 a
满足 2 a b
， 1a b ，则 a
与b
的夹角为
A． π
6 B． π
3
C． π
2 D． 2π
3
【试题来源】贵州省思南中学 2021 届高三上学期期中考试（文）
【答案】B
【解析】单位向量 a
满足 2 a b
，则 1 2a b
r r， ，
1 1cos , 1 2 2
a ba b
a b
，又 a
与b
的夹角的范围是 0 ， ，
所以 a
与b
的夹角为 π
3
，故选 B．
8．已知向量 ,a b
满足| | 1a ， 1a b ，则 (2 )a a b
A．4 B．3
C．2 D．0
【试题来源】甘肃省武威第六中学 2020-2021 学年高三上学期第四次过关考试（理）
【答案】B
【解析】向量 a ， b
满足| | 1a ， 1a b ，则 2(2 ) 2 2 1 3a a b a a b ，故选 B ．
9．已知在四边形 ABCD 中， AB AD ， 1CD ， 2 0AB CD
uuur uuur r ， E 是 BC 的中点，则
AB AE
uuur uuur
A． 3
2 B．2
C．3 D．4
【试题来源】四川省阆中中学 2020-2021 学年高三 11 月月考（理）
【答案】C
【解析】四边形 ABCD 如图：
因为 AB AD ， 2 0AB CD
uuur uuur r ，所以 ABCD 是直角梯形，由 1CD ， 2 0AB CD
uuur uuur r ，
可得| | 2AB ． E 是 BC 的中点，过 E 作 EF AB 于 F ，则 3 3| | | |4 2AF AB ，
可得 3| || | cos | | | | 2 32AB AE AB AE EAB AB AF ．故选C ．
10．已知 1,3AB ， 2,AC t ， 1BC
，则 AB AC
A．5 B．7
C．9 D．11
【试题来源】辽宁省 2021 届高三新高考 11 月联合调研
【答案】D
【解析】由已知，得 2, 1,3 1, 3BC AC AB t t ，又 1BC
，
所以 2( 3) 1 1t ，解得 3t ，所以 1,3 2,3 2 9 11AB AC ．故选 D．
11．已知 OAB ， 1OA ， 2OB ， 1OA OB ，过点O 作OD 垂直 AB 于点 D ，点 E
满足 1
2OE ED ，则 EO EA 的值为
A． 3
28
B． 1
21
C． 2
9
D． 2
21
【试题来源】江西省万载县第二中学 2021 届高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】D
【解析】由题意，作出图形，如图，
1OA ， 2OB ， 1OA OB
1 2cos 2cos 1OA OB AOB AOB ， 1cos 2AOB ，
由 0,AOB 可得 2
3AOB ，
2 2 2 cos 7AB OA OB OA OB AOB ，
又 1 1 3sin2 2 2AOBS OA OB AOB OD AB △ ，则 3
7
OD ，
2 22 2 3 22 9 9 7 21EO EA OE ED DA OE OD ．故选 D．
12．已知 3a
， 4b
， 2 3 2 61b a b a
，则 a
与b
的夹角为
A．
6
B．
3
C． 5
6
D． 2
3
【试题来源】江西省万载县第二中学 2021 届高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】D
【解析】设平面向量 a
与b
的夹角为 ，
2 2
2 3 2 4 4 3 37 4 61b a b a b a b a a b ，可得 6a b ，
所以，
6 1cos 3 4 2
a b
a b
， 0 Q ，因此 2
3
．故选 D．
13．如图，在梯形 ABCD 中， //AB CD ， 4AB ， 3AD ， 2CD ， 2AM MD ，
3AC BM
，则 AB AD
A． 1
2 B． 1
2
C． 3
2 D． 3
2
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年度上学期高三二调考试（理）
【答案】C
【解析】因为在梯形 ABCD 中， //AB CD ， 4AB ， 3AD ， 2CD ， 2AM MD ，
所以 1 2
2 3AC BM AD DC BA AM AD AB AB AD
2 22 1 2 33 2 3AD AB AD AB ．所以 2 22 1 23 4 33 2 3 AB AD ，
则 3
2AB AD
．故选 C．
14．已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，其中 M 为 BC 边的中点， ABC 的平分线交
线段 AM于点 N ，则 AM BN
A． 1
4
B． 1
3
C． 2
3
D． 1
【试题来源】天一大联考（河北广东全国新高考）2020-2021 学年高中毕业班阶段性测试（二）
【答案】D
【解析】设 BN 交 AC 于点 D ，如图，
由题意可得点 N 为 ABC 的重心，则 3AM ， 2 3
3BN ， 120DNM ，
所以 2 3 1cos 3 13 2AM BN AM BN DNM
．故选 D．
15． ABC 中， 1AB ， 2AC ，面积 1ABCS △ ，m AB CA ，n AB CA ，
若 m n ，则实数
A．0 B．3
C． 3 D．2
【试题来源】百师联盟 2021 届一轮复习（二） 全国卷 III 文数试题
【答案】B
【解析】因为 1AB ， 5AC ， 1ABCS △ ，
所以 1 1 5 sin 12 A ，所以 2sin
5
A ，所以 1cos
5
A ，
所以 cos π 1AB CA AB CA A ．
因为 m n ，所以 0m n ，即 2 2
1 0AB AB CA CA ．
若 1AB CA ，则 1 5 0 ，所以 3 ；
若 1AB CA ，则 1 5 0 ，无解．综上， 3 ，故选 B．
16．已知在平面直角坐标系中，向量 1,2a ， 1,1b ，且 am b ， n a b ，
令 m 与 n 的夹角为 ，则 cos
A． 5
5
B． 1
2
C． 10
10
D． 10
5
【试题来源】百师联盟 2021 届高三一轮复习联考（二）全国卷 （文）
【答案】A
【解析】因为 0,3am b ， 2,1n ba ，
所以 3 5cos 53 5
m n
m n
．故选 A．
17．已知单位向量 a ， b
的夹角为 2
3
，则在下列向量中，与向量 a b 的夹角为钝角的是
A． a B． a b
C． 2a b D． 2a b
【试题来源】四川省康德 2020-2021 高三 11 月
【答案】C
【解析】对于 A， 2 2 11 cos 03 2a b a a a b ， A错误；
对于 B ， 2 2 0a b a b a b ， B 错误；
对于C ， 2 2 2 12 1 cos 232 02a b a b a a b b ，
又 a b 与 2a b 不反向， a b 与 2a b 夹角为钝角， C 正确；
对于 D ， 2 22 2 33 2 1 3cos 2 03 2a a bb ba a b ，D 错误．故选 C．
【名师点睛】两向量数量积与夹角的关系如下：（1）若两向量数量积大于零，则夹角为零角
或锐角；（2）若两向量数量积小于零，则夹角为钝角或平角．
18．在 ABC 中， 2AB ， 2BC CA ， AB BC ．
A． 1 B． 2
C．1 D．2
【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试 THUSSAT2021 届高三诊断性测试 （文）（一）
试题
【答案】B
【解析】在 ABC 中， 2AB ， 2BC CA ，
即 2 2 2AB BC CA ，所以 ABC 为等腰直角三角形，
所以 32 2 cos 24AB BC ，故选 B．
19．已知向量 (1,2)a ，向量 (2, 2)b ， a kb 与 a b 垂直，则 k＝
A．2 B．10
7
C． 1
2 D． 7
10
【试题来源】广东省湛江市 2021 届高三上学期高中毕业班调研测试题
【答案】D
【解析】因为向量 (1,2)a ，向量 (2, 2)b ，所以 2
5a ， 2
8b ， 2a b ，
又 a kb 与 a b 垂直，所以 2 2
( ) ( ) ( 1)a kb a b a kb k a b ，
5 8 2( 1) 7 10 0k k k ，所以 7
10k ，故选 D．
20．已知向量 ( 1,1)m a
ur ， (2 ,2)n b
r ( 0, 0)a b ，若 / /m n
，则 m n 的取值范围
是
A．[2, ) B． (0, )
C．[2,4) D． (2,4)
【试题来源】甘肃省永昌县第一中学 2020-2021 学年高三上学期第一次月考数学理试题
【答案】C
【解析】因为 / /m n
，所以 2 2 2a b ，所以 2 4a b ，所以 4 2 0b a ，所以
0 2a ， 所 以
m n 22 2 2 4 (4 2 ) 2 4 4a b ab ab a a a a 22( 1) 2a [2,4) ，故
选 C．
21．设 为实数，已知向量 m =(-1，2)， n =(1， )．若 m n ，则向量 m +2 n 与 m 之间
的夹角为
A．
4
B．
3
C． 2
3
D． 3
4
【试题来源】江苏省南京师大附中 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】A
【解析】因为向量 ( 1,2), (1, )m n ，若 m n ，则 1 1 2 0m n ，解得 1
2
，
所以 2 (1,3)m n ，所以 ( 2 ) 1 ( 1) 3 2 5m n m ， 2 2| 2 | 1 3 10m n ，
2 2| | ( 1) 2 5m ， 设 向 量 m
+2 n 与 m
之 间 的 夹 角 ， 则 0 ，
( 2 ) 5 2cos | 2 | | | 210 5
m n m
m n m
，所以向量 m
+2 n 与 m
之间的夹角为
4
．故
选 A．
22．把与直线 l 垂直的向量称为直线 l 的法向量．设 ( , )e A B 是直线 l 的一个方向向量，那
么 ( , )n B A 就是直线l 的一个法向量．借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线
的距离．已知 P 是直线l 外一点，n
是直线l 的一个法向量，在直线l 上任取一点 Q，那么 PQ
在法向量 n
上的投影向量为 cos nPQ n
( 为向量 n
与 PQ
的夹角），其模就是点 P 到直线
l 的距离 d ，即
PQ n
d
n
．据此，请解决下面的问题：已知点 A(-4，0)，B(2，-1)，C(-1，
3)，则点 A 到直线 BC 的距离是
A． 21
5 B．7
C． 27
5 D．8
【试题来源】江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】A
【解析】由 B(2，-1)，C(-1，3)，可得直线方程为 4 3 5 0x y ，
故直线的法向量为 (4,3)n ，在直线上取一点 P (5, 5) ，则 (9, 5)AP ，
根据题目所给距离公式可得距离 (9, 5) (4,3) 21
(4,3) 5
AP n
d
n
．故选 A．
23．已知向量 2 ,1a x 与 , 2b y 互相垂直，则 3a b
的最小值为
A．7 B．6
C．5 D．4
【试题来源】河南省焦作市 2020—2021 学年高三年级第一次模拟考试（理）
【答案】A
【解析】因为 a b ，所以 2 2 0xy ，所以 1xy ．
所以 2 3 2 6 2 6x y xy ，当且仅当 2 3 6x y 或 6 时等号成立，
所以 2 23 2 3 5 7a b x y ．故选 A．
24．已知非零向量 ,m n
满足 3 5m n
ur r
， 1cos , 5m n
ur r
．若 n tm n
，则实数 t 的值为
A． 3
5- B． 3
8
C． 3 D．3
【试题来源】黑龙江宾县第一中学 2020-2021 学年高三第一学期第二次月考（理）
【答案】C
【解析】由 n tm n
，得 2
tm tn
ur r urr r r
n m n n
21 05t
ur r r
m n n ，
3 5m n
ur r
Q ，
25 1 03 5t n n n
r r r
，
2
1 03 nt
r
，解得 3t ．故选 C．
25．若向量 2,0a ， 1,1b r ，则下列结论正确的是
A． 1a b B． a b
r r
C． a b b
D． //a b
r r
【试题来源】甘肃省张掖市第二中学 2020-2021 学年高三上学期 9 月月考（文）
【答案】C
【解析】对于 A 选项， 2 1 0 1 2a b ，A 选项错误；
对于 B 选项，由平面向量的模长公式可得 2a
， 2 21 1 2b ，B 选项错误；
对于 C 选项， 1, 1a b ， 21 1 1 0a b b
， a b b
，C 选项正确；
对于 D 选项， 1 2 1 0 ，则 a
与b
不平行，D 选项错误．故选 C．
26．已知向量 ,a b
满足 1a
， 4b
，且 2a b ，则 a
与b
的夹角的取值范围是
A． ,6
B． 0, 3
π
C． 0, 3
D． ,3
【试题来源】河南省校 2020-2021 学年高三上学期第四次月考（文）
【答案】C
【解析】设 a与 b
的夹角 ， | | | | cos 1 4cos 2a b a b
， 1cos 2
，
[0 ， ] ， 0, 3
．故选C ．
27．已知向量 a b
， 的夹角为 60 ， 2a ， 1b ，则 2a b
A． 3 B．3
C． 2 3 D．12
【试题来源】西藏日喀则市拉孜县中学 2021 届高三上学期第二次月考（理）
【答案】C
【解析】 向量 a 与 b
的夹角为 60 ，| | 2a ，| | 1b ，
所以 2 22+2 ( +2 ) +4 4a b a b a a b b 2 212 4 2 1 4 1 2 32
，故选 C．
28．已知向量 1 2a r ， ， 1b m ， ．若 a b ，则 m
A． 2 B． 1
2
C． 1
2
D． 2
【试题来源】西藏自治区拉孜县中学 2021 届高三上学期第二次月考（文）
【答案】A
【解析】 a b
， 2 0a b m
， 2m ，故选 A．
29．已知平面向量 1, 2a
， 2,1b
， 4, 2c
， 则下列结论中错误的是
A．向量 c
与向量 b
共线
B．若 1 2 1 2,c a b
R ，则 1 0 ， 2 2
C．对同一平面内任意向量 d
，都存在实数 1k ， 2k ，使得
1 2d k b k c
D．向量 a
在向量 b
方向上的投影为 0
【试题来源】北京市 2021 届高三 9 月数学统练二试题
【答案】C
【解析】对于 A ，因为 2,1b
， 4, 2c
，所以 2c b ，所以向量 c
与向量 b
共
线，故 A正确；
对于 B ，若 1 2 1 2,c a b
R ，则 1 2 1 2( 4, 2) ( 2 , 2 ) ，
所以 1 2
1 2
2 4
2 2
，解得 1 0 ， 2 2 ，故 B 正确；
对于C ，因为 2c b ，所以 1 2 1 2 1 22 ( 2 )k b k c k b k b k k b ，所以当 d
不与 b
共线，
且 0d 时，不存在实数 1k ， 2k ，使得
1 2d k b k c
，故C 不正确；
对于 D ，向量 a
在向量 b
方向上的投影为 1 2 2 1 0
| | 1 4
a b
b
，故 D 正确．故选 C
30．已知向量 cos ,sina ， 1, 2b
r
，若 a
与b
的夹角为 5
6
，则 a b
A． 2 B． 7
C． 2 D．1
【试题来源】云南省 2021 届高三上学期高考复习质量监测（理）（三）
【答案】B
【解析】 cos ,sina
r
Q ， 1, 2b
r
，则 2 2cos sin 1a ，同理 3b
，
22 222 2 5 32 2 cos 1 2 1 3 3 76 2a b a b a a b b a a b b
，因此， 7a b
．故选 B．
31．已知向量 a ， b
满足 2a
， 2b
，且 2a a b ，则 b
在 a方向上的投影为
A． 1
2
B． 1
C． 1
2 D．1
【试题来源】广西南宁三校联考 2020-2021 学年高二学期高二段考（期中）（文）
【答案】B
【解析】因为 2a a b ， 2
2 2 4 2 0a a b a a b a b ， 2a b ，
所以 b
在 a方向上的投影为
2 12
a b
a
．故选 B．
32．若向量 a， b
满足| | 1a ，| | 2b ，且 ( )a b a ，则 a与 b
的夹角为
A．
2
B． 2
3
C． 3
4
D． 5
6
【试题来源】北京市第三中学 2021 届高三上学期期中考试
【答案】C
【解析】 ( )a b a ， ( ) 0a b a ，即 2 0a a b ，
又| | 1a ，| | 2b ， 1 1 2 cos , 0a b ，得 2cos , 2a b ，
而 , [0, ]a b ，
4
3,a b ，故选C ．
33．已知向量 cos ,sina r ，向量 3, 1b ，则 2a b 的最大值和最小值分别是
A．4，2 B．4，0
C．16，2 D．16，0
【试题来源】陕西省宝鸡市扶风县法门高中 2020-2021 学年高三上学期第三次月考（文）
【答案】B
【解析】向量 (cos ,sin )a ，向量 ( 3, 1)b ，则 2 (2cos 3a b ， 2sin 1) ，
所以 2 2 2| 2 | (2cos 3) (2sin 1) 8 4 3 cos 4sin 8 8sin( )3a b ，
所以 2| 2 |a b 的最大值，最小值分别是 16，0；
所以| 2 | a b 的最大值，最小值分别是 4，0．故选 B
34．已知 1e
、 2e
是两个夹角为 60 的单位向量，若 1 2a e e ， 1 22 3b e e
r ur ur ，且 a b ，
则
A． 3
2
B． 2
3
C． 1
4 D． 7
8
【试题来源】吉林市普通高中 2021 届高三第一次调研测试（期中）（文）
【答案】C
【分析】由题意可得出 0a b ，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于实数 的等式，
由此可解得实数 的值．
【解析】由平面向量数量积的定义可得 1 2 1 2
1cos60 2e e e e ，
1 2a e e
， 1 22 3b e e
r ur ur ，且 a b ，
所 以 ，
2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
12 3 2 2 3 3 2 2 3 3 02a b e e e e e e e e ，
解得 1
4
．故选 C．
【名师点睛】求解平面向量垂直问题，一般有如下方法：
（1）当向量 a
与b
是坐标形式给出时，若证明 a b ，则只需证明 1 2 1 20 0a b x x y y ；
（2）当向量 a
与 b
是非坐标形式时，要把 a
与b
用已知的不共线向量作为基底来表示且不
共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明 0a b ；
（3）数量积的运算 0a b a b 中，是对非零向量而言的，若 0a ，虽然有 0a b ，
但不能说明 a b ．
35．已知 AB 为圆： 2 2 1x y 上一动弦，且 2AB ，点 2 3, 6P ，则 PA PB 最
大值为
A．12 B．18
C．24 D．32
【试题来源】河南省南阳市 2020-2021 学年高三期中质量评估（文）
【答案】C
【解析】设 AB 的中点为 M ，则OM AB ， 2
2OM ，所以 M 在以 O 为圆心， 2
2
为 半 径 的 圆 上 ，
( ) ( ) ( ) ( )PA PB PM MA PM MB PM MA PM MA
2 2 2 1
2PM MA PM ，
又 2 2(2 3) ( 6) 3 2PO ，所以
max
2 7 23 2 2 2PM ， 2
max
49
2PM ，
所以 PA PB 的最大值为 49 1 242 2
．故选 C．
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取弦 AB 中点 M ，利用 M 的轨
迹是圆，把 ,PA PB
用 PM
表示，求出 PM
的最大值即可得结论，而由点 P 到圆心的距离
即可得最大值．
36 ． 已 知 两 个 单 位 向 量 a ， b
， 其 中 向 量 a 在 向 量 b
方 向 上 的 投 影 为 1
2
． 若
2a b a b ，则实数 的值为
A． 1
4
B． 1
2
C．0 D． 1
2
【试题来源】安徽省江淮十校 2020-2021 学年高三上学期第二次质量检测（文）
【答案】C
【解析】记 a 与 b
的夹角为 ，则 a 在 b
上的投影为 cosa ，则 1cos 2a ，所以
2 2 1 32 2 2 2 1 (2 ) 02 2a b a b a b a b ，故 0 ，
故选 C．
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示．
（1）设 ,a b
向量的夹角为 ，则 a
在b
方向上的投影是 cos a ba
b
；
（2）对两个非零向量 ,a b
， 0a b a b ．
37．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 2 2: 9C x y 及圆C 内的一点 1,2P ，圆C 的过
点 P 的直径为 MN ，若线段 AB 是圆C 的所有过点 P 的弦中最短的弦，则 ( )AM BN AB
的值为
A．8 B．16
C．4 D． 4 3
【试题来源】江苏省南京市三校 2020-2021 学年高三上学期期中联考
【答案】B
【解析】由题意可知 AB MN ，圆 C 的半径为 3r ， 5OP ，
0NM AB
， 2 22 4AB r OP ，
2 2
( ) [ ( )] ( ) 16AM BN AB AM AN AB AB NM AB AB NM AB AB AB
．
故选 B．
38．设 A、 B 、C 是半径为1的圆上三点，若 2AB ，则 AB AC
uuur uuur 的最大值为
A．3 3 B． 3 32
C．1 2 D． 2
【试题来源】湖北省随州市 2020-2021 学年高二上学期 9 月联考
【答案】C
【分析】设圆心为点O ，分析得出OA OB ，再由平面向量的减法与数量积的运算性质得
出 1AB AC AB OC ，再利用 AB
与OC
同向时可求得 AB AC
uuur uuur 的最大值．
【解析】设圆心为点O ，则 1OA OB ， 2AB Q ， 2 2 2AB OA OB ，则OA OB ，
2
1AB AC OB OA OC OA OB OC OA OC OA OB OA OC
1 cos , 1 2 1AB OC AB OC AB OC
．
当且仅当 AB
与OC
方向相同时，等号成立，因此， AB AC
uuur uuur 的最大值为1 2 ．故选 C．
39．已知向量 cos ,sina ， 1, 3b ，其中 0, ，则 a b 的取值范围是
A． 1,2 B． 1,1
C． 2 2 , D． 3,2
【试题来源】浙江省台州市金清中学 2019-2020 学年高一下学期期末测试（B 卷）
【答案】A
【解析】 cos 3sin 2sin 6a b
，
0, Q ， 7,6 6 6
， 1sin ,16 2
， 1,2a b ．故选 A．
【名师点睛】求解正弦型函数 siny A ωx φ 值域的步骤如下：（1）利用 x 的范围求得
x 整体的范围；（2）将 x 看作一个整体，对应正弦函数图象求得 sin x 的
值域；（3）代入函数，得到所求函数的值域．
40．如图，点 P 在 ABC 的内部，D ，E 是边 AB ，AC 的中点( D ，P ，E 三点不共线)，
2 2PE PD ， 4BC PD
uuur uuur ，则向量 PD
与 PE
的夹角大小为
A．105° B．120°
C．135° D．150°
【试题来源】河南省八市全国百强名校“领军考试”联考 2020-2021 年第一学期高三（理）
【答案】B
【解析】连接 DE ，如下图所示．
因为 D ， E 是边 AB ， AC 的中点，所以 //DE BC ，且 1
2DE BC ，所以 2BC DE ，
所以 2 2BC PD DE PD PE PD PD
uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur
22
2 2 2 cos 2 4PE PD PD PE PD DPE PD
uur uuur uuur uur uuur uuur
cos 2 4DPE ，
解得 1cos 2DPE ．因为 0,πDPE ，
所以 120DPE ．则向量 PD
与 PE
的夹角大小为 120°，故选 B．
二、填空题
1．已知 ABC 的外心为 , 3 4O AO BC BO AC CO BA ，则 cosB 的取值范围是
_________．
【试题来源】浙江省 2020-2021 学年高三上学期 11 月期中
【答案】 2 ,13
【解析】作出图示如下图所示，取 BC 的中点 D，连接 OD，AD，因为 ABC 的外心为 O，
则 OD BC^ ，
因为 + +AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD BC
，
又 2 2 2 21 1 1+2 2 2AD BC AB AC AC AB AC AB b c ， 所 以
2 21
2AO BC b c ，
同理可得 2 21
2BO AC a c ， 2 21
2CO BA b a ，
所以 3 4AO BC BO AC CO BA 化为 2 2 2 2 2 21 1 13 42 2 2b c a c b a ，
即 2 2 2+2 3a c b ．
由余弦定理得 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 +2 1 23cos 2 2 3 2
+a c a ca c b a cB ac ac ac
，
又
2 22 2 2 22 2
+a c ac
ac ac
，当且仅当 2a c 时，取等号，
又 0 B ，所以 2 cos 13 B ．故答案为 2 ,13
．
【名师点睛】本题考查向量的数量积运算，以及三角形的外心的定义和性质，关键在于三角
形的外心的定义和向量的线性表示，转化表示向量的数量积，将已知条件转化为三角形的边
的关系，属于较难题．
2．已知向量 2,5a r ， 2,b mr ，若 a b ，则 m _________．
【试题来源】河南省部分重点高中 2020-2021 学年高三阶段性考试（四）（理）
【答案】 4
5
【分析】直接利用向量垂直的坐标运算公式运算即可．
【解析】由题意可得 2 2 5 0m ，则 4
5m ．故答案为 4
5
3．已知在平面直角坐标系中，向量 1,2a ， 1,1b ，且 am b ，n a b ，设
m 与 n 的夹角为 ，则 cos _________．
【试题来源】百师联盟 2021 届一轮复习（二） 全国卷 III 理数试题
【答案】 5
5
【分析】根据向量的坐标元素，得到 m 与 n 的坐标，根据向量夹角的坐标表示，即可得出
结果．
【解析】因为 0,3m a b ， 2,1n a b ，
所以 3 5cos 53 5
m n
m n
．故答案为 5
5
．
4．设 a ，b
为单位向量，且| | 3a b ，则| |a b _________．
【试题来源】辽宁省丹东市 2021 届高三（10 月份）段考
【答案】1
【分析】根据条件对| | 3a b 两边平方即可求出 2 · 1a b ，然后根据 2| | ( )a b a b
即可求出答案．
【解析】 | | | | 1a b ，| | 3a b ， 2( ) 1 1 2 3a b a b ， 2 1a b ，
2( ) 1 1 1 1a b a b ．故答案为 1．
5．已知在平面直角坐标系中，向量 1,2a ， 1,1b ，且 m a b
ur r r ， n a b ，设
m
与 n
的夹角为 ，则 cos _________．
【试题来源】百师联盟 2021 届高三一轮复习联考（二）全国卷 （理）
【答案】 5
5
【分析】先求出 m
和 n
，再利用向量的夹角公式直接求解即可
【解析】因为 0,3m a b ， 2,1n a b ，所以
3 5cos 53 5
m n
m n
．
故答案为 5
5
．
6．已知向量 2,3a ， , 4b m ，若 a b ，则 m _________．
【试题来源】吉林省通榆县第一中学 2020-2021 学年高三上学期期中考试（文）
【答案】-6
【解析】因为 a b ，所以 2,3 , 4 2 12 0a b m m
r r
，解得 6m ．
故答案为-6．
7．已知 P 为边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面内一点，则 PC PB PD
的最小值为
_________．
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年度上学期高三二调考试（理）
【答案】 1
【分析】建立平面直角坐标系，设 ,P x y ，写出各点坐标，利用平面向量数量积的坐标公
式表示出 PC PB PD
，结合配方法得出最小值即可．
【解析】建立如图所示坐标系，
设 ,P x y ，则 A（0，0）， B （2，0），C （2，2）， D （0，2），
所以 2 ,2PC x y ， 2 , ,2 2 2 ,2 2PDPB x y x y x y ，
所以 2 2 2 2 2 2PC PB PD x x y y
2 2 2 23 1 3 1 3 32 2 2 2 12 2 2 2 2 2x y x y
．
所以当 3
2x y 时， PC PB PD
的最小值为 1 ．故答案为 1 ．
8．已知单位向量 1e
， 2e
的夹角为 60°，则 1 22e e
_________．
【试题来源】云南民族大学附属中学 2021 届高三上学期期中考试（文）
【答案】 3
【分析】由题意并且结合平面数量积的运算公式可得 1 22e e
|，通过平方即可求解，可得
答案．
【解析】因为单位向量 1e
， 2e
的夹角为 60的夹角为 60，
2 2 2
1 2 1 2 1 22 4 4 4 1 4 1 1 60 5 2 3e e e e e e cos ，
所以 1 22 3e e
，故答案为 3 ．
9．已知向量 a ， b
满足 1a ， 1a b ，则 (2 )a a b _________．
【试题来源】陕西省榆林市第十二中学 2020-2021 学年高三上学期第二次月考（理）
【答案】3
【解析】向量 a ， b
满足 1a ， 1a b ，则 2(2 ) 2 2 1 3a aa a b b
，
故答案为 3．
10．已知平面向量 ， ， 1 ， 1, 3
， 2 ，则 2 的值是_________．
【试题来源】河南省南阳市 2020-2021 学年高三期中质量评估（文）
【答案】 10
【分析】根据向量垂直向量数量积等于 0 ，解得α·β＝ 1
2
，再利用向量模的求法，将式子平
方即可求解．
【解析】由 2 得 2
2 2 0 ，所以 1
2
，
所以 2 2 2
2 4 +4 =10 ，所以 2
10 ．
故答案为 10 ．
11．已知 1,2a ， 2, 2b ， 1,c ，若 2c a b ，则 _________．
【试题来源】山东省德州市 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】 5
2
【解析】由题得 2 (1,2) 2(2, 2) (5, 2)a b ，因为 2c a b ， 1,c ，
所以 5 1+ 2 0 ，所以 5
2λ ．故答案为 5
2
．
【名师点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的坐标表示，向量平行和垂直的坐标表示
为 设 a
= 1 1( , )x y ，b
= 2 2( , )x y ，则 //a
r
b
1 2 2 1 0x y x y ， a
b
1 2 1 2+ 0yx x y ．
12．若 a
，b
是两个非零向量，且 a b a b
， 2 ,12
，则 a
与 a b 的夹角取
值范围是_________．
【试题来源】河南省南阳市 2020-2021 学年高三期中质量评估 （理）
【答案】 π π,4 3
【分析】设 1a b
，则 a b
，令 ,OA a OB b ，以 ,OA OB 为邻边作平行四边
形 OACB ，则平行四边形 OACB 为菱形，则 a
与 a b 的夹角为 AOC ，设 AOC ，
在 OAC 中，由余弦定理求得 cos 的范围，得到 的范围，得到答案．
【解析】如图所示，因为 2, ,12a b a b
，
不妨设 1a b
，则 a b
，
令 ,OA a OB b ，以 ,OA OB 为邻边作平行四边形 OACB ，则平行四边形 OACB 为菱形，
则 a
与 a b 的夹角为 AOC ，设 AOC 且 0 2
在 OAC 中，
2 21 1cos 2 1 2
，由 2 ,12
所以 1 2cos2 2
，因为 0 2
，所以
4 3
，
即向量b
与 a b 的夹角的取值范围是[ , ]4 3
．故答案为[ , ]4 3
．
13．已知单位向量 ,a b 满足：| | 3a b ，则| 2 |a b
_________．
【试题来源】重庆市校 2021 届高三上学期第三次质量检测
【答案】 3
【分析】先求出 1
2a b rr ，得到 2 22| 2 | | 2 | = +4 +4a b a b a b a b ，然后，代入
求解即可．
【解析】由| | 3a b 得， 222| | 2 3a b a b a b ，所以， 1
2a b rr ，
2 22| 2 | | 2 | = +4 +4a b a b a b a b
1 4 2 3 ，故答案为 3 ．
14．已知向量 1,2a ， 4, 7b ，若 //a c
r r
， a b c
，则 c
_________．
【试题来源】山东省临沂市 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】 2 5
【分析】若设 ( , )c x y= ，则由 //a c
r r
， a b c
，得 2
4 2( 7) 0
y x
x y
，解出 ,x y 的
值，从而可求出 c
r
．
【解析】设 ( , )c x y= ，则 ( 4, 7)b c x y ，
因为 //a c
r r
， a b c
， 1,2a ， 4, 7b ，
所以 2
4 2( 7) 0
y x
x y
，解得 2
4
x
y
，
所以 (2,4)c ，所以 2 22 4 2 5c
，故答案为 2 5 ．
15．已知两个单位向量 a ，b
的夹角为 60 ， (1 )c ta t b ，若 0b c ，则t _________．
【试题来源】河南省校 2020-2021 学年高三上学期第四次月考（文）
【答案】2
【 分 析 】 由 于 0b c ， 对 式 子 (1 )c ta t b 两 边 与 b
作 数 量 积 可 得
2(1 ) 0c b ta b t b ，经过化简即可得出．
【解析】 (1 )c ta t b ， 0c b ， 2(1 ) 0c b ta b t b ，
cos60 1 0t t ， 11 02 t ，解得 2t ．故答案为 2．
16．若 2a
， 1b
，且向量 a
，b
的夹角是120，则 2a b
_________．
【试题来源】吉林省通榆县第一中学 2020-2021 学年高三上学期期中考试（理）
【答案】2
【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的模的计算公式，准确运算，即可求解．
【解析】由题意，向量 2a
， 1b
，且向量 a
，b
的夹角是120，
则 2 2 22 22 4 2 4 2 1 cos4 120 4 1 4a b a a b b ，所以 2 2a b ．
故答案为 2 ．
17．已知向量 ,a b
，满足 1, 2a b
，若 a a b
，则向量 a
与向量 b
的夹角为
_________．
【试题来源】广东省惠州市 2021 届高三上学期第二次调研
【答案】 3
4
【分析】先根据 a a b
得 = 1a b
，再根据向量夹角公式计算即可得答案．
【解析】因为 a a b
，所以 0a a b
，即 2
0a a b
，
所以 = 1a b
，所以
2cos , 2
a bb
a b
a
，所以 3, 4a b
．
18．在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，若 2BD DC ，则 AD AB 的值为_________．
【试题来源】广东省云浮市郁南县蔡朝焜纪念中学 2021 届高三上学期 10 月月考
【答案】 8
3
【 分 析 】 根 据 2BD DC ， 利 用 平 面 向 量 的 线 性 运 算 ， 将 问 题 转 化 为 AD AB
21 2
3 3AB AC AB ，再利用数量积运算求解．
【解析】在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，因为 2BD DC ，
所以 AD AB AB BD AB 2 1 2
3 3 3AB BC AB AB AC AB
21 2
3 3AB AC AB 1 2 84 2 2 cos603 3 3
，故答案为 8
3
．
19．设 ,a b
为单位向量，且 1a b
r r
，则 2a b
_________．
【试题来源】山东省烟台市招远市第一中学 2020 年高三上学期期中
【答案】 3
【分析】先根据 1a b
r r
计算出 a b 的值，然后将 2a b
先平方再开根号，结合 , ,a b a b
的值计算出 2a b
的结果．
【解析】因为 1, 1a b a b
，所以 2 2
2 1a a b b ，
所以 2 1a b ，所以 1
2a b ，
因为 2 2 2 14 4 1 4 322 2 4a aa b a bb b ，故答案为 3 ．
【名师点睛】已知 , , ,a b a b ，求解 xa yb
的方法：
（1）先将 xa yb
平方然后开根号，得到 2 22 22xa yb x a xya b y b ，
（2）代入 , , ,a b a b 的值，即可计算出 xa yb
的值．
20．已知向量 ,1m a b
ur ， ,1 ( 0, 0)n b a b
r ，若 m n ，则 1 4ba
的最小值为
_________．
【试题来源】河北省沧州市任丘市第一中学 2021 届高三上学期阶段考试
【答案】9
【分析】先利用 m n 得出 1 0ab b ，可得 1 0 11b aa
，然后将 1
1b a
代入 1 4ba
中，结合基本不等式求最值即可．
【解析】因为 m n ，所以 0m n ，即 1 0ab b ，整理得 1
1b a
，
因为 0, 0a b ，所以 1 01b a
，解得 0 1a ．所以
1 1 4 1 4 4 1 4 14 1 1 4 5 2 91 1 1 1
a a a ab a aa a a a a a a a a
当且仅当 4 1
1
a a
a a
，即 1
3a 时等号成立．故答案为9．
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值． 一般地，若
0, 0a b ， 当 a b S ( S 为 定 值 ) ， 求 解 p q
a b
0, 0p q 的 最 值 时 ， 利 用
1p q p q a ba b S a b
，然后展开根据均值不等式求解即可．
21．在 ABC 中， , 2, 3, 23BAC AB AC BD DC ，则 AD
． BC
=_________．
【试题来源】江苏省扬州市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】11
3
【分析】根据向量的线性运算，得到 BC b a ， 1 2
3 3aAD b
ruuur r
，再结合向量的数量积
的运算公式，即可求解．
【解析】设向量 ,AB a AC b ，其中 2, 3, 2 3cos 33a b a b ，
因为 2BD DC ，所以 BC AC AB b a ，
2 2 1 2 1 2( )3 3 3 3 3 3AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b ，
所以 2 21 2 1 1 2 4 11( )( ) 1 63 3 3 3 3 3 3AD BC a b b a a b a b ．
故答案为11
3
．
【名师点睛】平面向量的数量积的运算策略：
（1）定义法：建立一个平面基底，结合向量的线性运算法则表示出向量，利用向量的数量
积的定义，即可求解；
（2）坐标运算法：先建立适当的平面直角坐标系，写出向量的应用坐标，结合坐标运算的
公式，即可求解，可起到化繁为简的妙用．
22．若平面向量 , , ,a b c d
满足 | | 1,| | 2,| | 3,( ) ( ) 4a b b c c d a c b d ，则
| |a d
_________．
【试题来源】浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟 2020-2021 学年高三上学期期中联考
【答案】 14
【分析】将 a c 、b d 、 a d 用 a b 、b c ，c d 表示，根据向量的运算律可求得
结果．
【解析】因为 ( ) ( ) 4a c b d ，所以 4a b b c b c c d
，
所以 2
4a b b c a b c d b c b c c d ，
因为 2b c ，所以 2
4b c ，
所以 0a b b c a b c d b c c d ，
所以 2
a d a d 2
a b b c c d
2 2 2
2 2 2a b b c c d a b b c a b c d b c c d
1 4 9 2 0 14 ．故答案为 14 ．
23．设单位向量 a
，b
的夹角为 ，向量 2 2cos sin2 2c a b ，则 c
r
的最小值为_________．
【试题来源】天一大联考（河北广东全国新高考）2020-2021 学年高中毕业班阶段性测试（二）
【答案】 33
9
【 分 析 】 首 先 利 用 二 倍 角 公 式 化 简 1 cos 1 cos
2 2c a b ， 再 求
2c 3 2cos cos cos 1
2
，再利用换元法和导数求函数的最小值．
【解析】 1 cos 1 cos
2 2c a b ，且 1a ， 1b ，
2 2
2 1 cos 1 cos1 cos 1 cos cos2 2 2c
2 32 2cos cos cos
4 2
3 2 3 22cos 2cos 2cos 2 cos cos cos 1
4 2
，
设 cos 1,1x ，设
3 2 1
2
x x xf x ， 1,1x ，
2 23 1 1 13 2 1 1 3 12 2 2 2f x x x x x x x ，
当 11, 3x
时， 0f x ，函数 f x 单调递减，
当 1 ,13x
时， 0f x ，函数 f x 单调递增，所以当 1
3x 时，函数取得最小值，
1 11
3 27f
，即
min
11 33
27 9c ．故答案为 33
9
．
24．已知向量 a
， b
满足 2a b a b
，其中 b
是单位向量，则 a
在 b
方向上的投影
_________．
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年度上学期高三二调考试（理）
【答案】 1
2
【解析】 b
是单位向量，所以 1b
，
因为 2a b a b
，所以 2 2
2a b a b ，化简得 2
2 1a b b ，即 1
2a b ，
所以 a
在b
方向上的投影是
1
2
a b
b
．故答案为 1
2
．
25．在 ABC 中，AB=4，∠ABC=45°，AD 是边 BC 上的高，则 AD AC
uuur uuur _________．
【试题来源】河南省九师联盟 2021 届高三第一学期 11 月质量检测（理）
【答案】8
【分析】利用向量数量积的几何意义，法一：有 AD AC AH AC
uuur uuur ，结合射影定理知
2AD AC AD
uuur uuur 即可求值；法二：
2
cosAD AC AD AC DAC AD
uuur uuur uuur uuur uuur
即可求值．
【解析】法一：过 D 作 DH AC 于点 H ，
根据数量积的几何意义，得 AD AC AH AC
uuur uuur ，
根据射影定理，得 2AD AH AC ；在直角三角形 ABD 中， 2 2AD ，
所以 2 8AD AC AH AC AD
uuur uuur ．
法二：
由 cos45 2 2AD AB
uuur uuur
，
2
cos 8AD AC AD AC DAC AD AD AD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
．
故答案为 8.
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