专题 10 随机事件的概率（客观题）
一、单选题
1．一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率
是 0.3，摸出白球的概率是 0.2，那么摸出黑球的概率是
A．0.4 B．0.5
C．0.6 D．0.95
【试题来源】2020 届辽宁省丹东市高三 3 月线上教学质量监测（文）
【答案】B
【分析】由题意可知，从中摸出一个小球是黑色和是红或白色是互斥事件，根据互斥事件的
概率公式即可求解
【解析】根据题意可知，从中摸出 1 个球，摸出黑球与摸出红色和白色是互斥事件，
故其概率 1 0.3 0.2 0.5P ＝ ＝ ．故选 B．
2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 50%，甲不输的概率为 80%，则甲、乙下成平局的概
率为
A．60% B．50%
C．30% D．10%
【试题来源】2020 届中原金科大联考高三 4 月质量检测（文）
【答案】C
【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解．
【解析】甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 50%，甲不输的概率为 80%，
则甲、乙下成平局的概率为 80%﹣50%＝30%．故选 C．
3．三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，
并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹．诸葛亮应用的是
A．动力学方程的知识 B．概率与统计的知识
C．气象预报模型的知识 D．迷信求助于神灵
【试题来源】2020 届河南省许昌济源平顶山高三第二次质量检测（文）
【答案】B
【分析】应用丰富的气象观测经验，预报天气，属于经验预报法，可知诸葛亮应用的是概率
与统计的知识．
【解析】诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，
属于气象业务实践中的经验预报法，利用的是概率与统计的知识．
并未应用到动力学方程的知识和气象预报模型的知识．故选 B．
4．在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是 d （ 1d ， 2 ，，9）
的概率为 1lg 1 d
，这被称为本福特定律．以此判断，一个数的首位数字是 1 的概率约为．
A．10% B．11%
C．20% D．30%
【试题来源】天一大联考 2019-2020 学年高三毕业班阶段性测试（五）（文）
【答案】D
【分析】由一个十进制数是 1 开头的概率为 lg 2 ，而 16 8
1 1log 2 lg 2 log 24 3
，即可
得解．
【解析】根据题意，一个十进制数是 1 开头的概率为 lg 2 ，而 16 8
1 1log 2 lg 2 log 24 3
，
以此判断，一个数的首位数字是 1 的概率约为 30%．故选 D．
【名师点睛】本题考查学生的阅读理解能力以及估算能力，属于常考题．
5．若随机事件 A，B 互斥，A，B 发生的概率均不等于 0，且 ( ) 2P A a ， ( ) 4 5P B a ，
则实数 a 的取值范围是
A． (1,2) B． 5 3,4 2
C． 5 4,4 3
D． 5 4,4 3
【试题来源】 2020 届高三下学期高考模拟卷（三）（理）
【答案】D
【分析】由随机事件 A、 B 互斥， A、 B 发生的概率均不等于 0，知
0 ( ) 1
0 ( ) 1
( ) ( ) 1
P A
P B
P A P B
，由
此能求出实数 a 的取值范围．
【解析】 随机事件 A、 B 互斥， A、 B 发生的概率均不等于 0，
且 2P A a ， 4 5P B a ，
0 ( ) 1
0 ( ) 1
( ) ( ) 1
P A
P B
P A P B
，即
0 2 1
0 4 5 1
3 3 1
a
a
a
，
解得 5
4
4
3a ，即 5 4,4 3a
．故选 D．
【名师点睛】本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
6．书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．设事件 M 表示“两本都是《红楼梦》”；
事件 N 表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件 P 表示“取出的两本中至少有一
本《红楼梦》”．下列结论正确的是
A． M 与 P 是互斥事件 B． M 与 N 是互斥事件
C． N 与 P 是对立事件 D． M ， N ， P 两两互斥
【试题来源】2020 届河南省驻马店市高三第二次模拟测试（文）
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念，对 , ,M N P 三个事件进行分析，由此确定正确
选项．
【解析】由于事件 M 包含于事件 P ， M 与 P 是既不是对立也不是互斥事件， M 与 N 是
互斥事件， N 与 P 是互斥事件．所以 A，C，D 三个选项错误．故选 B
【名师点睛】本题主要考查对立事件和互斥事件的辨析，属于基础题．
7．我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题 81
问，分为 9 类．全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉
及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》
中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米 1634 石，验得米夹谷，
抽样取米一把，数得 254 粒夹谷 25 粒，则这批米内夹谷约为
A．158 石 B．159 石
C．160 石 D．161 石
【试题来源】2021 年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）
【答案】D
【分析】利用抽取的米夹谷的频率估计总体的频率计算．
【解析】由题意可知这批米内夹谷约为 251634 161254
(石)．故选 D．
【名师点睛】本题考查简单随机抽样，用样本频率估计总体，属于基础题．
8．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6，0.7，若两人各投 2 次，则两人投中次数不等
的概率是
A．0.6076 B．0.7516
C．0.3924 D．0.2484
【试题来源】江苏省南京市秦淮中学 2020-2021 学年高三上学期期初调研
【答案】A
【分析】先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不
相等的概率．
【 解 析 】 两 人 投 中 次 数 相 等 的 概 率 P ＝
2 2 1 1
2 20.4 0.3 + 0.6 0.4 0.7 0.3C C 2 20.6 0.7 0.3924 ，故两人投中次数不相等
的概率为 1﹣0.3924＝0.6076．故选 A．
【名师点睛】本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题．
9．2020 年，各国医疗科研机构都在积极研制“新冠”疫苗，现有 A､B 两个独立的医疗科研机
构，它们能研制出疫苗的概率均为 1
3
，则至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为
A． 1
9 B． 1
3
C． 5
9 D． 8
9
【试题来源】广东省佛山市顺德区 2021 届高三上学期第二次教学质量检测
【答案】C
【分析】利用对立事件进行事件的概率计算；
【解析】两家机构都不能够研究出“新冠”疫苗的概率为 2 2 4
3 3 9
，
至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为 4 51 9 9
，故选 C．
10．哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其
他三类，分别记为 a ，b ， c ；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”
和“其他垃圾箱”，分别记为 A ， B ，C ．为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某
小区三类垃圾箱中共计500 gk 生活垃圾，数据统计如图．则估计生活垃圾投放错误的概率
为
A B C
a 200 10 40
b 15 120 20
c 15 50 30
A． 23
50 B． 1
4
C． 9
50 D． 3
10
【试题来源】2021 届高三高考必杀技之信息阅读题--类型 7 概率新情境
【答案】D
【分析】先计算投放正确的概率，再求出投放错误的概率即可．
【解析】根据题意，投放正确的概率为 200 120 30 7
500 10
，
故投放错误的概率为 7 31 10 10
．故选 D．
11．某超市销售的甲、乙两种品牌的腊肉各占 2
5
， 3
5
的份额，出厂时已知两种品种腊肉亚
硝酸盐超标的概率分别为 1
10
， 1
9
．现一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，则该块腊肉亚
硝酸盐超标的概率为
A． 8
75 B． 19
90
C． 1
25 D． 1
15
【试题来源】重庆市 2019-2020 学年高三下学期第六次教学质量检测（理）
【答案】A
【分析】分别求出该块亚硝酸盐超标的腊肉来自甲、乙品牌的概率，相加即可得到所求事件
的概率．
【解析】设一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，该块腊肉来自甲品牌且亚硝酸盐超标为事
件 A，该块腊肉来自乙品牌且亚硝酸盐超标为事件 B，则 2 1 1( ) 5 10 25P A ，
3 1 1( ) 5 9 15P B ，则所求概率为 ( ) ( )P A P B 8
75
．故选 A．
【名师点睛】本题考查互斥事件的概率，考查学生的基本计算能力，是一道容易题．
12．根据天气预报，某一天 A 城市和 B 城市降雨的概率均为 0.6，假定这一天两城市是否降
雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为
A．0.16 B．0.48
C．0.52 D．0.84
【试题来源】江苏省徐州市沛县 2020-2021 学年高三上学期第一次学情调研
【答案】D
【分析】求其对立事件两城市均未降雨的概率，进而可得结果．
【解析】记 A 城市和 B 城市降雨分别为事件 A和事件 B ，故 P A 0.6 ， 0.6P B ，
可得 0.4P A ， 0.4P B ，两城市均未降雨的概率为 0.4 0.4 0.16P A B
，
故至少有一个城市降雨的概率为1 0.16 0.84 ，故选 D．
【名师点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，以及对立事件的应用，属于
基础题．
13．某学校共有教职工 120 人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
本科 研究生 合计
35 岁以下 40 30 70
35-50 岁 27 13 40
50 岁以上 8 2 10
现从该校教职工中任取 1 人，则下列结论正确的是
A．该教职工具有本科学历的概率低于 60％
B．该教职工具有研究生学历的概率超过 50％
C．该教职工的年龄在 50 岁以上的概率超过 10％
D．该教职工的年龄在 35 岁及以上且具有研究生学历的概率超过 10％
【试题来源】山东省潍坊市 2020 届高三第三次模拟
【答案】D
【分析】根据表中数据，用频率代替概率求解．
【解析】A．该教职工具有本科学历的概率 75 5 62.5 60120 8p ，故错误；
B．该教职工具有研究生学历的概率 45 3 37.5 50120 8p ，故错误；
C．该教职工的年龄在 50 岁以上的概率 10 1 8.3 10120 12p ，故错误；
D ． 该 教 职 工 的 年 龄 在 35 岁 及 以 上 且 具 有 研 究 生 学 历 的 概 率
15 1 12.5 10120 8p ，故正确．
【名师点睛】本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题．
14．甲､乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率 0.6，乙命中目标概率 0.5，
假设甲､乙两人射击命中率互不影响．射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目
标概率为
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.48
【试题来源】陕西省、龙岗中学 2020-2021 学年高三上学期第一次联考（理）
【答案】B
【分析】先求出目标至少被命中一次的概率，再求出目标至少被命中一次甲命中目标概率，
利用概率公式即可求解．
【解析】目标至少被命中一次，包括甲中乙中，甲中乙不中，乙中甲不中三种情况，
所以目标至少被命中一次的概率为 1 0.6 0.5 0.6 0.5 0.4 0.5 0.8P ，
目标至少被命中一次甲命中目标包括甲中乙中，甲中乙不中二种情况，
所以目标至少被命中一次甲命中目标的概率为 2 0.6 0.5 0.6 0.5 0.6P ，
所以甲命中目标概率为 0.6 0.750.8P ，故选 B．
15．如图，已知电路中 3 个开关闭合的概率都是 1
2
，且是相互独立的，则灯亮的概率为
A． 3
8 B． 1
2
C． 5
8 D． 7
8
【试题来源】福建省厦门市 2020 届高三（6 月份）高考数学（（理））模拟试题
【答案】C
【分析】灯泡亮灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下
边闭合上边闭合一个，这四种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率
公式得到结果．
【解析】由题意，灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，
下边闭合上边闭合一个，
这四种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，
所以灯泡亮的概率为 1 1 1 1 1 1 1 1 122 2 2
1 1 1 5
2 22 2 82 22 2 2
，故选 C．
【名师点睛】本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查互斥事件有一个发生的概率，
独立事件同时发生的概率，解决本题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，也
可以利用对立事件来求，属于中档题．
16．某地有 A， B ，C ， D 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有 A到过疫区， B 确定是
受 A感染的．对于C 因为难以判定是受 A还是受 B 感染的，于是假定他受 A和 B 感染的概
率都是 1
2
．同样也假定 D 受 A，B 和C 感染的概率都是 1
3
．在这种假定下，B ，C ，D 中
恰有两人直接受 A感染的概率是
A． 1
6 B． 1
3
C． 1
2 D． 2
3
【试题来源】河南省开封市 2020 届高三第三次模拟考试（理）
【答案】C
【分析】设 , ,B C D 直接受 A 感染为事件 B、C、D，分析题意得出 ( ) 1P B ， 1( ) 2P C ，
1( ) 3P D ， B ，C ， D 中恰有两人直接受 A感染为事件CD CD ，利用公式求得结果．
【解析】根据题意得出：因为直接受 A 感染的人至少是 B，
而 C、D 二人也有可能是由 A 感染的，设 , ,B C D 直接受 A 感染为事件 B、C、D，
则事件 B、C、D 是相互独立的， ( ) 1P B ， 1( ) 2P C ， 1( ) 3P D ，
表明除了 B 外， ,C D 二人中恰有一人是由 A 感染的，
所以 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2P CD CD P CD P CD ，
所以 B、C、D 中直接受 A 传染的人数为 2 的概率为 1
2
，故选 C．
【名师点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有随机事件发生的概率，相互
独立事件同时发生的概率公式和互斥事件有一个发生的概率公式，属于简单题目．
17．如果消息 A 发生的概率为 ( )P A ，那么消息 A 所含的信息量为 2
1( ) log ( )I A P A
，若
王教授正在一个有 4 排 8 列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下 4 条消息中，信息量
最大的是
A．王教授在第 4 排 B．王教授在第 4 排第 5 列
C．王教授在第 5 列 D．王教授在某一排
【试题来源】陕西省西安地区 2020 届高三下学期八校联考（文）（B 卷）
【答案】B
【解析】信息量最大时， P A 最小，
因为王教授在第 4 排第 5 列发生的概率最小，所以选 B．
18．已知某药店只有 A， B ，C 三种不同品牌的 N95 口罩，甲、乙两人到这个药店各购买
一种品牌的 N95 口罩，若甲、乙买 A 品牌口罩的概率分别是 0.2，0.3，买 B 品牌口罩的概
率分别为 0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的 N95 口罩的概率为
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.26
【试题来源】2021 届全国著名重点中学新高考冲刺（5）
【答案】C
【分析】甲、乙两人买相同品牌的 N95 口罩，可分为三种情况，即甲、乙两人都买 A品牌
或 B 品牌或C 品牌的 N95 口罩，利用独立事件的概率公式，分别求出这三种情况对应的概
率，再利用互斥事件的概率公式，即可得结果．
【解析】由题意，得甲、乙两人买C 品牌口罩的概率都是 0.3，所以甲、乙两人买相同品牌
的 N95 口罩的概率为 0.2 0.3 0.5 0.4 0.3 0.3 0.35P ．故选 C．
【名师点睛】利用相互独立事件的概率求复杂事件概率的解题思路：（1）把待求事件拆分成
若干个彼此互斥的简单事件的和；（2）将彼此互斥的简单事件转化为若干个已知（易求）概
率的相互独立事件的积；（3）代入概率公式求解．
二、填空题
1．若 A，B 互为对立事件，其概率分别为 P(A)＝ 1
y
，P(B)＝ 4
x
，且 x>0，y>0，则 x＋y 的
最小值为___________．
【试题来源】江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期期中考前热身
【答案】9
【分析】根据对立事件的性质可知 1 4 1y x
，再利用基本不等式求 x y 的最小值．
【解析】由事件 A，B 互为对立事件，其概率分别 P(A)＝ 1
y
，
P(B)＝ 4
x
，且 x>0，y>0，所以 P(A)＋P(B)＝ 1
y
＋ 4
x
＝1，
所以 1 4 4( ) 5 y xx y x y y x x y
45 2 9y x
x y
，
当且仅当 x＝6，y＝3 时取等号，所以 x＋y 的最小值为 9．
故答案为 9．
2．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 3
5
，
乙获胜的概率为 2
5
，各局比赛相互独立，则恰好进行了 4 局结束比赛的概率为___________．
【试题来源】陕西省西安地区 2019-2020 学年高三上学期第一次八校联考（理）
【答案】 78
625
【分析】分两种情况讨论，（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢；（2）乙第一局赢，
第二局输，第三、四局赢，即得解．
【解析】由题得恰好进行了 4 局结束比赛，有两种情况：
（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时 1
3 2 3 3 54
5 5 5 5 625P ；
（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时 1
2 3 2 2 24
5 5 5 5 625P ；
所以恰好进行了 4 局结束比赛的概率为 1 2
54 24 78
625 625 625P P ．
故答案为 78
625
．
【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率的求法，意在考查学生对这些
知识的理解掌握水平．
3．某射手一次射击中，击中10 环、9环、8环的概率分别是 0.24,0.28,0.19 ，则这位射手
在一次射击中不够9环的概率是___________．
【试题来源】江苏版《2020 年高考一轮复习讲练测》
【答案】0.48
【分析】一次射击中不够9环的对立事件是 9 环，10 环，按对立事件计算．
【解析】由已知某射手一次射击中，击中 10 环、9 环、8 环的事件是互斥的，而事件：“这
位射手在一次射击中不够 9 环”的对立事件为“这位射手在一次射击中 9 环或 10 环”，故所求
概率 P=1-(0.28+0.24)=0.48．
故答案为 0.48．
4．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的
概率是“选到男生”的概率的 1
2
，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为___________．
【试题来源】2020 年高考数学母题题源解密（江苏专版）
【答案】2
【分析】根据“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 1
2
，求得男生和女生人数的比值．
【解析】因为“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 1
2
，
所以男生人数与女生人数的比值为 2．
故答案为 2
【名师点睛】本题主要考查概率的概念，属于基础题．
5．从长度分别为1 2 3 4、、、的四条线段中，任取三条的不同取法共有 n 种，在这些取法中，以
取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为 m ，则 m
n
等于___________．
【试题来源】2020 届江苏省连云港市六所四星高中（海州高中、赣榆高中、海头中学、东
海高中、、灌云高中）高三下学期模拟考试
【答案】 1
4
【分析】分别求出 ,m n 即可．
【解析】从 4 条长度不同的线段中任取 3 条，共有 4 种取法，即 4n ，可组成三角形的只
有一种 (2,3,4) ，因此 1m ，所以 1
4
m
n
．
故答案为 1
4
．
【名师点睛】本题考查事件的概念，求事件的个数．解题时可用列举法列出任取 3 条线段的
所有可能以及满足组成三角形的个数，从而得 n ， m ．列举法是我们常用的方法．能组成
三角形的判定关键是两个较小的线段长之和大于最长的线段长度．
6．从 1，2，3，4，5 这 5 个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是___________．
【试题来源】陕西省宝鸡市金台区 2019-2020 学年高三教学质量检测数学文试题
【答案】③
【分析】根据对立事件定义逐一判断选择．
【解析】①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数不是互斥事件，也不是对立事件；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数不是互斥事件，也不是对立事件；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数是互斥事件，也是对立事件；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数不是互斥事件，也不是对立事件；
故答案为③．
【名师点睛】本题考查对立事件定义，考查基本分析判断能力，属基础题．
7．抛掷一枚骰子 10 次，若结果 10 次都为六点，则下列说法正确的序号是___________．
①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件；
②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件；
③这枚骰子质地一定不均匀．
【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试 2019-2020 学年高三下学期 2 月测试（B 版）
【答案】②
【分析】根据不可能事件和小概率事件的定义进行求解即可．
【解析】根据题意，抛掷一枚骰子 10 次，若结果 10 次都为六点，若这枚骰子质地均匀，这
种结果可能出现，但是一个小概率事件；
故①③错误，②正确；
故答案为②．
【名师点睛】本题考查了不可能事件、小概率事件的定义，属于基础题．
8．已知 7 件产品中有 5 件合格品，2 件次品．为找出这 2 件次品，每次任取一件检验，检
验后不放回，恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为
___________．
【试题来源】新疆哈密市第十五中学 2021 届高三上学期第一次质量检测
【答案】 2
21
【分析】恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品包含两种情况：正次正次，
正正次次，由此可求出所求概率
【解析】因为 7 件产品中有 5 件合格品，2 件次品，所以恰好在第一次检验出正品而在第四
次检验出最后一件次品包含两种情况：正次正次，正正次次，
所以所求概率为 5 2 4 1 5 4 2 1 2
7 6 5 4 7 6 5 4 21
，
故答案为 2
21
．
【名师点睛】此题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公
式等知识，考查运算能力，属于基础题．
9．某单位招聘员工，有 200 名应聘者参加笔试，随机抽查了其中 20 名应聘者笔试试卷，统
计他们的成绩如下表：
分数段 60,65 65,70 70,75 75,80 80,85 85,90 90,95
人数 1 3 6 6 2 1 1
若按笔试成绩择优录取 40 名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为___________分．
【试题来源】江苏省南京市秦淮中学 2020 届高三下学期最后一练
【答案】80
【解析】因为 40
200 ×20=4，所以随机抽查了 20 名笔试者中的前 4 名进入面试，
观察成绩统计表，预测参加面试所画的分数线是 80 分，
故答案为 80．
10．某大型工程遇到一个技术难题，工程总部将这个问题分别让甲研究所和乙研究所进行独
立研究，已知甲研究所独立研究并解决这个问题的概率为 0.6，乙研究所独立研究并解决这
个问题的概率为 0.7，这个技术难题最终能被解决的概率为___________．
【试题来源】2020 届广东省深圳市罗湖区高三上学期期末质量检测（理）
【答案】0.88
【分析】先求得这个技术难题最终不能被解决的概率，再由对立事件求解即可
【解析】设事件 A为“这个技术难题最终能被解决”，
所以 1 0.6 1 0.7 0.12P A ，
所以 1 1 0.12 0.88P A P A ，
故答案为 0.88．
【名师点睛】本题考查独立事件的概率公式的应用，考查利用对立事件求概率．
11．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为 0.1，响第二声时被接
的概率为 0.3，响第三声时被接的概率为 0.4 ，响第四声时被接的概率为 0.1，那么电话在
响前 4 声内被接的概率是__________．
【试题来源】辽宁省丹东市 2020 届高三下学期总复习质量测试（二）（文）
【答案】 0.9
【分析】根据互斥事件的概率加法公式，电话在响前 4 声内被接的概率等于电话响起第一声
接的概率，加上响第二声时被接的概率，加上响第三声时被接的概率，加上响第四声时被接
的概率，得到结果．
【解析】根据互斥事件的概率加法公式，
电话在响前 4 声内被接的概率等于电话响起第一声接的概率，
加上响第二声时被接的概率，
加上响第三声时被接的概率，
加上响第四声时被接的概率，
故电话在响前 4 声内被接的概率是
0.1 0.3 0.4 0.1 0.9 ，
故答案为 0.9 ．
【名师点睛】该题考查的是有关互斥事件有一个发生的概率的求解问题，涉及到的知识点有
互斥事件概率加法公式，属于基础题目．
12．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 {A 抽到一等品} ，事件 {B 抽到二等品} ，
事件 {C 抽到三等品} ，且已知 0.65P A ， 0.2P B ， 0.1P C ，则事件“抽
到的产品不是一等品”的概率为___________．
【试题来源】2021 届高考数学一轮复习（文理通用）单元过关测试卷
【答案】0.35
【分析】根据对立事件的概率和为 1，结合题意，即可求出结果来．
【解析】由题意知本题是一个对立事件的概率，
抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，
0.65P A ，抽到不是一等品的概率是 1 1 0.65 0.35P P A ，
故答案为 0.35．
【名师点睛】本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．
13．某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选
出代表是女生”的概率的 1
3
，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是___________．
【试题来源】2020 届江苏省南京市秦淮区高三第一次模拟考试适应性测试
【答案】75%
【分析】设“选出代表是女生”的概率为 a ，则“选出代表是男生”的概率为 1
3 a ，则 1 13a a ，
进而求解即可．
【解析】设“选出代表是女生”的概率为 a ，则“选出代表是男生”的概率为 1
3 a ，
因为 1 13a a ，所以 3
4a ，
所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为 75% ，
故答案为 75%
【名师点睛】本题考查概率性质以及对立事件概率，属于基础题．
14．已知甲、乙、丙三人各自独立解决某一问题的概率分别是 0.5,0.4,0.4 ，则甲、乙、丙
至少有一人解决该问题的概率是___________．
【试题来源】四川省 2020-2021 学年高三上学期第一次调研考试（理）
【答案】0.82
【分析】先求对立事件：甲、乙、丙没人解决该问题概率，再根据对立事件概率公式得结果．
【解析】对立事件：甲、乙、丙没人解决该问题，其概率为 (1 0.5)(1 0.4)(1 0.4) 0.18
所以甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是1 0.18 0.82 ．
故答案为 0.82．
【名师点睛】本题考查利用对立事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，属基础题．
15．一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，
它们的概率分别为 0.4 和 0.3，则一小时内没有一台机床需要维护的概率为___________．
【试题来源】2020 届上海市上海大学附属中学高三下学期三模（考前评估）
【答案】0.42
【分析】根据甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为 0.4 和 0.3，利用独立
事件和对立事件的概率求法求解．
【解析】因为甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为 0.4 和 0.3，
所以一小时内没有一台机床需要维护的概率为 1 0.4 1 0.3 0.42 ，
故答案为 0.42
【名师点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于基础题．
16．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批
产品中随机抽取一件产品检测，已知抽到一等品或二等品的概率为 0.86，抽到二等品或三等
品的概率为 0.35，则抽到二等品的概率为___________．
【试题来源】湖北省华大新高考联盟 2020 届高三下学期 4 月教学质量测评（文）
【答案】0.21
【分析】设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为 , ,A B C ，根据互斥事件的概率求解．
【解析】设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为 , ,A B C ．
则
( ) ( ) 0.86,
( ) ( ) 0.35,
( ) ( ) ( ) 1,
P A P B
P B P C
P A P B P C
解得 ( ) 0.21P B ．
故答案为 0.21.
【名师点睛】本题主要考查随机事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题．
17．甲乙两队正在角逐排球联赛的冠军，在刚刚结束的前三局比赛中，甲队 2 胜 1 负暂时领
先，若规定先胜三局者即为本次联赛冠军，已知两队在每局比赛中获胜的概率均为 1
2
，且
各局比赛结果相互独立，则甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为___________．
【试题来源】陕西省西安市高新一中 2019-2020 学年高三上学期期末（理）
【答案】 3
4
【分析】甲队胜包含两种情况，第四场胜；或第四场负，第五场胜，分别求出概率相加，即
可求解
【解析】甲得冠军则有：甲第四场胜，概率为 1
2
；
或第四场负，第五场胜，概率为 1 1 1=2 2 4
，
甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为 1 1 3+ =2 4 4
．
故答案为 3
4
．
【名师点睛】本题考查互斥事件与相互独立同时发生的概率，属于基础题．
18．甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛
结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”．设甲队主场取胜的概
率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 3:1获胜的概率是
___________．
【试题来源】2020 届山东省潍坊市临朐县高三综合模拟考试（二）
【答案】0.21
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．
【解析】甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，
决赛结束）．
根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”．
设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，
则甲队以 3:1获胜的概率是
0.6 0.5 0.4 0.5 0.6 0.5 0.6 0.5 0.4 0.5 0.6 0.5 0.21P ．
故答案为 0.21．
【名师点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公
式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了 20 位家长
的满意度评分，其频数分布表如下：
满意度评分分组 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100 合计
高一 1 3 6 6 4 20
高二 2 6 5 5 2 20
根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 评分 70 分 70 评分 90 评分 90 分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发
生的概率．现从高一、高二年级各随机抽取 1 名家长，记事件 A：“高一家长的满意度等级
高于高二家长的满意度等级”，则事件 A发生的概率为___________．
【试题来源】专题十一 统计与概率-2020 山东模拟题分类汇编
【答案】0.42
【分析】高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况，分别求出三种情况
的概率，再利用加法公式即可．
【解析】由已知，高一家长满意等级为不满意的概率为 1
5
，满意的概率为 3
5
，非常满意的
概率为 1
5
，
高二家长满意等级为不满意的概率为 2
5
，满意的概率为 1
2
，非常满意的概率为 1
10
，
高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况：
（1）高一家长满意，高二家长不满意，其概率为 3
5
2 6
5 25
；
（2）高一家长非常满意，高二家长不满意，其概率为 1
5
2 2
5 25
；
（3）高一家长非常满意，高二家长满意，其概率为 1
5
1 1
2 10
．
由加法公式，知事件 A发生的概率为 6 2 1 21 0.4225 25 10 50
．
故答案为 0.42 ．
三、双空题
1．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1
2
和 1
3
．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、
乙两球都落入盒子的概率为___________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
___________．
【试题来源】2020 年天津市高考数学试卷
【答案】 1
6
2
3
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可
求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率．
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 1,2 3
，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 1 1 1
2 3 6
，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 1 1 1(1 ) (1 )2 3 3
，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 2
3
．
故答案为 1
6
； 2
3
．
【名师点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础
题．
2．一个盒子中有1个白球（计 0 分），15 个相同的红球（计1分）和6个不同的彩球（计 2 7
分），小阳每次从盒中随机摸出1个球，要求摸完不放回盒中，则 2 次均摸到红球的概率是
___________，若得分 2 时即停止摸球，则所有可能的摸球方式共有___________种．（用
数字作答）
【试题来源】浙江省浙考交流联盟 2020-2021 学年高三上学期 8 月线上考试
【答案】 5
11 912
【分析】两次都摸到红球的概率为 15 14
22 21P
；若得分 2 时停止摸球，则最多摸三次球，
然后分类讨论求出总共的摸球方式．
【解析】由题意得，盒子中共有球 22 个，红球 15 个，则两次都摸到红球的概率为
15 14 5
22 21 11P
，
若得分 2 则停止摸球，则摸球的可能情况有：
摸球一次得分 2 时，只需从六个彩球中摸出一个，共有 6种可能；
摸 球 两 次 得 分 2 时 ， 则 摸 出 的 球 颜 色 可 以 为 白 彩 ， 红 彩 ， 红 红 三 类 ， 共 有
6 15 6 15 14 306 种情况；
摸球三次得分 2 时，则摸出球的颜色可以为白红红，白红彩，红白红，红白彩，共有
1 15 14 1 15 6 15 1 14 15 1 6 600 种情况，
综上，共有912种方式．
故答案为 5
11
，912．
【名师点睛】本题考查随机事件概率的计算，考查计数原理，难度一般，解答时注意分类讨
论．
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