专题 17 数 列（客观题）
一、单选题
1．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 9 27S ，则 2 4 9a a a
A．9 B．6
C．3 D．0
【试题来源】山西省 2021 届高三上学期八校联考（文）
【答案】A
【分析】由题可得 5 3a ，再由等差数列的性质即可求出．
【解析】因为 9 59 27S a ，所以 5 3a ，
从而 2 4 9 1 5 9 5+ + 3 9a a a a a a a ．故选 A．
2．若数列 na 为等差数列，且 1 6a ， 3 2a ，则 20cos a
A． 1
2 B． 3
2
C． 1
2
D． 3
2
【试题来源】安徽省淮北市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】C
【分析】求出公差和 20a ，再利用诱导公式求出结果即可．
【解析】 3 1
2 6
a ad ， 20 1
1019 6 3a a ，
20
10 4 1cos cos cos cos3 3 3 2a
，故选 C.
3．在等差数列 na 中，首项 1 0a ，公差 0d ， nS 是其前 n 项和，若 6ka S ，则 k
A．15 B．16
C．17 D．18
【试题来源】黑龙江省 2020-2021 学年高三上期中考试（理）
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式对 6ka S 变形可解得结果．
【解析】由 6ka S 得 1 1
6 5( 1) 6 2a k d a d ，
将 1 0a 代入得 ( 1) 15k d d ，
因为 0d ，所以 1 15k ，得 16k ．故选 B
【名师点睛】掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式是解题关键．
4．在前 n 项和为 nS 的等差数列 na 中，若 1 5 3 6 93 2 18a a a a a ，则 8S
A．24 B．12
C．16 D．36
【试题来源】陕西省宝鸡市 2020-2021 学年高三上学期第三次月考（理）
【答案】B
【分析】由等差数列的性质和已知条件可得 3 6 3a a ，结合等差数列的求和公式即可求
出 8S ．
【 解 析 】 因 为 1 5 3 3 9 62 , 2a a a a a a ， 且 1 5 3 6 93 2 18a a a a a ， 则
3 66 6 18a a ，
有 3 6 3a a ，则 1 8
8 3 6
8 4 122
a aS a a
．故选 B．
5．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据
明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某
种玩法中，用 na 表示解下 *9,n n n N 个圆环所需的移动最少次数，若 1 1a ．且
1
1
2 1,
2 2,
n
n
n
a na a n
为偶数
为奇数，则解下 6 个环所需的最少移动次数为
A．13 B．16
C．31 D．64
【试题来源】海南省海口市 2021 届高三上学期第四次月考
【答案】C
【分析】根据已知的递推关系求 6a ，从而得到正确答案．
【解析】 1 1a ， 1
1
2 1,
2 2,
n
n
n
a na a n
为偶数
为奇数，
2 12 1 1a a ， 3 22 2 4a a ， 4 32 1 7a a ， 5 42 2 16a a ，
6 52 1 31a a ，所以解下 6 个环所需的最少移动次数为 31．故选 C．
6．在 1 和 2 两数之间插入 ( )n n N 个数，使它们与 1，2 组成一个等差数列，则当 10n
时，该数列的所有项和为
A．15 B．16
C．17 D．18
【试题来源】陕西省宝鸡市 2020-2021 学年高三上学期高考模拟检测（一）（文）
【答案】D
【分析】根据等差数列的前 n 项和公式，即可求解．
【解析】设在 1 和 2 两数之间插入 ( )n n N 个数，使它们与 1，2 组成一个等差数列 na ，
可得 1 121, 2a a ，
所以数列的所有项和为 1 1212( ) 12 (1 2) 182 2
a a ．故选 D．
7．已知 na 是公差为 d 的等差数列， nS 为其前 n 项和．若 3 13 3S a ，则 d
A． 2 B． 1
C．1 D．2
【试题来源】北京市东城区 2021 届高三上学期期末考试
【答案】C
【分析】根据 na 是公差为 d 的等差数列，且 3 13 3S a ，利用等差数列的前 n 项和公式
求解．
【解析】因为 na 是公差为 d 的等差数列，且 3 13 3S a ，
所以 1 13 3 3 3a d a ，解得 1d ，故选 C.
8．在等差数列 na 中，若 1 2 41, 10a a a ，则 20a
A． 35 B．37
C．39 D． 41
【试题来源】北京市丰台区 2021 届高三上学期期末练习
【答案】C
【分析】根据 1 2 41, 10a a a ，利用“ 1,a d ”法求解．
【解析】在等数列 na 中， 1 2 41, 10a a a ，所以 2 4 10d ，解得 2d ，
所以 20 1 19 39a a d ，故选 C.
9．数列 na ，满足 1 2a ， 1
1
1n
n
a n Na ，则 2019a
A．-2 B．-1
C．2 D． 1
2
【试题来源】甘肃省天水市甘谷县 2020-2021 学年高三上学期第四次检测（文）
【答案】D
【分析】根据递推公式，确定数列的周期，进而可得出结果．
【解析】由 1 2a ， 1
1
1n
n
a n Na ，
可得 1 2a ， 2 1a ， 3
1
2a ， 4 2a ，
则 2
1
11 1
11 1 1
n
n
n n
n
aa a a
a
，因此 3
2
1 1
11 1
n n
nn
n
a aaa
a
，
由此可得数列 na 是以 3 为周期的周期数列，
故 2019 3 672 3 3
1
2a a a ．故选 D．
10．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，
大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．”题意是有两只老鼠从墙的两边打
洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．如
果墙足够厚，第 n 天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的 4 倍，则 n 的值为
A．5 B．4
C．3 D．2
【试题来源】四川省宜宾市 2021 届高三上学期第一次诊断考试（文）
【答案】C
【分析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列 na ，则 1
11, 2a q ，小老鼠每天打洞的
长度构成等比数列 nb ，则 1
11, 2b q ，再分别求和构造等式求出 n 的值．
【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列 na ，
则 1 1, 2a q ，所以 1 2 2 11 2
n
n
nS
．设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列 nb ，
则 1
11, 2b q ，所以
11 ( ) 12 2[1 ( ) ]1 21 2
n
n
nT
．所以 4n nS T ，即 12 1 8 1 2
n
n
，
化简得 4 9 2 8 0n n ，解得 3n 或 1n (舍)，故选 C.
11．等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 0na ， 1q ， 3 5 20a a ， 2 6 64a a ，则 4S
A．15 B． 20
C． 31 D．32
【试题来源】黑龙江省 2020-2021 学年高三上学期期中考试（文）
【答案】A
【分析】求出 3a 、 5a 的值，进而可求得 1a 、q的值，然后利用等比数列的求和公式可求得 4S
的值．
【解析】在等比数列 na 中， 0na ， 1q ，则 na 为递增数列， 3 5 2 6 64a a a a ，
由已知条件可得
3 5
3 5
3 5
20
64
a a
a a
a a
，解得 3
5
4
16
a
a
， 5
3
2aq a
， 3
1 2 1aa q
，
因此， 4 4
1
4
1 1 1 2
151 1 2
a q
S q
．故选 A．
12．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 2
nS an bn ，（ ,a b 均为常数），且 7 2a ．设
函数 2( ) sin 2 2cos 2
xf x x ，记 ( )n ny f a ，则数列 ny 的前13 项和为
A．13
2
B． 7
C． 7 D．13
【试题来源】山东省威海市威海文登区 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】D
【分析】化简函数的解析式，利用数列的和 2
nS an bn ，求出通项公式，判断数列是等
差数列，然后求解数列的和即可．
【解析】因为 2( ) sin 2 2cos sin 2 cos 12
xf x x x x ，
由 2
nS an bn ，得 22
1 1 1 2 2nn nS S an bn a n b n an a b na ，
又 1 1a S a b 也满足上式，所以 2na an a b ，
则 1 2n na a a 为 常 数 ， 所 以 数 列 na 为 等 差 数 列 ； 所 以 1 13 72a a a ，
1 11 13 1 13 1313 sin 2 cos 1 sin 2 cos 1y f a f a a a ay a
1 1 1 1sin 2 cos 1 sin 2 2 cos 1 2a a a a ．
则数列 ny 的前13项和为 1 2 13...f a f a f a ，
记 1 2 13...M f a f a f a ，则 13 12 1...M f a f a f a ，
所以 1 132 13 26M f a f a ，因此 13M ．故选 D．
【名师点睛】求解本题的关键在于先由数列的前 n 项和确定数列是等差数列，得出 1 13a a 为
定值，结合诱导公式，推出 1 13y y 为定值，利用倒序相加法，即可求解．
13．已知数列 na 是正项等比数列，且 2 4
1
4a a ，又 2a ， 4 1a ， 5a 成等差数列，则 na
的通项公式为
A． 1
1
2n na B． 1
2n na
C． 2n
na D． 12n
na -=
【试题来源】江西省名校 2021 届高三上学期第二次联考（文）
【答案】D
【分析】先由题意，设数列 na 的公比为 0q q ，由题中条件，列出等式求出首项和公
比，即可得出结果．
【解析】由题意，设数列 na 的公比为 0q q ，
因为 2 4
1
4a a ，所以 2 4q ，解得 2q = （负值舍去）；
又 2a ， 4 1a ， 5a 成等差数列，所以 4 2 52 1a a a ，即 3 4
1 1 12 1a q a q a q ，
则 1 1 12(8 1) 2 16a a a ，解得 1 1a ， 1 2n
na ．故选 D．
14．已知数列 na 满足 1 2 32 3 2n
na a a na ，设 1( 1)2
n
n n
ab n ， nS 为数列 nb
的前 n 项和．若 tnS 对任意 n N 恒成立，则实数 t 的最小值为
A．1 B．2
C． 3
2 D． 5
2
【试题来源】江西省名校 2021 届高三上学期第二次联考（理）
【答案】C
【分析】先求出 na 的通项，再利用裂项相消法可求 nS ，结合不等式的性质可求实数 t 的
最小值．
【解析】 1n 时， 1 2a ，因为 1 2 32 3 2n
na a a na ，
所以 2n 时， 1
1 2 3 12 3 ( 1) 2n
na a a n a
，
两式相减得到 12n
nna ，故
12 ,
n
na n
1n 时不适合此式，
所以 1
1, 1
1 , 2( 1)2 ( 1)
n
n n
nab nn n n
，当 1n 时， 1 1 1S b ，
当 2n 时， 1 1 1 1 1 1 3 1 31 2 3 3 4 1 2 21nS n n n
，
所以 3
2t ；所以 t 的最小值 3
2
；故选 C．
【名师点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用
分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成
一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和
法．
15．已知 nS 为等差数列 na 的前 n 项和， 3 5 18a S ， 6 3a a ，则下列数值中最大的
是
A． 4
16
S B． 5
25
S
C． 6
36
S D． 7
49
S
【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校 2020-2021 学年高三 12 月联考
【答案】D
【分析】根据题意求出数列的首项和公差，再求出 nS ，可得出 2
nS
n
是单调递增数列，即
可判断．
【解析】设等差数列 na 的公差为 d ， 3 5 18a S ， 6 3a a ，
1 1
1 1
5 4+2 +5 + 182
+5 +2
a d a d
a d a d
，解得 1 7a ， 2d ，
217 2 82n
n nS n n n
， 2
81nS
n n
，可得 2
nS
n
是单调递增数列，
所以在 4
16
S ， 5
25
S ， 5
36
S ， 7
49
S 中，最大的为 7
49
S ．故选 D．
16．已知正项等比数列 na 中， 1n na a ， 2 8 6a a ， 4 6 5a a ，则 5
7
a
a
A． 5
6 B． 6
5
C． 2
3 D． 3
2
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期 11 月月考（理）
【答案】D
【分析】根据 42 68a a a a ，然后与 4 6 5a a ，可得 4 6,a a ，再利用等比数列的性质计
算，可得结果．
【 解析 】在 正项 等比 数 列 na 中 ， 42 68a a a a ， 由 2 8 4 66, 5a a a a ， 所 以
4 6
4 6
5
6
a a
a a
，又 1n na a ，所以 4 63, 2a a ，所以 5 4
7 6
3
2
a a
a a
，故选 D.
17．设数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 4 1
3
n
n
a
S
，若 4 32a ，则 1a 的值为
A． 1
16 B． 1
8
C． 1
4 D． 1
2
【试题来源】黑龙江省八校 2020-2021 学年高三摸底考试（文）
【答案】D
【分析】由已知得 4 3
1
4 3
1
4
4 1 4 1
3 3 32a
a
S S
a
，解之可得选项．
【解析】因为 1 4 1
3
n
n
a
S
， 4 32a ，所以 4 3
1
4 3
1
4
4 1 4 1
3 3 32a
a
S S
a
，
解得 1
1
2a ，故选 D．
18．已知数列 na ，它的前 n 项和 21nS n ，则 6a 的值为
A．13 B．14
C．15 D．16
【试题来源】山西省运城市河津中学 2021 届高三上学期阶段性测评（文）
【答案】A
【解析】 6 6 5 49 36 13a S S ，故选 A.
19．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织
几何?”意思是“女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问
这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则
从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为 165 尺，则所需的天数为
A．7 B．8
C．9 D．10
【试题来源】贵州省 2021 届高考适应性月考卷（三）（文）
【答案】D
【分析】设该女子第一天织布 x 尺，根据题意，求得 5
31x 尺，结合等比数列的求和公式，
列出方程，即可求解．
【解析】设该女子第一天织布 x 尺，则 5 天共织布
5(1 2 ) 51 2
x
，解得 5
31x 尺，在情境
模拟下，设需要 n 天织布总尺数达到 165 尺，则有
5 (1 2 )31 1651 2
n
，整理得 2 1024n ，解
得 10n ．故选 D．
20．已知等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 1 3 4+ 30, 90,a a S 设 2
1log 3n nb a ，那么数列
{ }nb 的前 15 项和为
A．16 B．80
C．120 D．150
【试题来源】海南省海口市 2021 届高三上学期第四次月考
【答案】C
【分析】根据 1 3 4+ 30, 90,a a S 分 1q 和 1q ，利用“ 1,a q ”法求得 na ，进而求得 nb n ，
然后利用等差数列的前 n 项和公式求解．
【解析】因为 1 3 4+ 30, 90,a a S 若 1q ，则 1 4 115, 4 60 90a S a ，不成立，
所以 1q ，则 4
12
1 1
1
+ 30, 901
a q
a a q q
，解得 1 6, 2a q ，
所以 1
1 3 2n n
na a q ，所以 2
1log 3n nb a n ，
所以数列{ }nb 的前 15 项和为 1 15
15
15 15 1 15 1202 2
b bS
，故选 C．
21． nS 为正项等差数列 na 的前 n 项和， 3 5 7 9a a a tS ，则 t
A．3 B． 1
3
C．2 D． 2
3
【试题来源】四川省凉山州 2020-2021 学年高三第一次诊断性检测（理）
【答案】B
【分析】根据数列 na 为正项等差数列，且 3 5 7 9a a a tS ，利用等差数列的性质求解．
【解析】因为数列 na 为正项等差数列，且 3 5 7 9a a a tS ，
所以 1 9
5 53 9 92
a aa t ta
，解得 1
3t ，故选 B.
22．等比数列 na 中， 1 2 6a a ， 3 4 12a a ，则 na 的前 8 项和为
A．90 B． 30 2 1
C． 45 2 1 D．72
【试题来源】安徽省淮北市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】A
【分析】由题可得 1 2 3 4 5 6 7 8+ , + , + , +a a a a a a a a 也成等比数列，即可求出 5 6 7 8+ , +a a a a ，得出
前 8 项和．
【解析】 na 是等比数列， 1 2 3 4 5 6 7 8+ , + , + , +a a a a a a a a 也成等比数列，
1 2 6a a ， 3 4 12a a ， 5 6 7 8+ 24, + 48a a a a ，
前 8 项和为 1 2 3 4 5 6 7 8+ + + + + + + 90a a a a a a a a ．故选 A．
23．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引
入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐
波那契数列 na 可以用如下方法定义： *
1 2 1 23, , 1n n na a a n n a a N
．若此
数列各项除以 4 的余数依次构成一个新数列 nb ，则 2021b
A．1 B．2
C．3 D．5
【试题来源】北京市昌平区 2021 届高三年级上学期期末质量抽测
【答案】A
【分析】根据 *
1 2 1 23, , 1n n na a a n n a a N
，递推得到数列 na ，然后再得
到数列 nb 是以 6 为周期的周期数列求解．
【解析】因为 *
1 2 1 23, , 1n n na a a n n a a N
，
所以数列 na 为 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…
此数列各项除以 4 的余数依次构成的数列 nb 为 1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，0，…
是以 6 为周期的周期数列，所以 2021 6 336 5 5 1b b b ，故选 A.
24．等差数列 na 的首项为1，公差不为 0 ，若 1a 、 2a 、 4a 成等比数列，则 na 前5项的
和为
A．10 B．15
C． 21 D． 28
【试题来源】北京市石景山区 2021 届高三上学期数学期末试题
【答案】B
【分析】利用已知条件求得等差数列 na 的公差，然后利用等差数列的求和公式可得结果．
【解析】设等差数列 na 的公差为 d ，则 0d ，
由于 1a 、 2a 、 4a 成等比数列，则 2
2 1 4a a a ，即 21 1 1 3d d ，可得 2 0d d ，
0d ，解得 1d ，因此，数列 na 的前 5项和为 1
5 45 5 10 152a d ．故选 B．
25．已知一个等比数列的公比 0q ，且前 5 项和为 11 ， 5 3 13 4a a a ，则 4a
A．2 B．24
C．8 D．4
【试题来源】云南省 2021 届高三第五次复习检测（理）
【答案】C
【分析】由 5 3 13 4a a a 可求出公比，再利用 5 11S 求出首项，即可求出 4a ．
【解析】由 5 3 13 4a a a 得 4 2
1 1 13 4a q a q a ，化简得 4 23 4q q ，
整理得 4 23 4 0q q ，解得 2 4q 或 2 1q （舍），得 2q ，
所以 5
1 1
5
1 (1 32) 111 3
a q aS q
，所以 1 1a ，
3 3
4 1 1 ( 2) 8a a q ．故选 C．
26．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、
丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、
亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，
天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，
以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”
重新开始，即“丙子”，…，以此类推． 在戊戌年你们来到成都七中，追逐那光荣的梦想． 在
1980 年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在 100 年后的 2080 年为
A．辛丑年 B．庚子年
C．己亥年 D．戊戌年
【试题来源】四川省成都市第七中学 2020-2021 学年高三期中（文）
【答案】B
【分析】由题意可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12 为公差的等差数列，
以 1980 年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．
【解析】由题意可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12 为公差的等差数列，
从 1980 年到 2080 年经过 100 年，且 1980 年为庚申年，以 1980 年的天干和地支分别为首项，
则100 10 10 余数 0，则 2080 年天干为庚，100 12 8 余数为 4 ，则 2080 年地支为子，
所以 2080 年为庚子年．故选 B.
【名师点睛】本题的关键点是由题意得出数列天干是以10 为公差的等差数列，地支是以12
为公差的等差数列，1980 年为庚申年，计算100 10 10 余数 0，则 2080 年天干为庚，
100 12 8 余数为 4 ，则 2080 年地支为子，所以 2080 年为庚子年．
27．在等差数列 na 中， 1 72, 35a S ，则 10a
A．5 B．8
C．11 D．14
【试题来源】山西省运城市河津中学 2021 届高三上学期阶段性测评（理）
【答案】C
【分析】由等差数列的性质， 7 35S 可求得 4a ，然后利用 1 4 7 10, , ,a a a a 成等差数列直接写
出结果．
【 解 析 】 1 7 4
7
7 7 2 352 2
a a aS ， 所 以 4 5a ． 因 为 na 为 等 差 数 列 ，
1 4 7 102, 5, 8, 11a a a a ．故选 C．
【名师点睛】本题考查等差数列的前 n 项和公式，考查等差数列的性质．本题用到的性质：
（1）{ }na 是等差数列， 1 2 3, , , , ,nk k k k 是等差数列，且均为正整数，则 1 2 3
, , ,k k ka a a 仍
然是等差数列；（2） 2 1 (2 1)n nS n a ．
28．已知数列 na 为等差数列，首项为 2，公差为 3，数列 nb 为等比数列，首项为 2，公
比为 2，设 nn bc a ， nT 为数列 nc 的前 n 项和，则当 2020nT 时， n 的最大值是
A．8 B．9
C．10 D．11
【试题来源】山东省菏泽市 2021 届高三上学期期中考试（A）
【答案】A
【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列 nc 的通项公式，利
用数列的分组求和法可得数列 nc 的前 n 项和 nT ，验证得答案．
【解析】由题意得 32 3 ( 1) 1na n n ， 2n
nb ， 2 3 2 1nn
n
n bc a a ，
1 2 3nT c c c … nc 1 2 33 2 1 3 2 1 3 2 1 … 3 2 1n
1 2 33 2 2 2 … 2n n 2 1 2
3 1 2
n
n
13 2 6n n ，
当 8n 时， 9
8 3 2 6 8 1522 2020T ；
当 9n 时， 10
9 3 2 6 9 3057 2020T ， n 的最大值为8．故选 A．
29．已知数列 na 满足 1 21, 4a a ，且 1 1
2
2 2,1 1 1
n n nna a a n n Nn n n
，则当 na
n
取
得最大值时， n
A．1 B． 2
C．3 D． 4
【试题来源】吉林省通榆县第一中学 2020-2021 学年高三上学期第四次质量检测（理）
【答案】B
【分析】先证明数列 nna 是等差数列，结合 1 21, 4a a 求出 nna 的通项公式，可得
2
7 6na
n n n
，利用配方法可得答案．
【解析】因为 1 1
2
2 2,1 1 1
n n nna a a n n Nn n n
，
所以 1 12 1 1 2,n n nna n a n a n n N ，所以数列 nna 是等差数列，
又 1 21, 4a a ，所以数列 nna 是以1为首项， 2 12 1 7a a 为公差的等差数列，
所以 7 6nna n ，所以
2
2 2
7 6 7 6 1 7 496 ,12 24
na n
n n n n n
因为 *n N ， 121 27
，且 1 2
2 2
7 6 7 61, 2,2 11 1 1 2 2 2
a a ，
所以当 2n 时， na
n
取最大值 2．故选 B．
【名师点睛】判定一个数列为等差数列的常见方法是（1） 定义法： 1n na a d （ d 是常
数），则数列 na 是等差数列（2） 等差中项法： 1 +22 = +n n na a a （ n N ），则数列 na 是
等差数列；（3） 通项公式： =na pn q ( ,p q 为常数)， 则数列 na 是等差数列；（4） 前
n 项和公式： 2
nS An Bn ( ,A B 为常数) ， 则数列 na 是等差数列．
30．若 *12cos cos cos cos5 5 5 5n
n nS n
N ，则 1S 、 2S 、 、 2020S
中值为 0 的共有
A． 202 个 B． 404 个
C． 606 个 D．808 个
【试题来源】山西省运城市 2021 届高三（上）期中（理）
【答案】B
【 分 析 】 计 算 出 4 0S ， 10 0S ， 并 推 导 出 10n nS S n N
， 可 得 出
4+10 4 0nS S n N ， 10 10 0nS S n N ，据此可求得结果．
【解析】由于 4cos cos 05 5
， 2 3cos cos 05 5
， 5cos 15
，
6 9cos cos 05 5
， 7 8cos cos 05 5
， 10cos 15
，
所以 2 3 4cos cos cos cos 05 5 5 5
， 2 3 10cos cos cos cos 05 5 5 5
，
所以 4 0S ， 10 0S ，
10
1 2 10cos cos cos5 5 5n n
n n nS S
1 6 2 7 5 10cos cos cos cos cos cos5 5 5 5 5 5
n n n n n n
1 1 2 2 5 5cos cos cos cos cos cos5 5 5 5 5 5
n n n n n n
0 ，所以， 10n nS S n N
，则 4 4+10 0nS S n N ， 10 10 0nS S n N ，
因此， 1S 、 2S 、 、 2020S 中值为 0 的共有 202 2 404 个．故选 B．
【名师点睛】本题考查数列求和，解题的关键利用诱导公式推导出 10n nS S n N
，得
出数列的周期性，利用数列的周期性来解题．
31．已知正项等比数列 na 的首项为 ( 1)m m ，且 4 3 2
4
3 a a a ．记 nT 为数列 na 的
前 n 项的积，若 nT 中仅有 5T 最大，则实数 m 的取值范围为
A． (8,16) B． (16,32)
C． (1,16) D． (4,8)
【试题来源】陕西省宝鸡市 2020-2021 学年高三上学期第三次月考（理）
【答案】B
【分析】由等比数列的通项公式可求出公比，结合 5T 最大可得 5
6
1
1
a
a
，从而可求出实数 m
的取值范围．
【解析】设等比数列 na 的公比为 q，有 24 13 q q ，解得 1
2q 或 3
2q (舍去)，
由 nT 中仅有 5T 最大，有 5
6
1
1
a
a
，有
116
132
m
m
，可得16 32m ．故选 B．
【名师点睛】本题的关键是由 nT 中仅有 5T 最大得 5
6
1
1
a
a
．
32．记 nS 为数列{ }na 的前项和，已知点 ( , )nn a 在直线 10 2y x 上，若有且只有两个正
整数 n 满足 nS k ，则实数 k 的取值范围是
A．(8,14] B．(14,18]
C． (18,20] D． 81(18, ]4
【试题来源】上海市松江区 2021 届高三上学期期末（一模）
【答案】C
【分析】由已知可得数列 na 为等差数列，首项为 8，公差为-2，由等差数列的前 n 项和公
式可得 2 9nS n n ，由二次函数的性质可得 4n 或 5 时， nS 取得最大值为 20，根据题
意，结合二次函数的图象与性质即可求得 k 的取值范围．
【解析】由已知可得 10 2na n ，由 1 2n na a ，所以数列 na 为等差数列，首项为
8，公差为-2，所以 2( 1)8 ( 2) 92n
n nS n n n ，当 n=4 或 5 时， nS 取得最大值
为 20，因为有且只有两个正整数 n 满足 nS k ，所以满足条件的 4n 和 5n ，
因为 3 6 18S S ，所以实数 k 的取值范围是 18,20 ．故选 C．
【名师点睛】最值范围问题常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）数形结合法；（3）导数
法；（4）基本不等式法．要根据已知灵活选择合适的方法求解．
33．若数列 na 满足
1
1 2 0
n na a
，则称 na 为“梦想数列”，已知正项数列 1
nb
为“梦想
数列”，且 1 2 3 1b b b ，则 6 7 8b b b
A． 4 B．8
C．16 D．32
【试题来源】四川省内江市高中 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】D
【分析】利用等比数列的定义可推导出“梦想数列” na 是公比为 1
2
的等比数列，进而结合
题意可知数列 nb 是公比为 2 的等比数列，由此可得 5
6 7 8 1 2 32b b b b b b ，即可
得解．
【解析】由题意可知，若数列 na 为“梦想数列”，则
1
1 2 0
n na a
，可得 1 1
2
n
n
a
a
，
所以，“梦想数列” na 是公比为 1
2
的等比数列，
若正项数列 1
nb
为“梦想数列”，则
1
1 1
2n nb b
，所以， 1 2n
n
b
b
，
即正项数列 nb 是公比为 2 的等比数列，
因为 1 2 3 1b b b ，因此， 5
6 7 8 1 2 32 32b b b b b b ．故选 D．
【名师点睛】本题考查数列的新定义“梦想数列”，解题的关键就是紧扣新定义，本题中，“梦
想数列”就是公比为 1
2
的等比数列，解题要将这种定义应用到数列 1
nb
中，推导出数列
nb 为等比数列，然后利用等比数列基本量法求解．
34．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、
春分．清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、
立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5 尺，则谷雨日影长为
A． 2.5 B．3.5
C． 4.5 D．5.5
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】D
【分析】设十二个节气其日影长依次成等差数列 na ，首先利用已知条件求出 na 的通项
公式，计算 9a 即可求解．
【解析】设十二个节气其日影长依次成等差数列 na ，
由题意可得 1 4 7 31.5a a a ，即 43 31.5a ，解得 4 10.5a ，
因为 1 9
9
9 85.52
a aS
，所以 59 85.5a ，解得 5 9.5a
所以 na 的公差 5 4 9.5 10.5 1d a a ，
所以 4 4 10.5 4 14.5na a n d n n ，
所以谷雨日影长为 9 14.5 9 5.5a ，故选 D
【名师点睛】本题解题的关键是读懂题意利用等差数列的性质和等差数列的前 n 项和公式求
出其通项公式，问题即可迎刃而解．
35．设 nS 为数列 na 的前 n 项和， *( ) (1 1 ),2
n
n nnS a n N ，则数列 nS 的前 7 项和
为
A． 1
256
B． 85
256
C． 1
1024
D． 341
1024
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测（文）
【答案】B
【分析】由 1n 求得 1a ，在 2n 时，由 1n n na S S 得{ }na 的递推式，按 n 的奇偶分类
讨论求得 na ．然后由已知式计算 1( 1) 2
n
n n nS a ，再计算{ }nS 的前 7 项和．
【解析】因为 ( 1)1
2
n
n nnS a ，所以 1n 时， 1 1
1
2S a ，即 1 1
1
2a a ， 1
1
4a ，
由已知 1( 1) 2
n
n n nS a ，
2n 时， 1
1 1 11
1 1 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2 2 2
n n n n
n n n n n n nn n na S S a a a a
(*)，
(*)式中 n 为偶数时， 1
1
2n n n na a a ， 1
1
2n na ，此时 1n 为奇数，
所以 n 为奇数时 1
1
2n na ，(*)式中 n 为奇数时， 1
1
2n n n na a a ， 1
12 2n nna a ，
即 1 1 1
1 1 12 2 2 2n n n na
，此时 1n 为偶数，所以 n 为偶数时， 1
2n na ，
所以
1
1 ,2
1 ,2
n
n
n
n
a
n
为奇数
为偶数
，由 1( 1) 2
n
n n nS a ，得
n 为奇数时， 1
1 1
2 2n n nS ， n 为偶数时， 1 1 02 2n n nS ，
所 以 数 列 { }nS 的 前 7 项 和 为
1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 16 8 64 32 256 128
1 1 1 1 85
4 16 64 256 256
．故选 B．
【名师点睛】本题考查求数列的前 n 项和．解题关键是确定通项公式 na ，为此利用 2n 时，
1n n na S S 得递推关系，然后按 n 的奇偶分类计算求解．最后确定数列{ }nS 中的各项，
求出前 7 项和．
36．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 *
1 1
12, 1 ,n
n
a a na N ，则
A． 40 100a a B． 40 100a a
C． 40 100S S D． 40 100S S
【试题来源】2021 年 1 月浙江省普通高中学业水平考试
【答案】D
【分析】首先通过列举数列的项，得到数列 na 是周期数列，利用周期判断选项．
【解析】 2
1
1 31 2a a
， 3
2
1 11 3a a
， 4
3
11 2a a
， 5
4
1 31 2a a
，……
所以数列 na 是以 3 为周期的周期数列，前三项和 3
1
6S ，
40 3 13 1 1 2a a a ， 100 3 33 1 1 2a a a ，所以 40 100a a ，
40 3 40
2513 6S S a ， 100 3 100
1533 2S S a ，所以 40 100S S ．故选 D
【名师点睛】本题的关键是根据递推公式，列举数列 na 中的项，判断数列是周期数列．
37 ． 已 知 数 列 na 满 足 2 *
1 1n n na a a n N ， 设
1 2
1 1 1
n
n
S a a a
， 且
10
9
10
2 3
1
aS a
，则数列 na 的首项 1a 的值为
A． 2
3 B．1
C． 3
2 D． 2
【试题来源】江苏省常州市四校联考 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】C
【分析】由 2
1 1n n na a a ，可得 1 1 1n n na a a ，即
1
1 1 1
1 1n n na a a
，所以
从而可得
1 10
10
9
10
1 1 2
1
3
11
aS a a a
，得出答案．
【解析】若存在 1na ，由 2
1 1 1n n na a a ，则可得 1 1na 或 0na ，
由
1 2
1 1 1
n
n
S a a a
可得 0na ，由 10
9
10
2 3
1
aS a
可得 10 1a
所以 na 中恒有 1 ，由 2
1 1n n na a a ，可得 1 1 1n n na a a
所以 1
1 1 1 1
1 1 1n n n n na a a a a
，即
1
1 1 1
1 1n n na a a
，所以
1 2 1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1n
n n n
S a a a a a a a a a
1 1
1 1
1 1na a
，所以
1 10
10
9
10
1 1 2
1
3
11
aS a a a
，
即 10 10
1 0 1010 1
2 3 2 2 21 1
1
1 1
1 a a
a aa a
，所以
1
1 21a
，则 1
11 2a ，所以 1
3
2a ，
故选 C.
38 ． 已 知 函 数 3logf x x ， 给 出 三 个 条 件 ： ① 2n
nf a ； ② nf a n ； ③
1
nf a n
．从中选出一个能使数列 na 成等比数列的条件，在这个条件下，数列 na 的
前 n 项和 nS
A．3 1n B． 12 1n
C． 1 3 12
n D． 3 3 12
n
【试题来源】江西省吉安市 2021 届高三大联考数学（文）（3－2）试题
【答案】D
【分析】根据等比数列的定义对 3 个条件一一判断即可．
【解析】已知函数 3logf x x ，定义域为 0, ．
若选①，则 3log 2n
n nf a a ， 23 n
na ，
1
1
2
2 2 21
2
3 3 3
3
n
n n n
n
n
n
a
a
不是常数，则
na 不是等比数列；
若选②，则 3log 1
n nf a a n
， 1
3n
na ，
1
1 11
1
1
1 3 3
3
n
n n
n
n
n
a
a
不是常数，则 na 不
是等比数列；
若选③，则 3logn n nf a a ， 3n
na ， 1
1 13 33 3
n
n n
n
n
n
a
a
是常数，
则 na 是以 1 3a 为首项，以 3 为公比的等比数列，则 3 1 3 3 3 11 3 2
n
n
nS
．故选 D．
【名师点睛】判断数列是不是等比数列的常用方法：定义法，等比中项法，通项公式法等．
39．已知公差不为 0 的等差数列 na 的前 n 项和 nS ， 1 5 10a a ， 4a 是 1a 和 5a 的等比
中项，则 n
n
S
a
A．有最大值 9 B．有最大值 25
C．没有最小值 D．有最小值-24
【试题来源】福建省漳州市 2018 届高三毕业班第二次调研（文）（可编辑 PDF 版）
【答案】D
【分析】根据条件列出方程组求出首项与公差，由求和公式与通项公式得出 n
n
S
a ，求最值
【解析】设公差为 d，则有
1
2
1 1 1
2 4 10
4 3
a d
a a d a d
，解得 1 9a ， 2d ．
则 2
19 ( 1) 2 102
9 2( 1) 11 2
n
n
n n nS n n
a n n
，可令 11 2t n ，可得 2 11n t ，
则
2115(11 2 ) ( ) 1 992( ) ( 2)4
tt
f t tt t
，当 1n ， 9t ， ( ) 1f t ；当 5n ， 1t ，
( ) 25f t ，可得 ( )f t 在 1n 到 5n 递增；当 6n ， 1t ， ( ) 24f t ， 7n ， 3t ，
( ) 7f t ，..，可得 ( )f t 在 6n
递增，则 n
n
S
a 有最小值 24 ，而无最大值，故选 D .
【名师点睛】利用差数列的通项公式和求和公式可得
210
11 2
n
n
S n n
a n
，通过令 11 2t n 换元
可转化为 1 99( ) ( 2)4f t t t
，考查函数的单调性，注意 t N ，求函数最值，属于中档
题．
40．已知数列 na 是首项为 a ，公差为 1 的等差数列，数列 nb 满足 1 n
n
n
ab a
．若对任
意的 *nN ，都有 5nb b 成立，则实数 a 的取值范围是
A． 6, 5 B． 6, 5
C． 5, 4 D． 5, 4
【试题来源】浙江省百校 2020-2021 学年高三上学期 12 月联考
【答案】D
【分析】依题意，由对 *n N 都有 5nb b 成立，即
5
1 1
na a
，利用数列 na 的单调性，建
立不等量关系，进一步利用 5 0a ， 6 0a ，求出实数 a 的取值范围．
【解析】由已知 1 1 1n
n
n n
ab a a
，
对 *n N 都有 5nb b 成立，即
5
1 11 1
na a
，即
5
1 1
na a
，
又数列 na 是首项为 a ，公差为 1 的等差数列，
1na a n 且数列 na 是单调递增数列，当 n 时， 1 0
na
，
所以 5 0a ， 6 0a ，即 5 1 0
6 1 0
a
a
，解得 5 4a ．
即实数 a 的取值范围是 5, 4 ，故选 D.
【名师点睛】本题考查等差数列通项公式及数列单调性的应用，解题的关键是要利用数列的
单调性结合已知条件得到 5 0a ， 6 0a ，建立关于 a 的不等式，考查学生的转化思想与
逻辑思维能力及运算能力，属于中档题．
二、填空题
1．已知等差数列 na 的前 n 项和为 *
nS n N ，公差 0d ， 6 90S ， 7a 是 3a 与 9a 的
等比中项，当 0nS 时，n 的最大值为__________．
【试题来源】江苏省徐州市三校联考 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】20．
【分析】根据 6 90S ， 7a 是 3a 与 9a 的等比中项求出 1a 和 d ，再根据等差数列的求和公式
求出 nS ，解不等式 0nS 即可得解．
【解析】因为 7a 是 3a 与 9a 的等比中项，所以 2
7 3 9a a a ，
所以 2
1 1 16 2 8a d a d a d ，化简得 2
1 10 0a d d ，
因为 0d ，所以 1 10a d ，
因为 6 90S ，所以 1
6 56 902a d ，即 1
5 152a d ，
将 1 10a d 代入得 510 152d d ，解得 2d ，所以 1 20a ，
所以 2( 1)20 ( 2) 212n
n nS n n n ，
由 0nS 得 2 21 0n n ，即 2 21 0n n ，解得 0 21n ，
所以正整数 n 的最大值为 20 ．
故答案为 20
【名师点睛】熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键．
2．已知数列 na 是等差数列， 1 1a ， 2 2a ， 3 0a ，则 1 53z a a 的最大值是
__________．
【试题来源】江西省吉安市 2021 届高三大联考数学（理）（3-2）试题
【答案】16
【分析】由等差数列得通项公式可的
1
1
1
1
2
2 0
a
a d
a d
设 1a x ， d y ，则不等式组等价为
1
2
2 0
x
x y
x y
，
1 53 2 4z a a x y ，利用线性规划知识求最值即可．
【解析】设等差数列 na 的公差为 d ，由题设知，
1
1
1
1
2
2 0
a
a d
a d
，
设 1a x ， d y ，则不等式组等价为
1
2
2 0
x
x y
x y
，
对应的可行域为如图所示的三角形 ABC 及其内部，由 1 5 13 2 4 2 4a a a d x y ，
由 2 4z x y 可得 1
2 4
zy x ，
作 1
2y x 沿着可行域的方向平移，当直线过点 A时， z 取得最大值．
由 2
2 0
x y
x y
解得 4, 2A ，所以 max 2 4 4 2 16z ，故答案为16
【名师点睛】本题解题的关键是设 1a x ，d y ，将
1
1
1
1
2
2 0
a
a d
a d
转化为，进而转化为利
用线性规划求最值．
3．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 21 1
2 2nS n n ，若
1
2 11 n
n
n n
nb a a
，则数列 nb
的前 n 项和 nT __________．
【试题来源】安徽省淮北市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】
,1
2 ,1
n
n nnT n nn
为偶数
为奇数
【分析】先由 1n n na S S 求出 na ，则可得 1 1+ 11 +
n
n n nb
，分 n 为奇数和偶数，
利用裂项相消法即可求出．
【解析】 21 1
2 2nS n n ，当 1n 时， 1 1 1a S ，
当 2n 时， 22
1
1 1 1 11 12 2 2 2n n na S S n n n n n
，满足 1 1a ，
na n ，
1
2 1 1 1+ +1
2 11 1 1+1
n n n
n
n n
n nb a n na n n
，
当 n 为偶数时， 1 1 1 1 1 1 1 11+ 12 2 3 3 4 1 1 1n
nT n n n n
，
当 n 为奇数时， 1 1 1 1 1 1 1 21+ 2 2 3 3 4 1 1n
nT n n n
，
,1
2 ,1
n
n nnT n nn
为偶数
为奇数
．故答案为
,1
2 ,1
n
n nnT n nn
为偶数
为奇数
【名师点睛】本题考查利用裂项相消法求数列前 n 项和，解题的关键是化简得出
1 1+ 11 +
n
n n nb
．
4．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 21 1
2 2nS n n ，若
1
2 1( 1)n
n
n n
nb a a
，则数列 nb
的前 2n 项和为__________．
【试题来源】安徽省淮北市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】 2
2 1
n
n
【分析】根据 1 2n n na S S n 求解出 na 的通项公式，然后根据条件将 nb 的通项
公式变形为 1 11 1
n
n n
，根据裂项相消求和法求解出 nb 的前 2n 项和．
【解析】因为 21 1
2 2nS n n ，当 2n 时， 1
1 11 12 2n n na S S n n n n n ，
当 1n 时， 1 1
1 1 12 2a S= = + = ，符合 2n 的情况，所以 na n ，所以
1
12 1 2 1 1 11 1 1 11 1 1
n n n n
n
n n
n nn nb a a n n n n n n
，
记 nb 的前 2n项和为 2nT ，所以
2
1 1 1 1 1 1 1 1 11 ...2 2 3 3 4 2 1 2 2 2 1nT n n n n
，
所以 2
1 212 1 2 1n
nT n n
，故答案为 2
2 1
n
n
．
【名师点睛】利用 na 与 nS 的关系求解数列通项公式的思路：
（1）根据 1 2n n na S S n ，先求解出 2n 时的通项公式；
（2）根据条件验证 1n 是否满足 2n 的情况；
（3）若满足，则 na 的通项公式不需要分段书写；若不满足，则 na 的通项公式需要分
段书写．
5 ． 数 列 na 的 前 n 项 和 为 nS ， 2 3n
n na S ， 数 列 nb 满 足
2 1
13 32
nb
n na a n N
，则数列 nb 的前 10 项和为__________．
【试题来源】四川省成都市 2020-2021 学年高三上学期第一次诊断性检测（文）
【答案】65
【分析】由 ,n na S 的递推式可得 1
2 13 2 3n
n na a
，结合已知条件有 1nb n ，即可求
数列 nb 的前 10 项和．
【解析】由 2 3n
n na S 知 1
1 12 3n
n na S
，则 1
1 12 2 3 3n n
n n n na S a S
，得
13 2 3n
n na a ，所以 1
2 13 2 3n
n na a
，而 2 1
13 32
nb
n na a n N
，
所以 1nb n ，故数列 nb 的前 10 项和为 10
10 (2 11) 652T ，故答案为 65．
【名师点睛】 ,n na S 递推式的应用求条件等式中因式 2 13 n na a 的表达式，进而求数列 nb
的通项，最后求 nb 前 10 项和．
6．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良
马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎
驽马，九日后二马相逢，则齐去长安__________里．
【试题来源】山西省运城市 2021 届高三（上）期中（理）
【答案】1125
【分析】由题设可知良马、弩马的速度都成等差数列，分别求得首项和公差，求出二马行走
的总路程，由此能求出结果
【解析】由题设可知良马、弩马的速度都成等差数列，
良马的首项 1 103a ，公差 13d ，弩马的首项 1 97b ，公差 0.5d ，
良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢，
则二马行走的总路程为 9 8 9 8103 9 13 97 9 0.5 22502 2
．
2250 11252
（里）．故答案为 1125．
7．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠
日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞
穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，若垣
厚 33 尺，则两鼠__________日可相逢．
【试题来源】浙江省钱江校区 2020-2021 学年高三上学期 12 月月考
【答案】6
【分析】根据题意，大老鼠和小老鼠打洞构成两个等比数列，然后利用等比数列的前 n 项和
公式求解．
【解析】大老鼠打洞构成首项为 1，公比为 2 的等比数列，小老鼠打洞构成首项为 1，公比
为 1
2
的等比数列，设相遇时是第 n 天，则
111 2 2 3311 2 1 2
n
n
，即 22 1 2 332
n
n ，
即 22 322
n
n ，令 22 2
n
nf n ，在 1n 上是增函数，
又 5 6
5 6
2 25 2 32, 6 2 322 2f f ，所以相遇时是第 6 天，故答案为 6.
8．被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长
成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，
按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性
质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在 1202 年
所著的《算盘全书》．现有一兔子数列 1 2: 1nF F F ， 1 2 ( 2)n n nF F F n ，若将
数列 nF 的每一项除以 2 所得的余数按原来项的顺序构成新的数列 na ，则数列 na 的前
2020 项和为__________．
【试题来源】湖南省 2020-2021 学年高三上学期月考（四）
【答案】1347
【分析】根据新数列定义，写出新数列前几项，观察发现为周期数列，根据周期性求数列 na
的前 2020 项和．
【解析】由题意可得 1,1,2,3,5,8,13,21,34,nF ，
所以数列 1,1,0,1,1,0,1,1,0,na ，所以数列 na 是一个周期为 3 的周期数列，
而 2020 除以 3 商 673 余 1，所以数列 na 的前 2020 项和为 2 673 1 1347 ．
9．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 3 9 942 , 36a a m a S ，则 m __________．
【试题来源】河北省邯郸市 2021 届高三上学期期末质量检测
【答案】16
【分析】根据条件由 3 9 62a a a ，结合条件可得 54a m ，由 1 9
9 5
9 9 36,2
a aS a
得 5 4a ，从而得出答案．
【解析】因为 na 等差数列，由 3 9 62a a a ，又 3 9 42a a m a ，
所以 4 62 a a m ，即 54a m ．又 1 9
9 5
9 9 36,2
a aS a
所以 5 4a ，
则 54 16a m ，故答案为 16.
10．已知数列 na 是等差数列， nS 是其前 n 项和．若 1 2 5a a ， 5 10S ，则 9a 的值是
__________．
【试题来源】四川省乐山市 2020-2021 学年高三上学期第一次调查研究考试（文）
【答案】20
【分析】根据数列是等差数列，求首项和公差，再代入通项公式求 9a ．
【解析】设等差数列的公差为 d ，首项为 1a ，则
1
1
2 5
5 45 102
a d
a d
，解得 1 4a ， 3d ，
则 9 4 8 3 20a ．故答案为 20.
11．已知等比数列 na 中，各项都是正数，前 n 项和为 nS ，且 3 5 44 , ,2a a a 成等差数列， 1 1a ，
则 5S __________．
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测（文）
【答案】31
【分析】首先由条件可知 5 3 42 4 2a a a ，再根据数列 na 是等比数列，求公比 q，最后
根据公式求 5S ．
【解析】由条件可知 5 3 42 4 2a a a ，即 2
3 3 32 4 2a q a a q ，
即 2 2 0 1 2 0q q q q ， na 是正项数列， 0q ，即 2q = ，
又 1 1a ，
5
5
5
1 2 2 1 311 2S
．故答案为 31.
12 ． 数 列 na 中 ， 1 2, m n m na a a a ， 若 15 5
2 3 11 2 2k k ka a a ， 则
k __________．
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】3
【分析】利用已知递推关系得出数列{ }na 是等比数列，从而求得其通项公式后，结合等比
数列前 n 项和公式可得．
【解析】因为 1 2, m n m na a a a ，所以 1 1n na a a ，
所以 1
1 2n
n
a aa
，{ }na 是等比数列，公比为 2．所以 2n
na ．
因为 2 3 11 13 2 15 5
2 3 11 2 2 2 2 2 2 2k k k k k
k k ka a a
，所以 3k ．
13．记 nS 为等比数列 na 的前 n 项和．设 3 6S ， 4 1 3S a ，则 6S __________．
【试题来源】陕西省宝鸡市 2020-2021 学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）
【答案】 21
4
【分析】根据等比数列的通项公式、求和公式直接计算即可．
【解析】 3 6,S 4 1 3S a ，
3 1 2 3
4 1 1 2 3
6
3
S a a a
S a a a a q
， 1
2q ，
3 3
6 3 3 3
211 4S S S q S q ，故答案为 21
4 .
14．已知数列 na 和 nb 均为等差数列，前 n 项和分别为 nS ， nT ，且满足： *n N ，
3
2 1
n
n
S n
T n
，则 1 6 14 19
5 8 12 15
a a a a
b b b b
__________．
【试题来源】天津市 2020-2021 学年高三上学期第四次月考
【答案】 22
39
【分析】利用等差数列的性质得到 1 6 14 19 10 10 19
5 8 12 15 10 10 19
4 19
4 19
a a a a a a S
b b b b b b T
即可．
【解析】 1 6 14 19 10 10 19
5 8 12 15 10 10 19
4 19 22
4 19 39
a a a a a a S
b b b b b b T
，故答案为 22
39 .
15 ． 已 知 数 列 na 的 前 n 项 和 为 nS ， 1 1a ， 且 对 任 意 的 n N ， 都 有
2 2
2 1 2
log 1
2log
n n
n n
na an
na a n
，则 61S __________．
【试题来源】江西省吉安市 2021 届高三大联考数学（文）（3－2）试题
【答案】5
【分析】根据已知的递推公式，结合对数的运算性质进行求解即可．
【解析】因为
2 2
2 1 2
log 1
2log
n n
n n
na an
na a n
，所以 2 2 1 2 2 2
2 2log log log1 1n n
n n na a n n n
，
所 以
61 1 2 3 4 5 60 61S a a a a a a a 2 2 2
3 4 32log log log2 3 311
2 2
4 321 log 1 log 16 53 3
3
2 1
．故答案为 5.
16．记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若 2 2235, 5a a ，则 nS 的最大值为__________．
【试题来源】云南省 2021 届高三第五次复习检测（文）
【答案】361
【分析】分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得 a1，d，再代
入求和公式，并利用一元二次函数求最值即可求解．
【解析】由 22 2 20 5 35 40a a d ，得 2d ，因为 1 2 35 2 37a a d ，
2
1
( 1) ( 2) 382n
n nS na n n ，当 19n 时， nS 有最大值 361．
17．记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若 1 0a ，且 3 620 11a a ，则 11
5
S
S
__________．
【试题来源】云南省 2021 届高三第五次复习检测（理）
【答案】 4
【分析】根据数列 na 是等差数列，利用等差数列的前 n 项和公式化简为 611
5 3
11
5
aS
S a
，再
结合 3 620 11a a 求解．
【解析】因为数列 na 是等差数列，
所以
1 11
1 11 6 611 6
1 55 1 5 3 3 3
11
11 11 112
5 5 5 5
2
a a
a a a aS a
a aS a a a a a
，
因为 3 620 11a a ，所以 6 3
3 3
11 20 45 5
a a
a a
，所以 11
5
4S
S
．故答案为 4.
18．若数列 na 满足： 1 5n na a n ， 1 1a ，则 2020a __________．
【试题来源】河北省张家口市 2021 届高三上学期期末教学质量监测
【答案】5049．
【分析】根据 1 5n na a n 写出 1 5 5n na a n ，相减以后可得 1 1 5n na a ，可以判
断出数列 2na 是等差数列，然后判断出首项和公差，即可得 2020a ．
【解析】 1 15 5 5n n n na a n a a n ．两式相减，得 1 1 5n na a ．
1 2 25 4a a a ．故 2020a 是首项为 4 ，公差为5的等差数列的第1010项，
故 2020 4 1010 1 5 5049a ．故答案为5049．
【名师点睛】要注意等差数列的概念中的“从第 2 项起”与“同一个常数”的重要性，巧妙运用
等差数列的性质，可化繁为简；如果 1n na a 是常数，则 na 是等差数列，如果 1 1n na a
是常数，则数列中的奇数项或者偶数项为等差数列，所以需要注意等差数列定义的推广应用．
19．记 ma 为数列 3n 在区间 *0,m nN 中的项的个数，则数列 ma 的前100 项的和
100S _________．
【试题来源】上海市青浦区 2021 届高三上学期一模
【答案】 284 ；
【分析】可直接利用列举法，分别确定出在 (0 ， ]m ， 1m ，2，3， 100 ，中每个区
间内含有3n 项的个数 ma ，然后相加即可．
【解析】对于区间 (0 ， ]m ， { |m m m N ，1 100}m ，可知
（1）当 1m ，2 时，区间内不含3n 项，故 1 2 0a a ，共 2 项；
（2）当 3m ，4，5， 8 时，区间内含有 13 一项，故 3 4 5 8 1a a a a ，共 6 项；
（3）当 9m ，10，11， 26 时，区间内含有 13 ， 23 两项，故 9 10 11 26 2a a a a ，
共 18 项；
（ 4 ） 当 27m ， 28 ， 29 ， ， 80 时 ， 区 间 内 含 有 13 ， 23 ， 33 三 项 ， 故
27 28 29 80 3a a a a ，共 54 项；
（5）当 81m ，82，83， ，100 时，区间内含有 3， 23 ， 33 ， 43 四项，故
81 82 83 100 4a a a a ，共 20 项．
故 100 2 0 6 1 18 2 54 3 20 4 284S ．
故答案为 284．
【名师点睛】解答本题的关键是正确理解 ma 为数列 3n 在区间 *0,m nN 中的项的个
数这一属性，然后利用列举法求解．
20．设 nS 为数列 na 的前 n 项和， 1 1a ， 2 2a ，且 *
2 (2 )n na a n N ，则 15S ______．
【试题来源】四川省凉山州 2020-2021 学年高三第一次诊断性检测（理）
【答案】509
【分析】根据题意可得 *
2 (2 )n na a n N ，所以数列 na 中：奇数项放在一起成等比数
列，偶数项放在一起成等比数列，然后用分组求和、等比数列求和公式计算即可．
【解析】因为 *
2 0 )2 (n na a n N 即 *
2 (2 )n na a n N
所以数列 na 中：奇数项放在一起成等比数列，偶数项放在一起成等比数列，
所以 1 3 5 7 9 11 13 15, , , , , , ,a a a a a a a a 成等比数列， 2 4 6 8 10 12 14, , , , , ,a a a a a a a 成等比数列，
又 1 1a ， 2 2a ，
所以 15 1 2 15 1 3 5 15 2 4 6 14( ) ( )S a a a a a a a a a a a
1 2 7 1 2 7(1 2 2 2 ) (2 2 2 )
8 71 2 1 21 2 5091 2 1 2
．
【名师点睛】根据递推关系求通项公式的三个常见方法：
（1）对于递推关系式可转化为 1 ( )n na a f n 的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其
通项公式；
（2）对于递推关系式可转化为 1 ( )n
n
a f na
的数列，并且容易求数列 ( )f n 前 n 项的积时，
采用累乘法求数列{ }na 的通项公式．
（3）对于递推关系式形如 1 ( 0,1, 0)n na pa q p q 的数列，采用构造法求数列的通项．
三、双空题
1．复印纸幅面规格只采用 A系列和 B 系列，其中 A系列的幅面规格为① 0 1 2 8, , ,...,A A A A 所
有规格的纸张的幅宽（以 x 表示）和长度（以 y 表示）的比例关系都为 : 1: 2x y ；②将
0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 1A 规格； 1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成
为 2A 规格；…；如此对开至 8A 规格．现有 0 1 2 8, , ,...,A A A A 纸各一张．若 4A 纸的幅宽为 2 dm，
则 0A 纸的面积为__________ 2dm ，这 9张纸的面积之和等于__________ 2dm ．
【试题来源】北京房山区 2021 届高三上学期数学期末试题
【答案】 64 2 511 24
【分析】由题设条件逐一得出 0 1 2 3 4, , , ,A A A A A 纸张的长和宽，进而得出 0A 的面积，再由
0 1 2 8, , ,...,A A A A 纸张的面积是以 64 2 为首项，公比为 1
2
的等比数列，由求和公式得出这9
张纸的面积之和．
【解析】根据题意， 4A 的长、宽分别为 2 2,2， 3A 的长、宽分别为 4,2 2 ， 2A 的长、宽
分别为 4 2,4， 1A 的长、宽分别为8,4 2 ， 0A 的长、宽分别为8 2,8 ，所以 0A 的面积为
64 2 ， 0 1 2 8, , ,...,A A A A 纸张的面积是以 64 2 为首项，公比为 1
2
的等比数列，所以这 9张
纸的面积之和等于
9164 2 1 2 511 2
1 41 2
，故答案为 64 2 ； 511 24 .
2．记 nS 为等比数列 na 的前 n 项和．设 3 6S ， 4 1 3S a ，则公比 q __________，
4S __________．
【试题来源】陕西省宝鸡市 2020-2021 学年高三上学期高考模拟检测（一）（文）
【答案】 1
2
5
【分析】设等比数列的公比为 q，由题设可得关于 1,a q 的方程组，解方程组后可得公比的
值及 4S ．
【解析】因为 4 1 3S a ，故 14 36a a ，故 14 9a a
设等比数列的公比为 q，则
2
1 1 1
3
1 1
6
9
a a q a q
a q a
即
2
1 1 1
3
1
6
1 9
a a q a q
a q
又 3
1 1 0a q ，故
2
3
1+ 2
1 3
q q
q
，解得 1
2q ，故 1 8a ．
故
4
4
18 1 2
511 2
S
．故答案为 1
2
，5．
【名师点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转
化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性
质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．
3．设等比数列 na 的公比为 q，前 n 项和为 nS ．若 1 41, 64a a ，则 q __________，
3S __________．
【试题来源】2021 年 1 月浙江省普通高中学业水平考试
【答案】4 21
【分析】首先根据 3 4
1
aq a
得到 4q ，再计算 3S 即可．
【解析】因为 3 4
1
64aq a
，所以 4q ．
3
3
1 4 211 4S
．故答案为 4 ； 21
4．数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 1a ， 1 2n na S ， 1,2,3,n ．则 3a __________；
2 3 4 +1na a a a __________．
【试题来源】北京市 2021 届高三上学期数学统练 5 试题
【答案】6 3 1n
【分析】由已知当 2n 时， 12n na S ，结合已知条件知 1 3n
n
a
a
，验证 1n 时不满足，
得到数列 na 的通项公式为 2
1, 1
2 3 , 2n n
na n
，进而求得 3 6a ，再利用等比数列求和
公式可求得 2 3 4 +1na a a a ．
【解析】由 1 2n na S 知，当 2n 时， 12n na S
两式作差得 1 12 2 2n n n n na a S S a ，即 1 3n na a ，即 1 3n
n
a
a
；
又 1 1a ， 2 12 2a S ，不符合上式，故数列 na 去掉第一项是公比为 3 的等比数列，
所以数列 na 的通项公式为 2
1, 1
2 3 , 2n n
na n
，所以当 3n 时， 3 6a ，
1
2 +1
2 3 4 +1
3 2 3 2 3 1 3
1 3 2 3 11
n
n
n
n
na aa a a a
.
故答案为 6，3 1n .
【名师点睛】本题考查求数列的通项公式及等比数列求和公式，求数列通项公式常用的方法：
（1）由 na 与 nS 的关系求通项公式，当 2n 时， 1n n na S S ，一定要验证当 1n 时是
否满足；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法，考查学生的逻辑推理
能力与运算求解能力，属于易错题．
5．设等差数列 na 的公差为非零常数 d ，且 1 1a ，若 1a ， 2a ， 4a 成等比数列，则公差
d __________﹔数列
1
1
n na a
的前 100 项和 100S __________．
【试题来源】浙江省台州市六校 2020-2021 学年高三上学期期中联考
【答案】1 100
101
【分析】利用等差、等比数列的性质列出关于 d 的方程，解之可得，然后得出通项公式 na ，
用裂项相消法求和．
【解析】因为 1a ， 2a ， 4a 成等比数列，所以 2
2 1 4a a a ，即 2(1 ) 1 (1 3 )d d ，又 0d ，
解得 1d ．所以 na n ，
1
1 1 1 1
( 1) 1
n na a n n n n ，
所以 100
1 1 1 1 1 100(1 ) ( ) ( )2 2 3 100 101 101S ．故答案为 1；100
101
．
【名师点睛】本题考查求等差数列的基本量运算，等比数列的性质，裂项相消法求和．数列
求和的常用方法：
设数列{ }na 是等差数列，{ }nb 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
（2）错位相减法：数列{ }n na b 的前 n 项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；数列 1{ }
n n ka a
（ k 为常数， 0na ）的前 n 项和用裂项相消法；
（4）分组（并项）求和法：数列{ }n npa qb 用分组求和法，如果数列中的项出现正负相
间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足 m n ma a A （ A为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
6．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ．若 2 3a ， 5 10S ，则 5a __________， nS 的
最小值为__________．
【试题来源】重庆市 2021 届高三上学期第二次月考
【答案】0 10
【分析】设等差数列 na 的首项为 1a ，公差为 d ，根据 2 3a ， 5 10S ，利用“ 1,a d ”
求解．
【解析】设等差数列 na 的首项为 1a ，公差为 d ，
因为 2 3a ， 5 10S ，所以 1
1
3,
5 10 10,
a d
a d
解得 1 4,
1,
a
d
所以 5 1 4 4 4 1 0a a d ，
22( 1) 9 1 9 814 2 2 2 2 2 8n
n n n nS n n
．
因为 *n N ，所以当 4n 或 5n 时， nS 取得最小值，最小值为 10 ．
7．已知数列{ }na ，{ }nb 满足： 1 1a ， 1n na a n ， 2 1n nb a ，则数列 nb _________；
记 nS 为数列{ }na 的前 n 项和， 31 24S S _________．
【试题来源】浙江省宁波市镇海中学 2020-2021 学年高三上学期 11 月期中
【答案】 n 97
【解析】依题： 2 1 2
2 2 1
2 1
2
n n
n n
a a n
a a n
，两式相减即得 2 1 2 1 1n na a ，即 1 1n nb b ，所
以 nb 为以 1 为公差的等差数列．又 1 1 1b a ，所以 1+ 1 1nb n n ，
因为 24 1 2 3 4 23 24
12(1 23) 1442S a a a a a a ，
31 1 2 3 4 5 30 31
15(2 30)1 2412S a a a a a a a ，
所以 31 24 97S S ．故答案为 n ；97．
8．九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．长期以来，这个益智游戏
是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子．中国的末代皇帝溥仪
(1906–1967)也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环(如图)．现假设有 n 个圆环，
用 na 表示按某种规则解下 n 个圆环所需的最小移动次数．已知数列 na 满足下列条件：
1 1a ， 2 2a ， 1
2 2n
n na a
3,n n N ，记 na 的前项和为 nS ，则：（1）
9a __________；（2） 100S __________．
【试题来源】湖南省湖湘名校教育联合体 2021 届高三入学考试
【答案】 341
1022 154
3
．
【分析】分 n 为偶数和 n 为奇数两种情况，由题中条件，利用叠加法，由等比数列的求和公
式，求出数列的通项，即可求出 9a ；再由分组求和的方法，即可求出 100S ．
【解析】（1）当 n 为偶数时，
1 1 3 1 3 5 1 3 5 3
2 4 6 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n n n n n n n
n n n na a a a a
1 3 5 3 1
2
2 1 2 12 2 2 2 2 2 21 2 3
n
n n n n
；当 n 为奇数时，
1 1 3 1 3 5 1 3 5 2
2 4 6 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n n n n n n n
n n n na a a a a
1
1 3 5 2 1
2
1 2 12 2 2 2 1 2 11 2 3
n
n n n n
，所以 9 1
9
1 2 1 3413a ；
（2） 100 1 3 99 2 4 100S a a a a a a
2 4 100 3 5 1011 12 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 23 3
102
2 3 4 5 100 1011 1 2 1542 2 2 2 2 2 1503 3 3
．
故答案为 341；
1022 154
3
．
【名师点睛】求解本题的关键在于根据题中条件，讨论 n 为奇数和 n 为偶数两种情况，利用
叠加法（累加法）求出数列的通项即可；在求数列的和时，可利用分组求和的方法求解．
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