专题 25 解三角形（解答题）
1．在 ABC 中，a ，b ，c 分别为内角 A， B ，C 所对的边，已知 cosa A R ，其中 R
为 ABC 外接圆的半径．
（1）求 A；
（2）若 1b a ， tan 2 2B ，求 ABC 的面积．
【试题来源】浙江省宁波市 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】（1）
4A ；（2） 4 2 ．
【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化表示 2 sina R A ，代入条件求解；（2）因为
sin
sin
B b
A a
，根据条件求 ,a b ，再求 sin sinC A B ，最后求三角形的面积．
【解析】（1）由正弦定理得 2 sin cosR A A R 有sin 2 1A ，
又 2 0,2A ，故 2 2A ，
4A ．
（2）由题得 2 2sin 3B ，故 sin 4
sin 3
b B
a A
，
又 1b a ，则 4b ， 3a ． 2 2 2 1 2 4 2sin sin 4 3 2 3 2 6C B
，
1 sin 4 22ABCS ab C △ ．
【名师点睛】本题关键的变形是利用正弦定理边角互化，用到的公式包含 2 sina R A ，
2 sinb R B ， 2 sinc R C ，以及sin :sin :sin : :B A C b a c ．
2．在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 sin cos 6b A a B
．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 1b ， 2c ，求 ABC 的面积
【试题来源】安徽省淮北市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】（1）
6
；（2） 3
2
．
【分析】（1）先根据两角和的余弦公式化简原式，然后根据正弦定理完成边化角，由此求解
出 tan B 的值，从而 B 的值可求；（2）利用余弦定理先求解出 a 的值，然后根据面积公式
1 sin2ABCS ac B△ 求解出 ABC 的面积．
【解析】（1）因为 sin cos 6b A a B
，所以 3 1sin cos sin2 2b A a B a B ，
所以 3 1sin sin sin cos sin sin2 2B A A B A B ，所以 3 3sin sin sin cos2 2B A A B ，
因为 0,A ，所以sin 0A ，所以 3sin cos cos 03B B B ，
所以 3tan 3B ，因为 0,B ，所以
6B ；
（2）因为 2 2 2 2 cosb a c ac B ，所以 2 2 3 3 0a a ，
所以 2
3 0a ，所以 3a ，所以 1 1 3sin 3 2 sin2 2 6 2ABCS ac B
．
【名师点睛】（1）利用正弦定理进行边角转化时，要注意选择化边还是化角，从而达到简化
计算的目的；（2）利用正弦定理进行边角互化时，等式两边同时约去某个三角函数值时，注
意说明其不为 0 ．
3．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2 sin (2 )sin ( 2 )sina A b c B b c C ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 2 3a ，求 ABC 面积的最大值．
【试题来源】天津市 2020-2021 学年高三上学期第四次月考
【答案】（1） 2
3
；（2） 3
【分析】（1）由正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角 A ；（2）利用余弦定理和基本
不等式得出bc 的最大值，代入三角形的面积公式求出面积最大值．
【解析】（1）因为 2 sin (2 )sin ( 2 )sina A b c B b c C
由正弦定理可得 22 (2 ) ( 2 )a b c b b c c ，即 2 2 2a b c bc ，
又 2 2 2 2 cosa b c bc A ，所以 1cos 2A ，因为 0,A ，所以 2
3A
（2）因为 2 2 2a b c bc ， 2 3a ，所以 2 2 12b c bc ，
又 2 2 2b c bc ，所以12 2bc bc ，即 4bc ，当且仅当b c 时取等号；
所以 1 1 3sin 32 2 2ABCS bc A bc
，故三角形 ABC 面积的最大值 3
【名师点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实
现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间
的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数
思想求最值．
4．在
△
ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且满足 ( 2 )cos cosb a C c A
（1）求角 C 的大小；
（2）若 a= 4 2 ，b= 2 c，求
△
ABC 的面积
【试题来源】贵州省 2021 届高考适应性月考卷（三）（文）
【答案】（1） π
4C ；（2）16．
【分析】（1）利用正弦定理把 ( 2 )cos cosb a C c A 中边统一成角，然后利用三角函数公
式化简可求出角 C 的值；（2）利用余弦定理求出 c 的值，再利用面积公式可求得结果
【解析】（1）因为 ( 2 )cos cosb a C c A ，所以 ( 2 sin sin ) cos sin cosB A C C A ，
所以 2 sin cos sin( ) sinB C A C B ，
因为 0 πB ，所以sin 0B ，所以 2cos 2C ， π
4C ．
（2）由余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C ，所以 2 2 2 2(4 2) ( 2 ) 2 4 2 2 2c c c ，
所以 2 8 2 32 0c c ，所以 4 2c ，所以 2 8b c ，
所以 1 1 2sin 4 2 8 162 2 2ABCS ab C △ ．
5．在 ABC 中，内角 A、 B 、C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且 2 sin tana B b A ．
（1）求 A的值；
（2）若 13a ， 4
5
bc
b c
，求 ABC 的周长．
【试题来源】辽宁省辽西联合校 2020-2021 学年高三（上）期中
【答案】（1）
3
；（2）5 13 ．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得 1cos 2A ，结合范围 0,A ，可求 A的值．
（2）由已知可得 4
5bc b c ，又由余弦定理可得 2 2 13b c bc ，联立解得 b c 的值，
即可得解三角形的周长．
【解析】（1）由题意可得 sin2 sin cos
b Aa B A
，可得 sincos 2 sin
b AA a B
，
由正弦定理可得 1cos 2 2
abA ab
，因为 0,A ，可得
3A ．
（2）由 4
5
bc
b c
，可得 4
5bc b c ，
又由余弦定理可得 2 2 13b c bc ，可得 2 3 13b c bc ，
可得 2 12( ) ( ) 135b c b c ，解得 5b c ，或 13
5b c （舍去），
故 ABC 的周长为 5 13 ．
6． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos cos 2 cosa C c A b B ．
（1）求 B；
（2）若 2 3b ， ABC 的面积为 5 3 ，求 ABC 的周长．
【试题来源】宁夏六盘山市高级中学 2021 届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）
3B ；（2） 6 2 2 3
【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出 1cos 2B ，进而求出 B ；
（2）根据余弦定理可得到 2 3 12a b ab ，再根据三角形面积公式得到 20ab ，即
可求出 6 2a b ，进而求出 ABC 的周长．
【解析】（1）由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cosA C C A B B ，
整理得 sin 2sin cos sinA C B B B ，
因为在 ABC 中， 0 B ，所以sin 0B ，即 2cos 1B ，
所以 1cos 2B ，即
3B ；
（2）由余弦定理得 2 2 2 12 3 2 2a c ac ，所以 2 3 12a b ab ，
因为 1 3sin 5 32 4S ac B ac ，所以 20ab ，所以 2 60 12a b ，
所以 6 2a b ，所以 ABC 的周长为 6 2 2 3 ．
7．已知向量 1(sin , )2m A 与 (3,sin 3cos )n A A
r
共线，其中 A 是 ABC 的内角．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 BC=2，求 ABC 面积 S 的最大值．
【试题来源】贵州省黔西南州兴义市第二高级中学 2021 届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）
3
；（2） 3 ．
【 分 析 】 根 据 向 量 1(sin , )2m A 与 (3,sin 3cos )n A A
r
共 线 ， 得 到
3sin sin 3cos 2A A A ，再利用二倍角公式和辅助角公式化简得到sin 2 16A
求解．
（2）结合（1）和 BC=2，利用余弦定理得到 2 2 24 b c bc ，再利用基本不等式得到 4bc ，
由 1 sin2ABCS bc A 求解．
【解析】（1）因为向量 1(sin , )2m A 与 (3,sin 3cos )n A A
r
共线，
所以 3sin sin 3cos 2A A A ，所以 2 3sin 3sin cos 2A A A ，
所以 3 1sin 2 cos2 12 2A A ，即sin 2 16A
，所以 2 26 2A k ，
因为 0, 2A
，所以
3A ．
（2）由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A ，
即 2 2 24 b c bc ，由基本不等式得 2 2 24 b c bc bc ，
即 4bc ，当且仅当b c 时，取等号，
所以 ABC 的面积 1 1 3sin 4 32 2 2ABCS bc A △ ，
所以 ABC 的面积的最大值是 3 ．
【名师点睛】三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：（1）以三角
函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；（2）
根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．
8 ． 在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 3a ， 2b ，
5 21sin sin 14A B ．
（1）求sin B 的值；
（2）若 ABC 为锐角三角形，求 ABC 的面积．
【试题来源】重庆市渝西中学 2020 届高三下学期第四次月考（理）
【答案】（1） 21
7
；（2） 3 3
2
．
【分析】（1）根据正弦定理，由题中条件，求出 ABC 外接圆的半径，进而可求出sin B ；
（2）先由（1）求出 cos B ，根据余弦定理，求出 c 的值，并检验，再由三角形面积公式，
即可得出结果．
【解析】（1）根据正弦定理，由 5 21sin sin 14A B 可化为 5 21
2 2 14
a b
R R
（其中 R 为
ABC 外接圆半径），因为 3a ， 2b ，所以 2 212 3R ，
则
2 21sin 2 72 21
3
bB R
；
（2）因为 ABC 为锐角三角形，所
2
21 2 7cos 1 7 7B
，
由余弦定理可得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，即 27 12 5 7 0c c ，
解得 7c 或 5
7
c ，当 5
7
c 时， 2 2 2a b c ，此时 A为钝角，舍去．
所以 7c ，则 1 1 21 3 3sin 3 72 2 7 2S ac B ．
9．已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2A C ．
（1）若 A 为钝角，求 a
c
的取值范围；
（2）若 1b ， 3c ，求 ABC 的面积．
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期月考（六）
【答案】（1） (1, 2) ；（2） 2 ．
【分析】（1）由正弦定理化简结合题意可得 2cosa Cc
，结合C 的范围可得结果；
（2）由余弦定理可得 3cos 3C ， 2 3a ，进而可得三角形的面积．
【解析】（1）由正弦定理可得， sin sin 2 2cossin sin
a A C Cc C C
，
因为 2A C ， A B C ，所以 3B C ，
因为 A 为钝角，所以 0 2B ， 0 2C ， 2 2A C ，
所以
4 3C ，所以 1 2cos2 2C ，所以 a
c
的取值范围是 (1, 2) ；
（2）由（1）可知， 2cosa Cc
，所以 2 cos 6cosa c C C ，
由余弦定理可知， 2 2 2 2 cosc a b ab C ，即 2 29 36cos 1 12cosC C ，
因为 2A C ，所以 C 为锐角，解得 3cos 3C ，
所以 6sin 3C ， 6cos 2 3a C ，从而 ABC 的面积为 1 sin 22S ab C ．
10．在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 2 sin 3 sinc B a C ， 1cos 3C ．
（1）求证： ABC 为等腰三角形；
（2）若 ABC 面积为 2 2 ，D 为 AB 中点，求线段 CD 的长．
【试题来源】安徽省淮北市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】（1）见详解；（2） 17
2
．
【分析】（1）根据正弦定理，先由题意，得到 3
2b a ，再根据 1cos 3C ，由余弦定理，
得到 3
2c a b ，即可证明结论成立；（2）先求出sinC ，根据三角形面积求出 , ,a b c ，再
根据 D 为 AB 中点，利用余弦定理列出方程，即可求出结果．
【解析】（1）由 2 sin 3 sinc B a C ，根据正弦定理可得 2 3cb ac ，所以 2 3b a ，则 3
2b a ，
又 1cos 3C ，根据余弦定理可得
2 2 2 2 2
2 2 2
2
9 13
1 4 4cos 33 2 32 2
a a c a ca b cC ab aa a
，
则 2 2 213
4a a c ，所以 3
2c a b ，因此 ABC 为等腰三角形；
（2）因为角C 是三角形内角，所以sin 0C ，则 2 2 2sin 1 cos 3C C ，
因为 ABC 面积为 2 2 ，所以 1 1 3 2 22 2 sin2 2 2 3ab C a a ，
解得 2a ，所以 3 b c ，又 D 为 AB 中点，所以 cos cosADC BDC ，
则
2 2
2 2 2 23 33 22 2
3 32 22 2
CD CD
CD CD
，整理得 2 17
4CD ，所以 17
2CD ．
11．已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin sina A B C c B C ．
（1）求角 C 的大小
（2）若 2 8a b ，且 ABC 的面积为 2 3 ，求 ABC 的周长．
【试题来源】江西省五市九校协作体 2021 届高三第一次联考
【答案】（1）
3C ；（2） 6 2 3 ．
【分析】（1）根据 sin( ) sin( )a A B C c B C ，利用正弦定理和内角和以及诱导公式得
到 2sin sin cos sin sinA C C C A 求解．（2）由 ABC 的面积为 2 3 ，得到 8ab ，再
与 2 8a b 求得 a，b，然后利用余弦定理求解．
【解析】（1） sin( ) sin( )a A B C c B C ， sin sin( 2 ) sin sinA C C A ，
2sin sin cos sin sinA C C C A ， sin sin 0A C ，
1cos ,02C C ，
3C ．
（2）由题意可得， 1 3 2 32 2ab ， 8ab ，
2 8a b 联立可得， 2, 4a b ，
由余弦定理可得， 2 12, 2 3c c ，此时周长为 6 2 3 ．
12．在 ABC 中，内角 A， B ，C 所对的边分别是 a ，b ， c ，已知 2 2 2b c a bc ．
（1）求角 A的大小；
（2）若 2a ，求 2b c 的取值范围．
【试题来源】浙江省台州市 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】（1）
3A ；（2） 2,4 ．
【分析】（1）由余弦定理先求 cos A，从而可得角 A；（2）用正弦定理将 2b c 化角，再用
两角和的正弦公式化简转化，即可求得 2b c 的取值范围．
【解析】（1）
2 2 2 1cos 2 2 2
b c a bcA bc bc
， 0,A 3A
（2）
3A ， 2a ，由正弦定理， 4
sin sin sin 3
b c a
B C A
，
4 sin
3
b B ， 4 sin
3
c C ，
4 42 2sin sin 2sin sin
3 3
b c B C A C C ，
4 2sin cos 2cos sin sin 4cos
3
A C A C C C ；
又 2
3B C ，故 20 3C ， 1 cos 12 C ， 2 2,4b c ．
13 ． 在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 是 a ， b ， c ． 已 知
3 cos cos cos sina B b A C c C ．
（1）求角 C 的大小；
（2）求 2 2cos cosA B 的取值范围．
【试题来源】浙江省湖州市 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】（1）
3
；（2） 1 5,2 4
【分析】（1）利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式即可求解．（2）由（1）知
3C ，
所以 2
3A B ，将 2
3B A 代入 2 2cos cosA B 利用二倍角公式以及三角函数的性质
即可求解．
【解析】（1）在 ABC 中，由正弦定理可得 23 sin cos sin cos cos sinA B B A C C ，
即 23sin cos sinA B C C ，
因为 sin sin sinA B C C ，所以 23sin cos sinC C C ，
因为sin 0C ，所以 3 cos sinC C ，可得 sintan 3cos
CC C
，
因为 0 C ，所以
3C ，
（2）由（1）知
3C ，所以 2
3A B ，
2 2 2 2
41 cos 22 1 cos2 3cos cos cos cos 3 2 2
AAA B A A
cos 2 cos cos2 sin sin 2cos2 cos23 3 31 12 2 2 2
A A AA A
1 3 1 1 3 11 cos2 sin 2 1 cos2 sin 2 1 cos 24 4 2 2 2 2 3A A A A A
，
因为 20 3A ，所以 523 3 3A ，
所以 11 cos 2 3 2A
， 1 1 51 cos 22 2 3 4A
，
所以 2 2cos cosA B 的取值范围是 1 5,2 4
．
【名师点睛】本题解题的关键点是利用正弦定理化边为角求出角C ，利用三角形内角和为 ，
可得 ,A B 之间的关系，将所求代数式用一个角表示，根据角的范围可求代数式的范围．
14．在 ABC 中，角 A， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ， sin sin
sin sin
A C b
B C a c
．
（1）求角 A的大小；
（2）若 ABC 为锐角三角形，且 2a ，求 ABC 周长的取值范围．
【试题来源】浙江省百校 2020-2021 学年高三上学期 12 月联考
【答案】（1）
3A ；（2） 2 2 3,6 ．
【分析】（1）根据 sin sin
sin sin
A C b
B C a c
，利用正弦定理化简得到 2 2 2b c a bc ，然后
再利用余 弦定理求解．（2 ）结合 2a ，
3A ，在 ABC 中利用正 弦定理得到
4 3 4 3 2sin sin3 3 3b c B B
4sin 6B
，再根据 ABC 为锐角三角形，
求得 B 的范围，利用三角函数的性质求解．
【解析】（1）因为 sin sin
sin sin
A C b
B C a c
， 所以 a c b
b c a c
，即 2 2 2b c a bc ．
由余弦定理可得
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
，因为 0,A ，所以
3A ．
（2）在 ABC 中由正弦定理得 sin sinsin 3
a b c
B C ，又 2a ，
所以 4 3 sin3b B ， 4 3 4 3 2sin sin3 3 3c C B
，
所以 4 3 4 3 2sin sin3 3 3b c B B
4 3 3 3sin cos3 2 2B B
4sin 6B
，
因为 ABC 为锐角三角形，所以
0 2
20 3 2
B
B
，且 3B b c ，
所以
6 2B 且
3B ，所以 2
3 6 3B 且
6 2B ，
所以 3 sin 12 6B
，所以 2 3,4b c ，
所以 ABC 周长 a b c 的取值范围是 2 2 3,6 ．
【名师点睛】第二问在确定角 B 的范围时，容易忽视sin sin 0B C ，结合
3A 即
3B
的条件．
15．在锐角 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别是 a，b，c， 2 2 2 2 sin 6b c a bc A
．
（1）求角 A 的大小；
（2）求sin cosB C 的取值范围．
【试题来源】浙江省钱江校区 2020-2021 学年高三上学期 12 月月考
【答案】（1）
6
；（2） 10, 2
．
【分析】（1）由已知得 cos sin( )6A A ，利用同角三角函数基本关系式可求 3tan 3A ，
结 合 A 的 范 围 可 求 A 的 值 ．（ 2 ） 利 用 三 角 函 数 恒 等 变 换 的 应 用 可 求
1 1sin cos sin(2 )2 6 4B C C ，由题意可求范围 5 72 ( , )6 6 6C ，进而利用正弦函数的
性质即可求解其取值范围．
【解析】（1）因为 2 2 2 2 sin 6b c a bc A
，结合余弦定理，可得
cos sin 6A A
，所以 3 1cos sin cos2 2A A A ，所以 3tan 3A
因为 0 A ，所以
6A
（2）因为 A B C ，
6A ，所以 5
6B C ，所以 5
6B C ，
所以 5sin cos sin cos6B C C C
3 1sin cos cos2 2C C C
23 1sin cos cos2 2C C C 3 1 cos2 1sin 24 2 2
CC
3 1 1sin 2 cos24 4 4C C 1 1sin 22 6 4C
，
因为 ABC 是锐角三角形，所以
50 6 2
0 2
C
C
，解得
3 2C ，
所以 ,3 2C
，所以 5 72 ,6 6 6C
，所以 1 1sin 2 ,6 2 2C
，
所以 1 1 1sin 2 0,2 6 4 2C
，综上，sin cosB C 的取值范围是 10, 2
.
【名师点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实
现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间
的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数
思想求最值．
16．在 ABC 中，点 M 在边 AC 上， 3CM MA ， 3tan 5ABM ， 3tan 2BMC ．
（1）求角 A的大小；
（2）若 21BM ，求 ABC 的面积．
【试题来源】四川省成都市 2020-2021 学年高三上学期第一次诊断性检测（文）
【答案】（1） 2π
3A ；（2） 6 3 ．
【 分 析 】（ 1 ） 由 BMC 与 BMA 互 补 ， 已 知 角 正 切 值 可 得 tan BMA ， 又
πA ABM BMA ，结合两角和正切公式求 tan A ，即可知角 A的大小；
（2）由已知三角函数值求sin BMA ，sin ABM ，根据正弦定理求 AB ，应用三角形面
积公式求 ABM 的面积，由 3CM MA 即可求 ABC 的面积．
【解析】（1）因为 3tan 2BMC ，所以 3tan 2BMA ．
因为 tan tan π tanA ABM BMA ABM BMA ，
所以
3 3
tan tan 5 2tan 31 tan tan 3 31 5 2
ABM BMAA ABM BMA
．
因为 0 πA ，所以 2π
3A ．
（2）因为 3tan 2BMA ， 3tan 5ABM ，
所以 21sin 7BMA ， 21sin 14ABM ．
在 ABM 中，由正弦定理，得
sin sin
AB BM
BMA A
．
所以
2121sin 7 2 3sin 3
2
BM BMAAB A
．
所以 ABM 的面积 1 1 21 3 3sin 21 2 32 2 14 2ABMS BM AB ABM △ ．
因为点 M 在边 AC 上， 3CM MA ，所以 ABC 的面积 4 6 3ABC ABMS S △ △ ．
【名师点睛】（1）根据三角形内角和性质得 πA ABM BMA ，注意两角和正切公式
的应用．
（2）综合应用正余弦定理、三角形面积公式求面积．
17．在锐角 ABC 中，内角 A， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且直线 x A 为函数
23sin 2 2sinf x x x 图象的一条对称轴．
（1）求 A；
（2）若 4a ，求 ABC 面积的最大值．
【试题来源】江西省吉安市 2021 届高三大联考数学（文）（3－2）试题
【答案】（1）
3A ；（2） 4 3 ．
【分析】（1）根据降幂公式和辅助角公式，将函数 f x 的解析式进行化简、变形，然后再
求出对称轴，确定 A的值．（2）根据 A a， 的值，再结合余弦定理，找到b c， 的关系式，
再根据不等式确定bc 的最大值，然后可根据 1 sin2ABCS bc A 求出面积的最大值．
【解析】（1） 23sin 2 2sin 3sin 2 cos2 1 2sin 2 16
πx x x x xf x
，
所以直线 x A 为函数 f x 图象的一条对称轴，所以 2 6 2
π πA kπ ( k Z )，
即 1
3 2
πA kπ ( k Z )，又 0 2A ，所以当 0k 时，
3A ．
（2）因为
3A ， 4a ，
所以由余弦定理得， 2 2 2 216 2 cos 23
πb c bc b c bc bc bc bc ，即 16bc ，
当且仅当 b=c=4 时等号成立，所以 1 1 1 3sin sin 16 4 32 2 3 2 2ABC
πbc A bcS △ ，
故 ABC 面积的最大值为 4 3 ．
18．已知 ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 cos sina C c A b ．
（1）求 A ；
（2）若 2a ，且 D 为 BC 的中点，求 2AD 的最大值．
【试题来源】云南省 2021 届高三第五次复习检测（理）
【答案】（1）
4A ；（2） 3 2 2
2
．
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 cos sina C c A b ， 利 用 正 弦 定 理 结 合
sin sin( ) sin cos cos sinB A C A C + A C ，得到sin sin cos sinC A A C 求解．
（2）根据 D 为 BC 的中点，得到 2AD AB AC
uuur uuur uuur ，然后两边平分结合余弦定理得到
2 1 2
2 2AD bc ，再利用基本不等式求解．
【解析】（1）因为 cos sina C c A b ，
由正弦定理得sin cos sin sin sinA C C A B ， ①
因为 sin sin( ) sin cos cos sinB A C A C + A C ， ②
由①②得sin sin cos sinC A A C ，而 0 C ，所以sin cosA A ，
因为 0 A ，所以
4A ．
（2）因为 2AD AB AC
uuur uuur uuur ，所以 2 2 224 ( ) 2AD AB AC AB AC AB AC ，
所以 2 2 24 2AD b c bc ，由余弦定理得 2 22 2b c bc ，
所以 2 2 2 2b c bc ，所以 2 1 2
2 2AD bc ，
而 2 2 2b c bc （当且仅当b c 时，取“=”），
所以 2 22 2 (2 2)b c bc bc ，即 2
2 2
bc
，
所以 2 1 2 1 2 2 3 2 2
2 2 2 2 22 2
AD bc
（当且仅当b c 时，取“=”），
所以 2AD 的最大值为 3 2 2
2
．
19．在
△
ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 2 cosb c A acosC ．
（1）求角 A；
（2）若 13a ， 5b c ，求
△
ABC 的面积．
【试题来源】吉林省四平市公主岭市范家屯镇第一中学两校联考 2021 届高三上学期期末（文）
【答案】（1）A 3
；（2） 3 ．
【分析】（1）利用正弦定理完成边化角，再根据在三角形中有 sin sinB A C ，完成化
简并计算出 A 的值；（2）利用 A 的值以及余弦定理求解出 bc 的值，再由面积公式
1 sin2S bc A 即可求解出
△
ABC 的面积．
【解析】（1）在三角形 ABC 中， 2 cos acosb c A C ，
由正弦定理得 2sin cos sin cosB sinC A A C ，
化为 2sin cos sin cos sin cos sin sinB A C C A C A C B ，
三角形中sin 0B ，解得 cos A 1
2
， 0,A ，所以 A 3
．
（2）由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A ， a 13 ， 5b c ，
2 213 3 5 3b c cb bc ，化为 4bc ，
所以三角形 ABC 的面积 S 1
2
sinbc A 1
2
4 3 32
【名师点睛】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用，涉及三角函数恒等变换，
属基础题．熟练掌握利用正弦定理边化角，并结合三角函数两角和差公式化简，注意余弦定
理与三角形面积公式的综合运用．
20．在四边形 ABCD 中， //AB CD ， 1AD CD BD ．
（1）若 3
2AB ，求 BC ；
（2）若 2AB BC ，求 cos BDC ．
【试题来源】2021 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）
【答案】（1） 2
2BC ；（2） cos 3 1BDC ．
【分析】（1）利用余弦定理计算得出 cos ABD ，进而可得出 cos BDC ，然后在 BCD△
中，利用余弦定理可计算出 BC ；（2）设 BC x ，利用余弦定理结合 BDC ABD 可
得出关于 x 的方程，进而可解得 x 的值，即可求得 cos BDC ．
【解析】（1）在 ABD△ 中，由余弦定理可得
2 2 2 3cos 2 4
AB BD ADABD AB BD
，
//CD AB ， BDC ABD ，
在 BCD△ 中，由余弦定理可得 2 2 2 12 cos 2BC BD CD BD CD BDC ， 2
2BC ；
（2）设 BC x ，则 2AB x ，
在 ABD△ 中，
2 2 2 24cos 2 4
AB BD AD xABD xAB BD x
，
在 BCD△ 中，
2 2 2 22cos 2 2
BD CD BC xBDC BD CD
，
由（1）可知， BDC ABD ，所以， cos cosBDC ABD ，即
22
2
x x ，
整理可得 2 2 2 0x x ，因为 0x ，解得 3 1x ，
因此， cos cos 3 1BDC ABD x ．
21．在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 1cos 2b A a c ．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 AC 边上的中线 BM 的长为 3 ，求 ABC 面积的最大值．
【试题来源】吉林省 2021 届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）
3B ；（2） 3 ．
【分析】（1）根据题意及正弦定理边角互化和 sin sin( )C A B 化简得 1cos 2B ，即可
得出答案；（2）由 BM 是 AC 边上的中线得 2BM BA BC 两边平方得 2 212 +c a ca ，结
合均值不等式得 4ac ，代入面积公式 1 sin2S ac B 化简即可．
【解析】（1）由正弦定理及 1cos 2b A a c 可得 1sin cos sin sin2B A A C ，
又sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B ，
所以 1sin cos sin sin cos cos sin2B A A A B A B ，所以 1 sin sin cos2 A A B ，
因为sin 0A ，所以 1cos 2B ，因为 0 B ，所以
3B
（2）因为 BM 是 AC 边上的中线，
所以 2BM BA BC ，两边平方得 2 2 2
2 +2BM BA BC BA BC
即 2 2 2 212 +2 cos + 3c a ca B c a ca ac
所以 4ac 当且仅当 2a c 时取得最大值，此时 1 1 3sin 4 32 2 2S ac B ．
【名师点睛】三角形常用面积公式：
（1） 1
2 aS ah ( ah 表示边 ah 上的高)；
（2） 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C ac B bc A ；
（3） 1 ( )2S r a b c ( r 为三角形内切圆半径)．
22 ． 已 知 a ， b ， c 分 别 为 ABC 内 角 A ， B ， C 的 对 边 ， 且 满 足
2 2 2 5 ,sin 2 sin8b c a bc C B ．
（1）求 cos A；
（2）若 ABC 的周长为 6 15 ，求 ABC 的面积．
【试题来源】安徽省阜阳市 2020-2021 学年高三上学期教学质量统测（文）
【答案】（1） 5
16
；（2） 231
4
．
【分析】（1）由余弦定理可求得 cos A；（2）根据正弦定理可得 2c b ，再由已知和余弦定
理可求得 2b ，根据三角形的面积可求得答案．
【解析】（1）因为 2 2 2 5
8b c a bc ，所以
2 2 2 5cos 2 16
b c aA bc
；
（2）因为 sin 2sinC B ，所以 2c b ．
由余弦定理得 2 2 2 2152 cos 4a b c bc A b ，则 15
2a b ，
因为 ABC 的周长为 6 15 ，所以 153 6 152b b ，解得 2b ，
所以 ABC 的面积为
21 5 2312 12 16 4b b
．
23．已知 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， 2 2 2 0a b c ab ，
sin( ) sin 2cos cosA B C A B ．
（1）求 A，B，C；
（2）若 2a ，求 ABC 的面积．
【试题来源】山西省太原市 2021 届高三上学期期末（理）
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）由余弦定理求得 1cos 2C ，再由角的范围可得 60C ，根据正弦和差角公
式可化简求得 (sin cos )cos 0A A B ，分 cos 0B ，sin cos 0A A 分别求得三角形
的内角；（2）由（1）得当 90B ， 30A 时，和 45A ， 75B 时，分别求得三角
形的面积．
【解析】（1）因为 2 2 2 0a b c ab ，所以 2 2 2a b c ab ，
由余弦定理得
2 2 2 1cos 2 2 2
a b c abC ab ab
，因为 0 180C ，所以 60C ，
因为sin( ) sin sin cos cos sin sin( )A B C A B A B A B
sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cosA B A B A B A B A B ，
所以 2sin cos 2cos cosA B A B ，所以 (sin cos )cos 0A A B ，
①当 cos 0B 时， 90B ， 30A ；
②当sin cos 0A A 时， 45A ， 75B ；
（2）由（1）得当 90B ， 30A 时，
因为 2a ，所以 2 3c ，所以 1 sin 2 32ABCS ac B △ ；
当 45A ， 75B 时，由正弦定理得 2
sin 45 sin 75
b
，所以 2sin 75 3 1sin 45b
，
所以 1 3 3sin2 2ABCS ab C △ ．
24 ． 已 知 在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
sin sin 2 sina b A c C a b B ．
（1）求角 C 的大小；
（2）若 2c ，求 ABC 面积的最大值．
【试题来源】安徽省宣城市 2020-2021 学年高三上学期期末（文）
【答案】（1）
3
；（2） 3 ．
【分析】（1）由题设条件和正弦定理，化简得 2 2 2a b c ab ，再结合余弦定理，求得
1cos 2C ，即可求解；（2）由（1）及 2c ，可得 2 2 4a b ab ，结合基本不等式求
得 4ab ，利用面积公式，即可求得面积的最大值．
【解析】（1）因为 sin sin 2 sina b A c C a b B ，
由正弦定理，可得 2 2a b a c a b b ，整理得 2 2 2a b c ab ，
又由余弦定理，可得
2 2 2 1cos 2 2 2
a b c abC ab ab
，
因为 0,C ，所以
3C ．
（2）由（1）知 2 2 2a b c ab ，由 2c ，可得 2 2 4a b ab ．
因为 2 2 2a b ab ，当且仅当 a b 时等号成立，所以 4ab ，
所以 1 1sin 4 sin 32 2 3ABCS ab C △ ，即 ABC 面积的最大值 3 ．
【名师点睛】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角
转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内
角和定理，三角形面积公式在解题中的应用．
25 ． 在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 是 a ， b ， c ， 且 2 2c ，
sin sin 2cosA B Ca b
．
（1）求sinC 的值；
（2）若 ABC 的面积为 2 ，求 a b的值．
【试题来源】安徽省池州市 2020-2021 学年高三上学期期末（文）
【答案】（1） 2 2sin 3C ；（2）4．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角得到 tan 2 2C ，再计算sinC 即可．
（2）结合三角形面积公式和余弦定理，求出 ,a b 的两个关系式，整体代换求 a b即可．
【解析】（1）由 sin sin 2cosA B Ca b
，结合正弦定理得 2sin 2cosC Cc
，
因为 2 2c ，代入整理即得 tan 2 2C ，
故 sin
co 2s 2C
C
， 2 2sin cos 1C C ．解得 2 2sin 3C ．
（2）由 1 1 2 2sin 22 2 3S ab C ab ，得 3ab ．
由 2 2sin 3C ，由题设得 1cos 3C ，
由余弦定理知
2 2 2 2 2 8 1cos 2 6 3
a b c a bC ab
，即 2 2 10a b ，
即 2( ) 2 10a b ab ，所以 4a b ．
【名师点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实
现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间
的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数
思想求最值．
26 ． ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 为 a ， b ， c ， 且
2 23(sin sin ) 3sin ( ) 8sin sinB C B C B C ．
（1）求 cos A的值；
（2）若 ABC 的面积为 4 2 ，求 a b c 的最小值．
【试题来源】安徽省淮南市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟（理）
【答案】（1） 1
3
；（2） 4 4 3 ．
【分析】（1）根据题中条件，由正弦定理将原式化为 2 2 8( ) 3b c a bc ，整理后结合余弦
定理，即可得出结果；（2）由（1）先求出 sin A ，根据三角形面积，得到 12bc ，根据
2 2 2 2
3b c a bc ，利用基本不等式，即可求出最值．
【解析】（1）由 2 23(sin sin ) 3sin ( ) 8sin sinB C B C B C ，
因为 A B C ，所以 2 2 8(sin sin ) sin sin sin3B C A B C ，
由正弦定理可得 2 2 8( ) 3b c a bc ，则 2 2 2 2
3b c a bc ，
由余弦定理可得
2 2 2 1cos 2 3
b c aA bc
；
（2）由 1cos 3A ，得 2 2sin 3A ，因为 1 sin 4 22ABCS bc A ，所以 12bc ，
由 2 2 2 2
3b c a bc 得 2 2 2 2 2 42 163 3 3a b c bc bc bc bc ，
所以 4a ，当且仅当 2 3b c 时，等号成立．
又 2 4 3b c bc ，当且仅当 2 3b c 时，等号成立．
所以 4 4 3a b c ，当且仅当 2 3b c 时，等号成立．
即 a b c 的最小值为 4 4 3 ．
【名师点睛】求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、
余弦定理与三角形面积公式，建立 a b， ab ， 2 2a b 之间的等量关系与不等关系，然后
利用函数或基本不等式求解．
27．
△
ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b+c=2a，3csinB=4asinC．
（1）求 cosB；
（2）求sin(2 )6B 的值．
【试题来源】江苏省盐城市滨海中学 2020-2021 学年高三上学期迎八省联考考前热身
【答案】（1） 1
4
；（2） 3 5 7
16
．
【分析】（1）由正弦定理化角为边，再结合 2b c a ，把 ,b c 用 a 表示，然后由余弦定理
得 cos B ．（2）由同角关系求出sin B ，利用二倍角公式求得sin 2 ,cos 2B B ，再由两角和的
正弦公式求得结论．
【解析】（1）因为 3csinB=4asinC，由正弦定理得3 4cb ac ，所以 4
3b a ，
又 2b c a ，所以 2
3c a ，所以
2 2 2
2 2 2
4 16
19 9cos 22 42 3
a a aa c bB ac a a
．
（2）因为 (0, )B ，所以
21 15sin 1 4 4B
，
15sin 2 2sin cos 8B B B ， 2 7cos2 1 2sin 8B B ，
所以 15 3 7 1 3 5 7sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin6 6 6 8 2 8 2 16B B B
．
28．已知函数 2cos 3 cos sin2 2 2
x x xf x
．
（1）求 f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）在 ABC 中， 1AB ， ( ) 3 1 f C ，且 ABC 的面积为 3
2
，求 sin sinA B 的
值．
【试题来源】宁夏固原市第五中学 2021 届高三年级期末考试（理）
【答案】（1） 2T ，单调递增区间为 5 112 ,2 ,6 6k k k z
；（2）1 3
2
．
【分析】（1）化简解析式即可得 2cos 36f x x
，求出最小正周期，利用整体
法求出单调增区间；（2）由 ( ) 3 1 f C ，求出
6C ，再利用面积公式以及余弦定理代
入求解出 ,a b ，利用正弦定理求出sin sinA B ．
【解析】（1） 22 3 cos 2sin cos 3 cos sin 3 2cos 32 2 2 6
x x xf x x x x
，
2T ， 由 2 2 2 ,6
k x k k z ， 得 单 调 递 增 区 间 为
5 112 ,2 ,6 6k k k z
（2）由 ( ) 3 1 f C ，所以 2cos 3 3 16
C ，所以 1cos 6 2
C ，
因为 0,C ，所以 7,6 6 6
C ，所以
6 3C ，即
6C ．
由 ABC 的面积为 3
2
，所以 3 1 sin2 2 6
ab ，所以 2 3ab ．
由余弦定理可得 2 21 2 cos 2
a b ab ，可得 2 2 7a b ，
联立解得 2, 3a b ；或 2, 3 b a ．所以 2 3 a b ．
所以 sin sin sin 1
2
A B C
a b c
．所以 1 3sin sin 12 2
A B a b ．
【名师点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化
为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到
sinf x A x 的形式．
29．在 ABC 中，
3B ， 7b ，______，求 BC 边上的高．在① 21sin 7A ；②
sin 3sinA C ；③ 2a c 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果
选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】山东省济南市商河县第二中学 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】答案见解析
【解析】选择①，在 ABC 中，由正弦定理得
sin sin
a b
A B
，即
7
21 3
7 2
a ，
解得 2a ，由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，即 2 2 17 2 2 2 2c c ，
化简得 2 2 3 0c c ，解得 3c 或 1c （舍去）；
所以 BC 边上的高为 3 3 3sin 3 2 2h c B ．
选择②，在 ABC 中，由正弦定理得
sin sin
a c
A C
，
因为 sin 3sinA C ，所以
3sin sin
a c
C C
，即 3a c ；
由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，即 2 2 17 (3 ) 2 3 2c c c c ，
化简得 27 7c ，解得 1c 或 1c （舍去）；
所以 BC 边上的高为 3 3sin 1 2 2h c B ．
选择③，在 ABC 中，由 2a c ，得 2a c ；
由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，即 2 2 17 ( 2) 2 ( 2) 2c c c c
化简得 2 2 3 0c + c ，解得 1c 或 3c （舍去）；
所以 BC 边上的高为 3 3sin 1 2 2h c B ．
【名师点睛】本题解题的关键在于应用正余弦定理的方程思想计算出边 c ，进而根据 BC 边
上的高为 sinh c B 求解，考查运算求解能力，是基础题．
30．从条件① 2 2 cosb a c A ，② tan cos cosc C a B b A ，③ 4cos 5c B a b 中任
选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．
在 ABC 中，内角 A， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 1a ， 3b ，________，
求 ABC 的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．
【试题来源】广东省高州市 2021 届高三上学期第一次模拟
【答案】答案见解析．
【分析】若选①，利用余弦定理可得 2 2 2a b c ab ，求出角后可计算三角形的面积．
若选②，利用正弦定理可得 tan 1C ，求出角后可计算三角形的面积．
若选③，利用正弦定理可得 4cos 5C ，求出角的正弦后可计算三角形的面积．
【解析】选择①，因为 2 2 cosb a c A ，
所以由余弦定理得
2 2 2 2 2 2
2 2 2
b c a b c ab a c bc b
，所以 2 2 2a b c ab ，
所以由余弦定理得
2 2 2 1cos 2 2 2
a b c abC ab ab
，而C 为三角形内角，
所以 3sin 2C ，所以 ABC 的面积为 1 1 3 3sin 1 32 2 2 4ab C ．
选择②，因为 tan cos cosc C a B b A ，
所以由正弦定理得sin tan sin cos sin cosC C A B B A ，
所以sin tan sin cos sin cos sin( ) sinC C A B B A A B C ．
又 0 C ，所以sin 0C ，
所以 tan 1C ，而C 为三角形内角，所以 π
4C ，所以 2sin 2C ，
所以 ABC 的面积为 1 1 2 6sin 1 32 2 2 4ab C ．
选择③，因为 4cos 5c B a b ，所以由正弦定理得 4sin cos sin sin5C B A B ，
即5sin cos 5sin( ) 5sin cos (5sin cos 5cos sin ) 4sinC B B C C B B C B C B ，
所以sin (4 5cos ) 0B C ．又 0 B ，所以sin 0B ，
所以 4cos 5C ，而C 为三角形内角，所以 3sin 5C ，
所以 ABC 的面积为 1 1 3 3 3sin 1 32 2 5 10ab C ．
31．在 ABC 中， 7, 5b c ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求：
（1） BÐ 的值；
（2） ABC 的面积．
条件①：sin 2 sinB B ；条件②： cos2 cosB B ．注：如果选择条件①和条件②分别解
答，按第一个解答计分．
【试题来源】北京市昌平区 2021 届高三年级上学期期末质量抽测
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）选择条件①，化简sin 2 sinB B ，得 1cos 2B ，从而算得 BÐ ．由余弦定理
算得 a ，运用面积公式可算出 ABC 的面积．（2）选择条件②，化简 cos2 cosB B 得
1cos 2B ，从而算得 BÐ ．由余弦定理算得 a ，运用面积公式可算出 ABC 的面积．
【解析】选择条件①：（1）因为sin 2 sinB B ，所以sin (2cos 1) 0B B ，
因为 0 B ，所以sin 0B ． 所以 1cos 2B ． 所以
3B ．
（2）由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B ，得 2 2 27 5 2 5 cos 3a a ，
所以 2 5 24 0a a ．解得 8a 或 3a （舍负）．所以 8a ．
所以 ABC 的面积 1 sin 10 32S ac B ．
选择条件②：（1）因为 cos2 cosB B ，所以 22cos cos 1 0B B ，
解得 cos 1B 或 1cos 2B ．
因为 0 B ，所以 1cos 2B ． 所以 2
3B ．
（2）由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B ， 得 2 2 2 27 5 2 5 cos 3a a ，
所以 2 5 24 0a a ， 解得 3a 或 8a （舍负）．所以 3a ．
所以 ABC 的面积 1 15sin 32 4S ac B ．
【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关
系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应
用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
32．在① 2 2 2a b c ab ，② sina B b ，③ 3cos sin2
C C 这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，若问题中的 ABC 存在，求出其面积；若不存在，说明理由．
问题：是否存在 ABC ，它的内角 A， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且 4a b ，
2c ，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】海南省 2021 届高三年级第二次模拟考试
【答案】答案见解析
【解析】选择条件①：由余弦定理得
2 2 2 1cos 2 2 2
a b c abC ab ab
，
因为 (0, )C ，所以
3C ．
结合 4a b ， 2 2 2 2( ) 3c a b ab a b ab ，可得 4ab ，
所以 2a ， 2b ，因此 1 sin 32ABCS ab C △ ．
选择条件②：由正弦定理得sin sin
bA B
，所以 sinsin 1a BA b
，
又 (0, )A ，所以
2A ，所以 2 2 2b c a ．
由
2 24
4
b a
a b
，解得 5
2a ， 3
2b ，所以 1 3sin2 2ABCS bc A △ ．
选择条件③：因为 3cos sin 2sin cos2 2 2
C C CC ，
又 cos 02
C ，所以 3sin 2 2
C ，因此 2
3C ．
由余弦定理可得 2 2 2 2( )c a b ab a b ab ，得 12ab ，
从而 2 2 2 2( ) 2 4 2 12 8a b a b ab ，显然不成立，
因此，不存在满足条件的 ABC ．
33．在① 2 sinA 3b a ，② 2 2 2sin sin sin sin sinA C B A C ，③ cos cosa A c C 这
三个条件中任选一个，补充到下面的问题中．若问题中的三角形存在，请求出 cosC ；若问
题中的三角形不存在，请说明理由．
问题：是否存在 ABC ，满足 a b c 且 2 3a c b ，________________？注：如果选
择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】河北省张家口市 2021 届高三上学期期末教学质量监测
【答案】答案见解析
【分析】选①，由正弦定理化边为角后可求得 B ，然后 2 3a c b 两边平方后．同时由余
弦定理把b 用 ,a b 表示后可得8 5 0a c ，从而得出 : :a b c ，再由余弦定理可求得 cosC ，
选②直接由余弦定理求得 B ，然后 2 3a c b 两边平方后．同时由余弦定理把b 用 ,a b 表
示后可得8 5 0a c ，从而得出 : :a b c ，再由余弦定理可求得 cosC ，
选③，由正弦定理化边为角后可得 A C 或 90A C ，前者与已知不符，后者得 90B ，
由勾股定理 2 2 2b a c ，已知式 2 3a c b 平方后求出 ,a c 的关系，说明三角形不存在．
【解析】选①：因为 2 sin 3b A a ，所以 2sin sin 3 sinB A A ，
所以 3sin 2B ，又b c ，所以 B 为锐角，故 60B ；
因为 2 3a c b ，所以 2 2 2 22 9 9a c b a c ac ，
所以 2 28 5 13 0a c ac ，即 8 5 0a c a c ．
因为 a c ，所以8 5 0a c 代入 2 3a c b ，求得 : : 5:7:8a b c ；
故 ABC 存在，且
2 2 2 2 2 25 7 8 1cos 2 2 5 7 7
a b cC ab
；
选②：因为 2 2 2sin sin sin sin sinA C B A C ，所以 2 2 2a c b ac
2 2 2 2 2 1cos 602 2 2
a c b b ac bB Bac ac
，
因为 2 3a c b ，所以 2 2 2 22 9 9a c b a c ac ，
所以 2 28 5 13 0a c ac ，即 8 5 0a c a c ．
因为 a c ，所以8 5 0a c 代入 2 3a c b ，求得 : : 5:7:8a b c ，
故 ABC 存在，且
2 2 2 2 2 25 7 8 1cos 2 2 5 7 7
a b cC ab
；
选③：因为 cos cosa A c C ，所以sin cos sin cosA A C C ，所以 sin 2 sin 2A C
所以 2 2A C 或 2 2 180A C ．所以 A C 或 90A C ，
因为 a c ，所以 A C 不合题意，所以 90A C ．所以 90B ，所以 2 2 2a c b ，
因为 3 2a b c ，所以 2 2 23 2b c c b ，所以 2 25 12 8 0c bc b ，
可看成是关于 c 的一元二次方程， 216 0b ，故 ABC 不存在．
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，在解三角形问题中出现边角关系时，常常应用
正弦定理进行边角转换，转化为角的关系后由三角函数恒等变换公式变形求得角或角的关系，
转化为边的关系后直接求出边的比值或应用余弦定理求得角．
34．在 ABC 中，已知 5b ， 9cos 16B 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个为
已知．
（1）求 sin A ．
（2）求 ABC 的面积．
条件①： 1cos 8C ，条件②： 4a ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】北京市丰台区 2021 届高三上学期期末练习
【答案】（1） 7
4
；（2）15 7
4
【解析】选择条件①，（1） 9cos 16B ， 2 5 7sin 1 cos 16B B ，
1cos 8C ， 2 3 7sin 1 cos 8C C ，
5 7 1 9 3 7 7sin sin sin cos cos sin 16 8 16 8 4A B C B C B C ；
（2）由正弦定理可得
sin sin
a b
A B
，
75sin 4 4sin 5 7
16
b Aa B
，
1 1 3 7 15 7sin 4 52 2 8 4ABCS ab C
；
选择条件②，（1） 9cos 16B ， 2 5 7sin 1 cos 16B B ，
由正弦定理可得
sin sin
a b
A B
，
5 74sin 716sin 5 4
a BA b
；
（2）由余弦定理可得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，
即 2 925 16 2 4 16c c ，解得 3
2c =- （舍去）或 6c ，
1 1 7 15 7sin 5 62 2 4 4ABCS bc A
．
35．在 ABC 中， 2c ， 30C ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个
作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：
（1） a 的值；
（2） ABC 的面积．
条件①：2 3b a ．条件②： 45A ；条件③： 2 3b ． 注：如果选择多个条件分别解
答，按第一个解答计分．
【试题来源】北京市石景山区 2021 届高三上学期数学期末试题
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【解析】选择条件①： 2 3b a ，
（1）在 ABC 中，因为 2 3b a ， 所以 3
2b a ．
因为 2c ， 30C ．根据余弦定理：
2 2 2
cos 2
a b cC ab
，
得
2 23( ) 4 32cos30 = = 232 2
a a
a a
，整理，得 2 16a ，由于 0a ，所以 =4a ．
（2）由（1）可知， 2 3b ．因为 4a ， 2c ，所以 2 2 2a b c ．所以 =90A ．
因此， ABC 是直角三角形．所以 1 1 2 3 2 2 32 2S bc ．
选择条件②： 45A ．
（1）在 ABC 中，因为 45A ， 30C ， =2c ．根据正弦定理：
sin sin
a c
A C
，
所以
22sin 2sin 45 2= 2 21sin sin30
2
c Aa C
．
（2）在 ABC 中，因为sin sin( )B A C ．
所以 sin sin(30 45 )=sin30 cos45 cos30 sin 45B 6+ 2= 4
．
所以 1 sin2S ac B 1 6+ 2= 2 2 2 = 3+12 4
．
选择条件③： 2 3b ，
（1）在 ABC 中，由余弦定理：
2 2 2
cos 2
a b cC ab
，
得
2 2(2 3) 4 3cos30 = = 22 2 3
a
a
，整理得 2 6 8 0a a ，解得 2a 或 4a ．
（2）由（1）可知当 2a 时， 2 3b ， 30C ，
所以 in1
2 sS ab C 1 1= 2 3 2 = 32 2
，
当 4a 时， 2 3b ， 30C ，所以 in1
2 sS ab C 1 1= 2 3 4 =2 32 2
．
【名师点睛】（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个
定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二
次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦
定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角
和定理的应用及角的范围限制．
36．在 ABC 中， 7cos 8A ， 3c ，且 b c ，再从条件①、条件②中选择一个作为已
知，求：
（1）b 的值；
（2） ABC 的面积．
条件①：sin 2sinB A ；
条件②：sin sin 2sinA B C ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】北京市朝阳区 2021 届高三上学期期末数学质量检测试题
【答案】选择见解析；（1） 4b ；（2） 3 15
4
．
【分析】选择条件①，由正弦定理得 sin 2sin
a Bb aA
，再由余弦定理可得 a b， ，再运用面
积公式可算出 ABC 的面积． 选择条件②，由正弦定理得 2 6a b c ，再由余弦定理
算得b ，再运用面积公式可算出 ABC 的面积．
【解析】选条件①：sin 2sinB A ．
（1）在 ABC 中，因为
sin sin
b a
B A
，所以 sin 2sin
a Bb aA
．
因为
2 2 2
cos 2
b c aA bc
，且 3c ， 7cos 8A ， 2b a ，所以
2 24 9 7
12 8
a a
a
．
化简得 22 7 6 0a a ，解得 2a 或 3
2a ．
当 3
2a 时， 2 3b a c ，与题意矛盾．所以 2a ，所以 4b ．
（2）因为 7cos 8A ， (0,π)A ，所以 15sin 8A ．
所以 1 1 15 3 15sin 4 32 2 8 4ABCS bc A △ ．
选条件②：sin sin 2sinA B C ．
（1）在 ABC 中，因为
sin sin sin
a b c
A B C
，
所以由sin sin 2sinA B C 得 2 6a b c ．
因为
2 2 2
cos 2
b c aA bc
，且 3c ， 7cos 8A ， 6a b ，
所以
2 29 (6 ) 7
6 8
b b
b
．解得 4b ．
（2）由（1）知 4b ，所以 6 2a b ．
因为 7cos 8A ， (0,π)A ，所以 15sin 8A ．
所以 1 1 15 3 15sin 4 32 2 8 4ABCS bc A △ ．
【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关
系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应
用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
37．若存在 ABC 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样
的三个条件并解答下列问题：
（1）求 A 的大小；
（2）求 cos B 和 a 的值．
条件①： 3 3sin 14C ； 条件②： 7
3a c ；
条件③： 1b a ； 条件④： 5cos 2b A ．
【试题来源】北京市海淀区 2021 届高三年级第一学期期末练习
【答案】选择①②③（1）
3A ；（2）cos B 1
7
； 7a ；选择①②④（1） 2
3A ；
（2） cos B 11
14
； 7a ．
【解析】选择①②③：
（1）因为 7
3a c ， 3 3sin 14C ，由正弦定理得 3sin sin 2
aA Cc
．
因为 1b a ，所以 a b ．所以 π0 2A ．所以 π
3A ．
（2）在 ABC 中， 7
3a c ，所以 a c ．所以 π0 2C ．
因为 3 3sin 14C ，所以 2 13cos 1 sin 14C C ．
所以 cos cos π cosB A C A C sin sin cos cosA C A C
3 3 3 1 13 1
2 14 2 14 7
．所以 2 4 3sin 1 cos 7B B ．
由正弦定理得
4 3 3
7 2
b a
，即 7 8b a ．因为 1b a ，所以 7a ．
选择①②④：
（1）因为 7
3a c ， 3 3sin 14C ，由正弦定理得 3sin sin 2
aA Cc
．
在 ABC 中， 5cos 2b A ，所以 π π2 A ．所以 2π
3A ．
（2）在 ABC 中， 7
3a c ，所以 a c ．所以 π0 2C ．
因为 3 3sin 14C ，所以 2 13cos 1 sin 14C C ．
所以 cos cos π cosB A C A C sin sin cos cosA C A C
3 3 3 1 13 11
2 14 2 14 14
．所以 2 5 3sin 1 cos 14B B ．
因为 5cos 2b A ，所以
5
2 51
2
b
．由正弦定理得
3
sin 2 5 7sin 5 3
14
Aa bB
．
微信/支付宝扫码支付