专题 34 随机变量及其分布（解答题）
1．太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天
便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，
如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户
使用.某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳
能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的
日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：
日照情况 日均气温不低于 15℃ 日均气温低于 15℃
日照充足 耗电 0 千瓦时 耗电 5 千瓦时
日照不足 耗电 5 千瓦时 耗电 10 千瓦时
日照严重不足 耗电 15 千瓦时 耗电 20 千瓦时
根据调查，当地每天日照充足的概率为 2
5
，日照不足的概率为 2
5
，日照严重不足的概率为
1
5 .2020 年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为 5,10 ， 10,15 ，
15,20 ， 20,25 ， 25,30 ， 30,35 .
（1）求图中 a 的值，并求一年中日均气温不低于 15℃的频率；
（2）用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电 20 千瓦时，试估计更换电
辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以 365 天计算）
【试题来源】广东省揭阳市 2021 届高三下学期教学质量测试
【答案】（1） 0.05a ， 3
4
；（2）5018.75千瓦时.
【解析】（1）依题意得 1 1 0.02 5 0.03 5 0.03 5 0.04 5 0.03 5 0.055a .
一年中日均气温不低于 15℃的频率为 30.03 5 0.04 5 0.05 5 0.03 5 0.75 4
.
（2）这一年中日均气温不低于 15℃的概率的估计值为 3
4
，一年中日均气温低于 15℃的概
率的估计值为 1
4
，
设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为 X ，
X 的所有可能取值为 0，5，10，15，20，
2 3 6 30 5 4 20 10P X ， 2 3 2 1 8 25 5 4 5 4 20 5P X ，
2 1 2 110 5 4 20 10P X ， 1 3 315 5 4 20P X ，
1 1 120 5 4 20P X .所以 X 的分布列为
X 0 5 10 15 20
P 3
10
2
5
1
10
3
20
1
20
所以 X 的数学期望 3 2 1 3 1 250 5 10 15 20 6.2510 5 10 20 20 4E X
所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为 20 6.25 13.75 （千瓦时）
所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为13.75 365 5018.75 （千瓦时）
2．雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分，
近年来某市教育局积极推广经典诗文诵读活动，致力于营造“诵读国学经典，积淀文化底蕴”
的书香校园，引导广大学生熟悉诗词歌赋，亲近中华经典，感悟中华传统文化的深厚魅力，
丰厚学生的人文积淀，该市教育局为调查活动开展的效果，对全市参加过经典诗文诵读活动
的学生进行了测试，并从中抽取了 1000 份试卷，根据这 1000 份试卷的成绩(单位：分，满
分 100 分)得到如下频数分布表.
成绩/分 65,70 70,75 75,80 80,85 85,90 90,95 95,100
频数 40 90 200 400 150 80 40
（1）求这 1000 份试卷成绩的平均数 x (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
（2）假设此次测试的成绩 X 服从正态分布 2,N ，其中 近似为样本平均数， 2 近
似为样本方差 2s ，已知 s 的近似值为 6.61，以样本估计总体，假设有 84.14%的学生的测试
成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少(结果保留一位
小数)？
（3）该市教育局准备从成绩在 90,100 内的 120 份试卷中用分层抽样的方法抽取 6 份，再
从这 6 份试卷中随机抽取 3 份进行进一步分析，记 Y 为抽取的 3 份试卷中测试成绩在
95,100 内的份数，求Y 的分布列和数学期望.
参 考 数 据 ： 若 2,X N ， 则 0.6827P X ，
2 2 0.9545P X ， 3 3 0.9973P X .
【试题来源】2021 年新高考测评卷数学（第一模拟）
【答案】（1） 82.15x ；（2）75.5 分；（3）分布列答案见解析，数学期望：1.
【分析】（1）利用平均数的计算公式即可求解；
（2）利用正态分布的概率分布即可求解；
（3）先利用分层抽样的方法求出抽取的 6 份试卷中成绩在 90,95 和 95,100 内的份数，
然后求出Y 的所有可能取值及每个取值对应的概率，最后写出Y 的分布列及数学期望.
【解析】（1）由频数分布表
67.5 0.04 72.5 .09 77.5 0.2 82.5 0.4 87.5 0.15 92.5 0.08 97.5 0.04 82.150x .
（2）由题意得， 2(82.15,6.61 )X N 且 1 0.6827 0.84142 2P X ，
又 82.15 6.61 75.54 75.5 ，故市教育局预期的平均成绩大约为 75.5 分.
（3）利用分层抽样的方法抽取的 6 份试卷中成绩在 90,95 内的有 4 份，成绩在 95,100 内
的有 2 份，故Y 的所有可能取值为 0，1，2，
且
0 3
2 4
3
6
10 5
C CP Y C
，
1 2
2 4
3
6
31 5
C CP Y C
，
2 1
2 4
3
6
12 5
C CP Y C
，
所以Y 得分布列为
Y 0 1 2
P 1
5
3
5
1
5
数学期望 1 3 10 1 2 15 5 5E Y .
【名师点睛】求离散型随机变量 X 的分布列的步骤：（1）理解 X 的意义，写出 X 的所有
可能取值；（2）求 X 取每个值的概率；（3）写出 X 的分布列；（4）根据分布列的性质对结
果进行检验.
3．2020 年 5 月 28 日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自
2021 年 1 月 1 日起施行.《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中
国第-部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法，为了
增强学生的法律意识，了解法律知识，某校组织全校学生进行学习《中华人民共和国民法典》
知识竞赛，从中随机抽取100名学生的成绩(单位：分)统计得到如下表格：
成绩
性别 0,60 60,70 70,80 80,90 90,100
男 5 14 16 13 4
女 3 11 13 15 6
规定成绩在 90,100 内的学生获优秀奖.
（1）根据以上成绩统计，判断是否有90%的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性
别有关？
（2）在抽取的100名学生中，若从获优秀奖的学生中随机抽取3人进行座谈，记 X 为抽到
获优秀奖的女生人数，求 X 的分布列和数学期望.
附：
2P K k 0.1 0.01 0.001
k 2.706 6.635 10.828
2
2 .
n ad bc
K a b c d a c b d
【试题来源】福建省名校联盟优质校 2021 届高三大联考
【答案】（1）有90%的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关；（2）分布列
答案见解析，数学期望： 9
5 .
【分析】（1）依题意完善列联表，计算 2K ，再与观测值比较即可判断；（2）依题意得 X 的
所有可能取值为 0 1 2,3，， ，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望；
【解析】（1）依题意得，列联表如下：
是否获奖
性别 获优秀奖 未获优秀奖 合计
男 4 48 52
女 6 42 48
合计 10 90 100
假设 0H ：“该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关”.
当 0H 成立时， 2 2.706 0.1P K .
将列联表中的数据代入公式，计算得
2
2 100 (4 42 48 6) 0.641.52 48 10 90K
因为 0.641 2.706 .所以小概率事件未发生.从而接受假设 0H .
所以在犯错误的概率不超过 0.1的前提下可以推断该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别
无关，即有90%的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关.
（2）依题意得， X 的所有可能取值为 01 2,3，， ，
3 1 2
6 4
3 3
10 1
4
0
1 3( 0) , ( 1)30 10
C C CP X P XC C
，
2 1 3
6
3 3
1 1
6
0 0
4 1 1( 2) , ( 3)2 6
C C CP X P XC C
.
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1
30
3
10
1
2
1
6
X 的数学期望为 1 3 1 1 9( ) 0 1 2 330 10 2 6 5E X .
4．某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只
有一次参赛机会，满分为 100 分，得分大于等于 80 分的为优秀.竞赛结束后，随机抽取了参
赛中 100 人的得分为样本，统计得到样本平均数为 71，方差为 81.假设该市有 10 万人参加
了该竞赛活动，得分 Z 服从正态分布 71,81N .
（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人?
（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动
者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽
奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11， ，99），若产生的两位数的数字相
同，则可奖励 40 元电话费，否则奖励 10 元电话费.假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽
奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元?
参考数据：若 2,Z N ，则 ( ) 0.68P Z .
【试题来源】江苏省盐城市、南京市 2021 届高三下学期第一次模拟考试
【答案】（1）1.6（万人）；（2）150.8 万元.
【 分 析 】（ 1 ） 由 ~ 71,81Z N 得 标 准 差 9s ， 所 以 优 秀 者 得 分 Z m s ， 由
0.68( )P m s Z m s 及正态分布的对称性可得 ( )P Z m s 答案；（2）设抽奖一
次获得的话费为 X 元可得 X 的取值及概率，计算出抽奖一次获得电话费的期望值，再算出
抽奖总次数可得答案.
【解析】（1）因得分 ~ 71,81Z N ，所以标准差 9s ，所以优秀者得分 Z m s ，
由 0.68( )P m s Z m s 得， .( ) 0 16P Z m s ，
因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为10 0.16 1.6 （万人）.
（2）设抽奖一次获得的话费为 X 元，
则 9 1 9( 40) , ( 10)90 10 10P X P X ，
所以抽奖一次获得电话费的期望值为 1 9( ) 40 10 1310 10E X ，
又由于 10 万人均参加抽奖，且优秀者参加两次，
所以抽奖总次数为10 10 0.16 11.6 万次，
因此，估计这次活动所需电话费为11.6 13 150.8 万元.
【名师点睛】本题考查了正态分布的性质及期望，解题的关键点是熟悉正态分布的性质和计
算随机变量的取值和概率，考查了的计算能力.
5．2019 年 4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“ 3 1 2 ”高考新模式.为调硏
新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级 800 名学生
的选科情况，部分数据如下表：
性别
科目 男生 女生 合计
物理 300
历史 150
合计 400 800
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或历
史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽
取 5 人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取 3 人汇报数学学习心得.记 3 人中
男生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 ( )E X .
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
2P K k
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【试题来源】江苏省南通市 2020-2021 高三下学期一模试卷
【答案】（1）表格答案见解析，有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）分布列答案见解析，数学期望： 6
5 .
【解析】（1）
性别
科目 男生 女生 合计
物理 300 250 550
历史 100 150 250
合计 400 400 800
因为
2 2
2 800 (300 150 250 100) (450 250) 160 10.828550 250 400 400 55 25 2 11K
，
所以有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.
（2）按照分层抽样的方法，抽取男生 2 人，女生 3 人.
随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2.
所以
0 3
2 3
3
5
1( 0) 10
C CP X C
，
1
2 3
3
2
5
3( 1) 5
C CP X C
，
5
12
2 3
3
3( 2) 10
C CP X C
.
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
P 1
10
3
5
3
10
所以 1 3 3 6( ) 0 1 210 5 10 5E X .答：x 的数学期望为 6
5 .
6．为快速控制新冠病毒的传播，全球多家公司进行新冠疫苗的研发.某生物技术公司研制出
一种新冠灭活疫苗，为了检测其质量指标，从中抽取了 100 支该疫苗样本，经统计质量指标
得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求所抽取的样本平均数 x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）将频率视为概率，若某家庭购买 4 支该疫苗，记这 4 支疫苗的质量指标值位于 10,30
内的支数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
【试题来源】湖南省永州市 2021 届高三下学期二模
【答案】（1） 26.5x ；（2）分布列答案见解析，数学期望： 2 .
【解析】（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为
0,10 的频率为 0.010 10 0.1 ； 0,20 的频率为 0.020 10 0.2 ；
20,30 的频率为 0.030 10 0.3 ； 30,40 的频率： 0.025 10 0.25 ；
40,50 的频率为 0.015 10 0.15 ，
所以 5 0.1 15 0.2 25 0.3 35 0.25 45 0.15 26.5x .
（2）根据题意得每支灭活疫苗的质量指标值位于 10,30 内的概率为 0.2 0.3 0.5 ，
所以 1~ 4, 2X B
， X 的可能取值为 0，1，2，3，4，
4
0
4
1 1( 0) 2 16P X C
，
4
1
4
1 1( 1) 2 4P X C
，
4
2
4
1 3( 2) 2 8P X C
，
4
3
4
1 1( 3) 2 4P X C
，
4
4
4
1 1( 4) 2 16P X C
，所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 1
16
1
4
3
8
1
4
1
16
所以 1 1 3 1 1( ) 0 1 2 3 4 216 4 8 4 16E X .
7．团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传.极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信.为我
们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量.最近.某研究性学习
小组就是否观看过电影《夺冠（中国女排）》对影迷们随机进行了一次抽样调查.其列联表如
表（单位：人）.
是 否 合计
青年 40 10 50
中年 30 20 50
合计 70 30 100
（1）根据列联表以及参考公式和数据，能否在犯错误的概率不超过 2.5% 的前提下，认为
是否观看过电影《夺冠（中国女排））与年龄层次有关？
（2）（i）现从样本的中年人中按分层抽样方法取出5人.再从这 5人中随机抽取3人.求其中
至少有 2 人观看过电影（夺冠（中国女排》）的概率；
（i i）将频率视为概率.若从众多影迷中随机抽取10 人.记其中观看过电影《夺冠（中国女排））
的人数为 .求随机变量 的数学期望及方差.
参考公式：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
.其中 .n a b c d 参考数据：
2
0P K k
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
【试题来源】四川省 2021 届高三下学期诊断性测试（文）
【答案】（1）不能；（2）（i）0.7；（i i）7；2.1.
【分析】（1）根据联表直接计算 2K ，再根据参考数值判断能否在犯错误的概率不超过 2.5%
的前提下，认为是否观看过电影《夺冠（中国女排））与年龄层次有关；
（2）（1）根据超几何分布分布计算有 2 人看过和 3 人看过的概率，求和即可；（2）根据二
项分布期望公式及方差公式直接计算.
【解析】（1）由表格数据得.
2
2 100 (40 20 30 10) 100
70 30 50 50 21K .
因为 100 5 5.02421
.所以不能在犯错误的概率不超过 2.5% 的前提下.认为是否观看过电
影《夺冠（中国女排）》与年龄层次有关.
（2）（i）依题意.从样本的中年人（ 50人）中按分层抽样的方法取出的 5人中.观看过电影
（夺冠（中国女排）》的有 305 350
人.没有观看过的有 2 人.
记抽取的3人中有i 人观看过电影《夺冠(中国女排》为事件 2,3iA i ,则
2 1
3 2
2 3
5
3 2 0.610
C CP A C
；
3
3
3 3
5
1 0.110
CP A C
.
因为 1A 和 2A 互斥,所以抽取的这 3人中至少有 2 人观看过电影《夺冠(中国女排)》的概率为
2 2 2 3 0.6 0.1 0.7P A A P A P A .
（i i）由列联表可知,观看过电影《夺冠(中国女排)》的频率为 70 =0.7100 .
将频率视为概率,则随机变量 ~ 10,0.7B .故随机变量 的数学期望为 10 0.7 7E .
随机变量的方差为 10 0.7 (1 0.7) 2.1D .
8．在新型冠状病毒疫情期间，某高中学校实施线上教学，为了解线上教学的效果，随机抽
取了100名学生对线上教学效果进行评分(满分 100 分)，记低于80 的评分为“效果一般”，不
低于80 分为“效果较好”．
（1）请补充完整 2 2 列联表；通过计算判断，有没有 99%的把握认为线上教学效果评分为
“效果较好”与性别有关？
效果一般 效果较好 合计
男 20
女 15 55
合计
（2）用（1）中列联表的数据估计全校线上教学的效果，用频率估计概率．从该校学生中任
意抽取 3人，记所抽取的3人中线上教学“效果较好”的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期
望．
附表及公式：
2
0P K k
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
其中
2
2 n ad bck a b c d a c b d
， n a b c d ．
【试题来源】四川省大数据精准教学联盟 2021 届高三第二次统一监测（理）
【答案】（1）列联表见解析；有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有
关；（2）答案见解析.
【解析】（1）由题意，补充后的列联表为
效果一般 效果较好 合计
男 25 20 45
女 15 40 55
合计 40 60 100
则 2
2 100 25 40 15 20 8.249 6.63540 60 4 5 55K
，
因此有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关．
（2）随机变量 X 的值可能为 0,1,2,3，
由题可知，线上教学“效果较好”的频率为 60 3
100 5
，则 33, 5X B
，
可得
3
0
3
2 80 5 125P X C
；
2
1
3
2 3 361 5 5 125P X C
；
2
2
3
2 3 542 5 5 125P X C
；
5
3
3
3 273 5 125P X C
．
则随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 8
125
36
125
54
125
27
125
所以 8 36 54 27 90 1 2 3125 125 125 125 5EX （或 3 93 5 5EX ）．
9．支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽
取了 100 名支付宝用户进行调查，得到如下数据：
每周使用支付宝次数 1 2 3 4 5 6 及以上
40 岁及以下人数 3 3 4 8 7 30
40 岁以上人数 4 5 6 6 4 20
合计 7 8 10 14 11 50
（1）如果认为每周使用支付宝超过 3 次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面 2 2 列联表，
并判断能否在犯错误概率不超过 0.05 的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？
不喜欢使用支付宝 喜欢使用支付宝 合计
40 岁及以下人数
40 岁以上人数
合计
（2）每周使用支付宝 6 次及以上的用户称为“支付宝达人”，视频率为概率，在该市所有“支
付宝达人”中，随机抽取 3 名用户.
①求抽取的 3 名用户中，既有 40 岁及以下“支付宝达人”又有 40 岁以上“支付宝达人”的概率；
②为了鼓励 40 岁以上用户使用支付宝，对抽出的 40 岁以上“支付宝达人”每人奖励 500 元，
记奖励总金额为 X(单位：元)，求 X 的数学期望.
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d .
2
0P K k
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【试题来源】云南省云南师范大学附属中学 2021 届高三第七次月考（理）
【答案】（1）列联表答案见解析，在犯错误率不超过 0.05 的前提下，不能认为是否“喜欢使
用支付宝”与年龄有关；（2）① 18
25
；②600 .
【解析】（1）由题中表格数据可得 2 2 列联表如下：
不喜欢使用支付宝 喜欢使用支付宝 合计
40 岁及以下人数 10 45 55
40 岁以上人数 15 30 45
合计 25 75 100
将列表中的数据代入公式计算得
2K 的观测值
2
2 100 (30 10 45 15) 3.030 3.84125 75 55 45K
，
所以在犯错误率不超过 0.05 的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关.
（2）视频率为概率，在该市“支付宝达人”中，随机抽取 1 名用户，该用户为 40 岁及以下的
“支付宝达人”的概率为 3
5
，为 40 岁以上的“支付宝达人”的概率为 2
5 .
①抽取的 3 名用户中，既有 40 岁及以下“支付宝达人”又有 40 岁以上“支付宝达人”的概率为
3 33 2 181 5 5 25P
.
②记抽出的 40 岁以上“支付宝达人”的人数为Y ，则 500X Y .
由题意得 23 5Y B
， ，所以 2 6( ) 3 5 5E Y ，
所以 X 的数学期望 6( ) 500 ( ) 500 6005E X E Y .
10．为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使
用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：
使用手机 不使用手机 总计
学习成绩优秀 5 20
学习成绩一般
总计 30 50
（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与
使用手机有关；
（2）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出 9人，再从这 9人中
随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为 X ，试求 X 的分布列与数学期望.
参考公式：
2
2 n ad bc
a b c d a c b d
，其中 n a b c d .参考数据：
2
0P x 0.050 0.010 0.001
0x 3.841 6.635 10.828
【试题来源】广西 2021 届高三下学期开学考试（理）
【答案】（1）没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）分布列见解析，
2E X .
【分析】（1）根据表格中数据和题中信息可完善 2 2 列联表，计算出 2 的观测值，结合临
界值表可得出结论；（2）由题意可知，随机变量 X 的可能取值有 0 、1、 2 、3，计算出随
机变量 X 在不同取值下的概率，可得出随机变量 X 的分布列，进而可求得随机变量 X 的
数学期望值.
【解析】（1） 2 2 列联表如下表所示：
使用手机 不使用手机 总计
学习成绩优秀 5 20 25
学习成绩一般 15 10 25
总计 20 30 50
假设学生的学习成绩与使用手机无关，
2
2 50 5 10 20 15 25 8.333 10.82820 30 25 25 3
，
所以，没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；
（2） 9人中学习成绩优秀的人有 209 630
人，学习成绩一般的有 109 330
人，
X 可能的取值有 0 、1、 2 、3，
3
9
1 10 84P X C
，
1 2
6 3
3
9
31 14
C CP X C
，
2 1
6 3
3
9
152 28
C CP X C
，
3
6
3
9
53 21
CP X C
.
所以，随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1
84
3
14
15
28
5
21
3 15 51 2 3 214 28 21E X .
11．某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1 期、2 期、
3 期和 4 期.记随机变量 1x 、 2x 分别表示顾客购买 H 型手机和V 型手机的分期付款期数，根
据以往销售数据统计， 1x 和 2x 的分布列如下表所示：
1x 1 2 3 4
P 0.1 0.4 0.4 0.1
2x 1 2 3 4
P 0.4 0.1 0.1 0.4
（1）若某位顾客购买 H 型和V 手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分 4 期付款的概率；
（2）电商平台销售一部V 型手机，若顾客选择分 1 期付款，则电商平台获得的利润为 300
元；若顾客选择分 2 期付款，则电商平台获得的利润为 350 元；若顾客选择分 3 期付款，则
电商平台获得的利润为 400 元；若顾客选择分 4 期付款，则电商平台获得的利润为 450 元.
记电商平台销售两部V 型手机所获得的利润为 X （单位：元），求 X 的分布列；
（3）比较 1D x 与 2D x 的大小（只需写出结论）.
【试题来源】北京市 2021 届高三年级数学学科综合能力测试试题
【答案】（1） 0.04 （2）见解析（3） 1D x 2D x
【分析】（1）某位顾客购买 H 型和V 手机是独立事件，由独立事件的概率公式求解即可；
（2）先得出 X 的可能取值，再算出相应概率，即可得出 X 的分布列；
（3）由以往销售数据统计，结合数据的集中和离散程度得出 1D x 2D x .
【解析】（1）某位顾客购买 H 型和V 手机是独立事件，则这位顾客两种手机都选择分 4 期
付款的概率为 0.1 0.4 0.04 ；
（2） X 的可能取值为 600,650,700,750,800,850,900，
( 600) 0.4 0.4 0.16P X ， 1
2( 650) 0.4 0.1 0.08P X C ，
1
2( 700) 0.1 0.1 0.1 0.4 0.09P X C ，
1 1
2 2( 750) 0.4 0.4 0.1 0.1 0.34P X C C ，
1
2( 800) 0.1 0.1 0.1 0.4 0.09P X C ，
1
2( 850) 0.1 0.4 0.08P X C ， ( 900) 0.4 0.4 0.16P X ，
则 X 的分布列为
X 600 650 700 750 800 850 900
P 0.16 0.08 0.09 0.34 0.09 0.08 0.16
（3） 1D x 2D x .
12．某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为 3
4
，第二、
第三种产品受欢迎的概率分别为 p ， q p q ，且不同种产品是否受欢迎相互独立，记 为
公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为
0 1 2 3
P 1
20
a b 1
5
（1）求该公司至少有一种产品受欢迎的概率；
（2）求 p ， q的值；
（3）求数学期望 E .
【试题来源】内蒙古包头市 2020-2021 学年高三上学期期末考试（理）
【答案】（1） 19
20
；（2） 2
3p ， 2
5q ；（3）109
60 .
【分析】（1）根据对立事件的概率公式计算可得结果；
（2）由 1( 0) 20P 与 1( 3) 5P 联立可解得结果；
（3）求出 ,a b 后，根据数学期望公式可求得结果.
【解析】（1）设事件 iA 表示“该公司第i 种产品受欢迎”， 1i ，2，3.
由题意可知 1
3
4P A ， 2P A p ， 3P A q .
由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“ 0 ”是对立的，所以该公司至少有一种
产品受欢迎的概率是 1 191 0 1 20 20P .
（2）由题意可知， 1 2 3
1 10 1 14 20P P A A A p q ，
且 1 2 3
3 13 4 5P P A A A pq ，
所以整理得， 4
15pq ，且 16
15p q ，结合 p q 解得 2
3p ， 2
5q .
（3）由题意可知， 1 2 3 1 2 3 1 2 31a P P A A A P A A A P A A A
3 1 11 1 1 14 4 4p q p q p q
3 1 3 1 2 3 1 1 2
4 3 5 4 3 5 4 3 5
17
60
，
2 1 0 1 3b P P P P 1 17 11 20 60 5
7
15
，
因此， 0 0 1 1 2 2 3 3E P P P P
17 7 10 1 2 360 15 5
109
60
.
13．在某运动会上，有甲队女排与乙队女排以“五局三胜”制进行比赛，其中甲队是“慢热”型
队伍，根据以往的经验，首场比赛甲队获胜的概率为 P ，决胜局（第五局）甲队获胜的概
率为 2
3
，其余各局甲队获胜的概率均为 1
2 .
（1）求甲队以3:2 获胜的概率；
（2）现已知甲队以3:0 获胜的概率是 1
12
，若比赛结果为3:0 或 3:1，则胜利方得 3分，对
方得 0 分；若比赛结果为 3:2 ，则胜利方得 2 分，对方得1分，求甲队得分的分布列及数学
期望.
【试题来源】江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校 2021 届高三下学期第一次联考
【答案】（1） 1
4
；（2）分布列见解析，数学期望为11
8 .
【分析】（1）分析出第五局甲赢，前四局甲队赢两局，利用独立事件的概率乘法公式可求得
所求事件的概率；（2）利用独立事件的概率乘法公式计算得出 1
3P ，设甲队得分为 X ，则
X 的可能取值有 0 、1、 2 、3，计算出 X 在不同取值下的概率，可得出随机变量 X 的分
布列，进而可求得 E X 的值.
【解析】（1）记事件 A：甲队以 3:2 获胜，则第五局甲队胜，前面四局甲队赢两局，
所以，
3 3
1 2
3 3
1 2 1 2 112 3 2 3 4P A P C P C
；
（2）记甲队以3:0 获胜为事件 B ，则
21 1 1
2 4 12P B P P
，解得 1
3P .
记甲队得分为 X ，则 X 的可能取值有 0 、1、 2 、3，
若 X 0 ， 则 甲 队 以 0:3 或 1:3 落 败 ， 所 以 ，
2 3 3
1
2
1 1 1 1 1 1 30 1 1 13 2 3 2 3 2 8P X C
；
若 1X ，则甲队以 2 :3落败，所以，
3 3
1 2
3 3
1 1 1 2 1 1 11 3 2 3 3 2 3 8P X C C
；
若 2X ，则甲队以3:2 获胜，所以， 12 4P X P A ；
若 3X ，则甲队以3:0 或3:1获胜，
所以，
2 2 3
1
2
1 1 1 1 1 2 1 13 3 2 3 2 2 3 2 4P X C
.
所以，随机变量 X 的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3
P 3
8
1
8
1
4
1
4
因此， 3 1 1 1 110 1 2 38 8 4 4 8E X .
【名师点睛】求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由
排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变
量在不同取值下的概率.
14．某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保
意识．“十一黄金周”期间，组织学生去 A、B 两地游玩，因目的地 A 地近，B 地远，特制定
方案如下：
目的地 A 地
出行方式
绿色出行 非绿色出行
概率 3
4
1
4
得分 1 0
目的地 B 地
出行方式
绿色出行 非绿色出行
概率 2
3
1
3
得分 1 0
若甲同学去 A 地玩，乙、丙同学去 B 地玩，选择出行方式相互独立．
（1）求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；
（2）求三名同学总得分 X 的分布列及数学期望 EX ．
【试题来源】宁夏吴忠市 2021 届高三一轮联考（理）
【答案】（1） 7
36
；（2）分布列见解析，
12
25EX ．
【分析】（1）分析恰有一个同学选择“绿色出行”方式的情况，利用相互独立事件的概率计算
公式求解；（2）根据题意得， X 的所有可能取值为 0 ，1， 2 ，3，分别计算概率，列出分
布列，代入公式求解 EX .
【解析】（1）恰有一名同学选择绿色出行方式的概率
2
1
2
3 1 1 1 2 7
4 3 4 3 3 36P C
．
（2）根据题意， X 的所有可能取值为 0 ，1， 2 ，3，根据事件的独立性和互斥性得
1 1 1 1( 0) 4 3 3 36P X ； 1
2
3 1 1 1 2 1 7
3( 1) 4 3 3 4 3 63
P X C ；
2
1
2
2 1 1 2 4( 2) 4 3 9
3
3 4 3
P X C ； 3 2 2 1( 3) 4 3 3 3
P X ．
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1
36
7
36
4
9
1
3
所以 71 14
36
250 1 2 336 9 3 12
EX ．
15．某房产中介公司对 2018 年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，y 表示 2018 年 x
月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：
ix 1 2 3 4 5 6 7 8
iy 12 14 20 22 24 20 26 30
（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明；
（计算结果精确到 0.01）；
（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获
5 千元奖金；抽中“二等奖”获 3 千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金.已知一次抽奖活动
中获得“一等奖”的概率为 1
4
，获得“二等奖”的概率为 1
2
，现有甲、乙两个客户参与抽奖活
动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额 X （千元）的分布列及数学期望.
参考数据：
8
1
850i i
i
x y
，
8
2
1
204i
i
x
，
8
2
1
3776i
i
y
， 21 4.58 ， 31 5.57 .
参考公式：相关系数 1
2 22 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x y n x y
r
x nx y ny
.
【试题来源】 2020-2021 学年高三下学期开学考试模拟（一）（理）
【答案】（1）答案见解析；（2）分布列见解析， 5.5E X 千元.
【分析】（1）首先计算 x 、 y 再将已知条件中所给的数据代入相关系数 r 的公式即可求解；
（2）奖金总额 X 的所有可能取值有 0，3，5，6，8，10 千元，分别求出对应的概率，列出
分布列、计算期望即可.
【解析】（1）依题意： 4.5x ， 21y ，
8
1
8 8 2 22 22 2
1 1
8 850 8 4.5 21
204 8 4.5 3776 8 218 8
i i
i
i i
i i
x y xy
r
x x y y
94 94 94 0.924 4.58 5.5742 248 4 21 31
.
因为 0.92 非常趋近 1，所以变量 x ， y 线性相关性很强，
可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系.
（2）二人所获奖金总额 X 的所有可能取值有 0，3，5，6，8，10 千元.
1 1 10 4 4 16P X ， 1 1 13 2 2 4 4P X ， 1 1 15 2 4 4 8P X ，
1 1 16 2 2 4P X ， 1 1 18 2 2 4 4P X ， 1 1 110 4 4 16P X ，
所以，奖金总额 X 的分布列如下表：
X 0 3 5 6 8 10
P 1
16
1
4
1
8
1
4
1
4
1
16
1 1 1 1 1 10 3 5 6 8 10 5.516 4 8 4 4 16E X 千元.
16．某校高一年级进行安全知识竞赛（满分为 100 分），所有学生的成绩都不低于 75 分，从
中抽取 100 名学生的成绩进行分组调研，第一组 75,80 ，第二组 80,85 ， ，第五组
95,100 （单位：分），得到如下的频率分布直方图.
（1）若竞赛成绩不低于 85 分为优秀，低于 85 分为非优秀，且成绩优秀的男学生人数为 35，
成绩非优秀的女学生人数为 25，请判断是否有 95%的把握认为竞赛成绩的优秀情况与性别
有关；
（2）用分层抽样方法，在成绩不低于 85 的学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机选 3 人发言
谈体会，设这 3 人中成绩在 85,90 的人数为 ，求 的分布列与数学期望.
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
， n a b c d .
临界值表：
2
0P K k
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
【试题来源】河南省中原名校 2020-2021 学年高三下学期质量考评一（理）
【答案】（1）有；（2）分布列见解析，1.5.
【分析】（1）由题意得出列联表，根据计算公式得到 2K ，进而判断结果；
（2）用分层抽样的方法，应分别在竞赛成绩在 85,90 ， 90,95 ， 95,100 的组内抽 3
人，2 人，1 人，再根据超几何分布得出分布列，从而求得数学期望.
【解析】（1）由已知，竞赛成绩在 85,90 的学生人数为 0.06 5 100 30 ，
竞赛成绩在 90,95 的学生人数为 0.04 5 100 20 ，
竞赛成绩在 95,100 的学生人数为 0.02 5 100 10 ，
所以竞赛成绩不低于 85（优秀）的学生人数为 60，低于 85（非优秀）的学生人数为 40.
因为成绩优秀的男学生人数为 35，成绩非优秀的女学生人数为 25，
所以 2 2 列联表如下：
非优秀 优秀 合计
男生 15 35 50
女生 25 25 50
合计 40 60 100
所以 2K 的观测值 2100 15 25 35 25 25 4.16750 50 40 60 6k
.
因为 4.167 3.841 ，所以有 95%的把握认为竞赛成绩的优秀情况与性别有关.
（2）由（1）知竞赛成绩在 85,90 的学生人数为 30，竞赛成绩在 90,95 的学生人数为 20，
竞赛成绩在 95,100 的学生人数为 10，
所以用分层抽样的方法，应分别在竞赛成绩在 85,90 ， 90,95 ， 95,100 的组内抽 3 人，
2 人，1 人，所以 的可能取值为 0，1，2，3，
所以
0 3
3 3
3
6
C C 10 C 20P ，
1 2
3 3
3
6
C C 91 C 20P ，
2 1
3 3
3
6
C C 92 C 20P ，
3 0
3 3
3
6
13 20
C CP C
，所以 的分布列为
0 1 2 3
P 1
20
9
20
9
20
1
20
所以 1 9 9 10 1 2 3 1.520 20 20 20E .
【名师点睛】超几何分布的特征是①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取
若干个个体，考查某类个体个数 X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类
别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
17．为迎接 2020 年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个
问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升
一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为 1
3
，答错的概率为
2
3 .
（1）若甲回答完 5 个问题后，甲上的台阶等级数为 X ，求 X 的分布列及数学期望；
（2）若甲在回答过程中出现在第 2i i 个等级的概率为 iP ，证明： 1i iP P 为等比数列.
【试题来源】福建省漳州市 2021 届高三毕业班下学期第一次教学质量检测
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望： 20
3
；（2）证明见解析.
【分析】（1）首先确定 X 的所有可能取值 5,6,7,8,9,10X ，根据概率公式分别求出对应
发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；（2）根据已知的关系，求出 1iP 与 iP ， 1iP
的关系式 1 1
2 1
3 3i i iP P P ，再通过化简和等比数列的定义求解即可.
【解析】（1）依题意可得， 5,6,7,8,9,10X ，
5 5
5
5
2 2 32( 5) 3 3 243P X C
，
4 4
4
5
2 1 2 1 80( 6) 53 3 3 3 243P X C
，
3 2
3
5
2 1 80( 7) 3 3 243P X C
，
2 3
2
5
2 1 408 3 3 243P X C
，
4
1
5
2 1 109 3 3 243P X C
，
5
0
5
1 110 3 243P X C
，
则 X 的分布列如表所示.
X 5 6 7 8 9 10
P 32
243
80
243
80
243
40
243
10
243
32 80 80 40 10 1 20( ) 5 6 7 8 9 10243 243 243 243 243 243 3E X .
（2）处于第 1i + 个等级有两种情况：由第i 等级到第 1i + 等级，其概率为 2
3 iP ；
由第 1i 等级到第 1i + 等级，其概率为 1
1
3 iP ；
所以 1 1
2 1
3 3i i iP P P ，所以 1 1
1
3i i i iP P P P ，
即 1
1
1
3
i i
i i
P P
P P
.所以数列 1i iP P 为等比数列.
【名师点睛】本题考查概率公式､随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力､数据处
理能力，考查数学运算､逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找 1iP 与 iP ， 1iP 的
关系式，即 1 1
2 1 23 3i i iP P P i ，进而根据等比数列的定义证明.
18．上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文.全国文明城市是极具价值的无形资产和
重要城市品牌.创文期间，将有创文检查人员到学校随机找学生进行提问，被提问者之间回
答问题相互独立、互不影响.对每位学生提问时，创文检查人员将从规定的 5 个问题中随机
抽取 2 个问题进行提问.某日，创文检查人员来到 A校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行
提问，其中甲只能答对这规定 5 个问题中的 3 个，乙能答对其中的 4 个，而丙能全部答对这
5 个问题.计一个问题答对加 10 分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分 60 分，达到 50
分以上（含 50 分）时该学校为优秀.
（1）求甲、乙两位同学共答对 2 个问题的概率；
（2）设随机变量 X 表示甲、乙、丙三位同学共答对的问题总数，求 X 的分布列及数学期
望，并求出 A校为优秀的概率.
【试题来源】江西省上饶市 2021 届高三第一次高考模拟考试（理）
【答案】（1） 3
10
；（2）分布列见解析，期望值 24
5
， 33
50 .
【分析】（1）首先事件甲、乙两位同学共答对 2 个问题，分为两人各答对 1 题，或是乙答对
2 题，再求互斥事件和的概率；（2）由条件可知 3,4,5,6X ,再根据随机变量对应的事件，
分别求概率，再列出分布列，并计算数学期望,根据分布列，列出该学校为优秀的概率.
【解析】（1）记“甲、乙两位同学共答对 2 题”为事件 A，
则
1 1 1 1 2 2
3 2 4 1 2 4
22
5
3
10
C C C C C CP M
C
；
（2）由题意可知随机变量 X 的可能取值为3、 4 、5、 6，
2 1 1 2
2 4 1 5
32
5
13 25
C C C CP X
C
， 34 10P X P M ，
2 1 1 2 1 1 2 2
3 4 1 5 3 2 4 5
32
5
125 25
C C C C C C C CP X
C
，
2 2 2
3 4 5
32
5
96 50
C C CP X
C
，所以，随机变量 X 的分布列如下表所示：
X 3 4 5 6
P 1
25
3
10
12
25
9
50
随机变量 X 的数学期望为
1 3 12 9 243 4 5 625 10 25 50 5EX
A 校为优秀的概率 12 9 335 6 25 50 50P X P X .
19．某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶 5 元，售价每
瓶 8 元，未售出的饮品降价处理，以每瓶 3 元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的
销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位： C )有关．如果最高气温不低于 30，需求量
为 500 瓶；如果最高气温位于区间[25,30) ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 25，需求
量为 200 瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下
面的频数分布表：
最高气温 [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 27 36 20 7
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求七月份这种饮品一天的需求量 x(单位：瓶)的分布列；
（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于 700 元，则该月份一天的进货
量 n(单位：瓶)应满足什么条件?
【试题来源】江西省重点中学协作体（、上饶中学等）2021 届高三下学期第一次
联考（理）
【答案】（1）答案见解析；（2） 267 400n .
【分析】（1）根据题意，求得随机变量 X 的所有可能取值为 500，300，200，求得相应的概
率，即可求得随机变量的分布列；（2）由题意得出 200 500n ，分别求得300 500n
和 200 300n 时， 1 2( ,) ( )E Y E Y ，再令 1)( 700E Y 和 2 )( 700E Y ，即可求解.
【解析】（1）依题意，可得随机变量 X 的所有可能取值为 500，300，200，．
由表格数据知 27 36 27( 500) 0.3, ( 300) 0.4, ( 200) 0.390 90 90P x P x P x ，
因此分布列为
X 200 300 500
P 0.3 0.4 0.3
（2）由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为 500 瓶，最少为 200 瓶，
因此只需考虑 200 500n ，当300 500n 时，
1( 0.3 [200 3 2( 200)] 0.4[300 3 ( 300) 2] 0.3 3 900 0. 5)E Y n n n n ，
令 1)( 700E Y ，即 900 0.5 700n ，解得 400n ．
当 200 300n 时， 2( ) 0.3 [200 3 2( 200)] 0.7 3 1.5n 300E Y n n
令 2 )( 700E Y ，即1.5n 300 700 ，解得 800
3n ，
因为 n Z ，所以 267n ，综上可得 267 400n .
20．面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传
部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此吉安市在吉
州区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借
车卡，初次办卡时卡内预先赠送 20 分，当诚信积分为 0 时，借车卡自动锁定，限制借车，
用户应持卡到公共自行车服务中心以 1 元购 1 个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租
用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次
的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：①租用时间不超过 1 小时，免费；②租用时
间为 1 小时以上且不超过 2 小时，扣 1 分；③租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时，扣 2
分；④租用时间为 3 小时以上且不超过 4 小时，扣 3 分；⑤租车时间超过 4 小时除扣 3 分外，
超出时间按每小时扣 2 分收费(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).甲､乙两人独立出行，各租
用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过 4 小时，设甲､乙租用时间不超过一小时的
概率分别是 0.4 ， 0.3；租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时的概率分别是 0.4 ， 0.5；
租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时的概率分别是 0.1， 0.1.
（1）求甲比乙所扣积分多的概率；
（2）设甲､乙两人所扣积分之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.
【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021 届高三第一次联考（理）
【答案】（1） 0.29 ；（2）分布列答案见解析，数学期望：1.9 .
【分析】（1）根据题意，分别记“甲扣分为 0 分、1 分、2 分、3 分”为事件 1A ， 2A ， 3A ， 4A ，
它们彼此互斥，分别记“乙扣分为 0 分、1 分、2 分、3 分”为事件 1B ， 2B ， 3B ， 4B ，它们
彼此也互斥，则 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3M A B A B A B A B A B A B ，由此可求事件 M 的概率；
（2）根据题 的可能取值为 0，1，2，3，4，5，6，然后，相应的 P 的值，即可求出列
出 的分布列，并由公式求出 的数学期望
【解析】（1）根据题意，分别记“甲扣分为 0 分､1 分､2 分､3 分”为事件 1A ， 2A ， 3A ， 4A ，
它们彼此互斥，且 1 0.4P A ， 2 0.4P A ， 3 0.1P A ， 4 0.1P A ，
分别记“乙扣分为 0 分､1 分､2 分､3 分”为事件 1B ， 2B ， 3B ， 4B ，
它们彼此互斥，且 1 0.3P B ， 2 0.5P B ， 3 0.1P B ， 4 0.1P B ，
由题知，事件 1A ， 2A ， 3A ， 4A 与事件 1B ， 2B ， 3B ， 4B 相互独立，
记甲比乙所扣积分多为事件 M ，则 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3M A B A B A B A B A B A B ，
所以 2 1 3 1 3 2 4 1P M P A P B P A P B P A P B P A P B
4 2 4 3P A P B P A P B
0.4 0.3 0.1 0.3 0.1 0.5 0.1 0.3 0.1 0.5 0.1 0.1 0.29 .
（2）根据题 的可能取值为 0，1，2，3，4，5，6，则
0 0.4 0.3 0.12P ， 1 0.4 0.5 0.4 0.3 0.32P ，
2 0.4 0.1 0.3 0.1 0.4 0.5 0.27P ，
3 0.4 0.1 0.3 0.1 0.4 0.1 0.5 0.1 0.16P ，
4 0.4 0.1 0.5 0.1 0.1 0.1 0.1P ，
5 0.1 0.1 0.1 0.1 0.02P ， 6 0.1 0.1 0.01P .
所以 的分布列为
0 1 2 3 4 5 6
P 0.12 0.32 0.27 0.16 0.1 0.02 0.01
0 0.12 1 0.32 2 0.27 3 0.16 4 0.1 5 0.02 6 0.01 1.9E .
21．某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善.据统计，该校 2014 年到 2020
年所招的学生高考成绩不低于 600 分的人数 y 与对应年份代号 x 的数据如下：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
2020
年份代号 x 1 2 3 4 5 6 7
不低于 600 分的人数 y（单位：人） 29 33 36 44 48 52 59
（1）若 y 关于 x 具有较强的线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a $ $ $ ，并预
测 2021年该校所招的学生高考成绩不低于 600 分的人数；
（2）今有 A、 B 、C 、 D 四位同学报考该校，已知 A、 B 、C 被录取的概率均为 1
3
， D
被录取的概率为 1
2
，且每位同学是否被录取相互不受影响，用 X 表示此 4 人中被录取的人
数，求 X 的分布列与数学期望.
参 考 公 式 ：
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
， ˆa y bx . 参 考 数 据 ：
7
1
301i
i
y
，
7
1
140i i
i
x x y y
.
【试题来源】1 号卷 A10 联盟 2021 届高三开年考（理）
【答案】（1）回归直线方程为 5 23y x ，该高校 2021年所招的学生高考成绩不低于 600
分的人数预测值为 63人；（2）分布列见解析，数学期望 3
2E X .
【分析】（1）求出 x 、 y 的值，将参考数据代入最小二乘法公式，求出b 、 a 的值，可得出
y 关于 x 的回归直线方程，再将 8x 代入回归直线方程，即可得出结论；
（2）由题意可知，随机变量 X 的可能取值有 0 、1、 2 、3、 4 ，计算出随机变量 X 在不
同取值下的概率，可得出随机变量 X 的分布列，进而可计算得出 E X .
【 解 析 】（ 1 ） 根 据 表 中 数 据 ， 计 算 可 得 1 2 3 4 5 6 7 47
x ，
29 33 36 44 48 52 59 437y ，
7 2 2 2 2 2 2 2 2
1
3 2 1 0 1 2 3 28i
i
x x
，
又 7
1
140i i
i
x x y y
，
7
1
7 2
1
140ˆ 528
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
，
则 ˆ 43 5 4 23a y bx ， y 关于 x 的回归直线方程为 5 23y x ，
令 8x ，可得 5 8 23 63y ，
即该高校 2021年所招的学生高考成绩不低于 600 分的人数预测值为 63人；
（2）由条件可知， X 的所有可能取值为 0 、1、 2 、3、 4 ，
31 1 40 1 13 2 27P X
，
2 3
1
3
1 1 1 1 1 101 1 1 13 3 2 3 2 27P X C
，
2 2
2 1
3 3
1 1 1 1 1 1 12 1 1 13 3 2 3 3 2 3P X C C
，
3 2
3 2
3 3
1 1 1 1 1 73 1 13 2 3 3 2 54P X C C
，
3
3
3
1 1 14 3 2 54P X C
， X 的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3 4
P 4
27
10
27
1
3
7
54
1
54
4 10 1 7 1 30 1 2 3 427 27 3 54 54 2E X .
22．近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商
品和服务评价系统.现从评价系统中选出 200 次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品
的好评率为 3
5
，对服务的好评率为 7
10
；其中对商品和服务均为好评的有 80 次
（1）是否可以在犯错误概率不超过 0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 4 次购物中，设对商品和服务全好评
的次数为随机变量 X ：求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列及其期望.
2
0P K k
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
（其中 n a b c d ）
【试题来源】百师联盟 2020-2021 学年高三下学期开年摸底联考考（理）试卷（全国Ⅰ卷）
【答案】（1）不可以在犯错误概率不超过 0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）
分布列见解析， 8
5 .
【分析】（1）根据列联表中数据，利用公式求出 2K 的值，再与临界值比较即可；
（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 2
5
，且 X 的取值可以是 0,1,2,3,4 .利用独
立事件概率公式求出概率，可得分布列，再利用期望公式可得答案.
【解析】（1）由题意可得关于商品和服务评价的 2 2 列联表如下：
对服务好评 对服务不满意 总计
对商品好评 80 40 120
对商品不满意 60 20 80
总计 140 60 200
2
2 200(1600 2400) 1.587,1.587 2.706140 60 120 80K
，
所以，不可以在犯错误概率不超过 0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关.
（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 80 2
200 5
，且 X 的取值可以是 0,1,2,3,4 .
其中
4 3
1
44 4
3 81 2 3 216( 0) ; ( 1)5 5 5 5 5P X P X C
；
2 2 3
2 3
4 44 4
2 3 216 2 3 96( 2) ; ( 3)5 5 5 5 5 5P X C P X C
；
4
4
2 16( 4) 5 5P X
. X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 4
81
5 1
216
5 4
216
5 4
96
5 4
16
5
由于 2X ~ 4, 5B
，所以 8
5EX .
23．在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100 人的得
分统计结果如下表所示：
得分 30,40 40,50 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100
频数 2 13 21 25 24 11 4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ,196N ， 近似为这 100
人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).
①求 的值；
②若 2 5 3P a P a ，求 a 的值；
（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为
赠送话费的金额(单位：元) 20 50
概率 3
4
1
4
现有市民甲参加此次问卷调查，记 X (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的
分布列与数学期望.
【试题来源】广东省韶关市 2021 届高三一模
【答案】（1）① 60.5 ；② 41a ；（2）分布列答案见解析，数学期望为 41.25 元.
【 分 析 】（ 1 ） 根 据 题 意 直 接 计 算 平 均 值 即 可 ， 再 结 合 正 态 分 布 的 对 称 性 得 到
2 5 3 60.52
a a ，即得 a 值；（2）先根据正态分布知获赠 1 次和 2 次随机话费的
概率均为 1
2 ,再结合获得随机话费的金额和概率情况写分布列，并计算期望即可.
【解析】（1）①由题意得
30 2 40 13 50 21 60 25 70 24 80 11 90 4 60.5100
，
60.5 ，
② 2 5 3P a P a ，
由正态分布曲线的对称性得， 2 5 3 60.52
a a ，解得 41a ；
（2）由题意得， 1
2P Z P Z ，即获赠 1 次和 2 次随机话费的概率均为 1
2 ,
故获赠话费的 X 的所有可能取值为 20，40，50，70，100
1 3 320 2 4 8P X ， 1 3 3 940 2 4 4 32P X ，
1 1 150 2 4 8P X ， 1 1 3 1 3 1 6 370 2 4 4 2 4 4 32 16P X ，
1 1 1 1100 2 4 4 32F X . X 的分布列为
X 20 40 50 70 100
P 3
8
9
32
1
8
3
16
1
32
3 9 1 3 120 40 50 70 1008 32 8 16 32E X 330 41.258
元.
所以 X 的数学期望为 41.25 元.
24．为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种
减排器中各自抽取 100 件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：
减排器等级及利润率如下表，其中 1 1
9 8a ．
综合得分 k 的范围 减排器等级 减排器利润率
85k 一级品 a
75 85k 二级品 25a
70 75k ＜ 三级品 2a
（1）若从这 100 件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取 10 件，再从这 10 件产品中
随机抽取 4 件，求至少有 2 件一级品的概率；
（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取 3 件，求二级品数 的分布列及数学期望 E ；
②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？
【试题来源】江苏省南京市中华中学 2020-2021 学年高三上学期 1 月学情暨期末
【答案】（1） 37
42
；（2）①二级品数 的分布列见详解， 3= 4E ；②投资乙型号减排器
的平均利润率较大.
【分析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为 0.6，
根据分层抽样，计算 10 件减排器中一级品的个数，再利用互斥事件概率加法公式能求出至
少 2 件一级品的概率；（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一
级品的概率为 7
10
，二级品的概率 1
4
，三级品的概率为 1
20
，若从乙型号减排器随机抽取 3
件，则二级品数 所有可能的取值为 0,1,2,3，且 1(3, )4B ，由此能求出 的分布列和数
学期望.②由题意分别求出甲型号减排器的利润的平均值和乙型号减排器的利润的平均值，
由此求出投资乙型号减排器的平均利润率较大.
【解析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，
甲型号减排器中的一级品的概率为 0.08 5+0.04 5=0.6 ，
分层抽样的方法抽取 10 件，则抽取一级品为10 0.6 6 （件）
则至少有 2 件一级品的概率，
2 2 3 1 4
6 4 6 4 6
4
10
+ 37
42
C C C C CP C
；
（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，
乙型号减排器中的一级品的概率为 7
10
，二级品的概率 1
4
，三级品的概率为 1
20
，
若从乙型号减排器随机抽取 3 件，
则二级品数 所有可能的取值为 0,1,2,3，且 1(3, )4B ，
所以
3 0
0
3
3 1 27( 0) 4 4 64P C
，
2 1
1
3
3 1 27( 1) 4 4 64P C
，
1 2
2
3
3 1 9( 2) 4 4 64P C
，
0 3
3
3
3 1 1( 3) 4 4 64P C
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
P 27
64
27
64
9
64
1
64
所以数学期望： 27 27 9 1 3( ) 0 1 2 364 64 64 64 4E ；
②由题意知，甲型号减排器的利润的平均值： 2 2
1=0.6 0.4 5 2 0.6E a a a a ；
乙型号减排器的利润的平均值： 2 2 2
2
7 1 1 13 7= 510 4 20 10 10E a a a a a ；
2
1 2
7 1 7 1=10 10 10 7E E a a a a
，又 1 1
9 8a ，则 1 2E E ，
所以投资乙型号减排器的平均利润率较大.
25．受新冠肺炎疫情的影响，2020 年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将
线下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业 M 的线上招聘方式分资料初审､笔试､面试这三
个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式
录取，且这几个环节能否通过相互独立.现有甲､乙､丙三名大学生报名参加了企业 M 的线上
招聘，并均已通过了资料初审环节.假设甲通过笔试､面试的概率分别为 1
2
， 1
3
；乙通过笔
试､面试的概事分别为 2
3
， 1
2
；丙通过笔试､面试的概率与乙相同.
（1）求甲､乙､丙三人中恰有一人被企业 M 正式录取的概率；
（2）求甲､乙､丙三人中至少有一人被企业 M 正式录取的概率；
（3）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业 M 决定给报名参加应聘且通过资
料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：
参与环节 笔试 面试
补贴(元) 100 200
记甲､乙､丙三人获得的所有补贴之和为 X 元，求 X 的分布列和数学期望.
【试题来源】2021 新高考普通高等学校招生全国统一考试数学考向卷（一）
【答案】（1） 4
9
；（2） 17
27
；（3）分布列答案见解析，数学期望： 2000
3 .
【分析】（1）设甲、乙、丙被企业 M 正式录取分别为事件 , ,A B C ，即可求出 1
6P A ，
1
3P B P C ，又 , ,A B C 相互独立，利用相互独立事件的概率公式即可求解；（2）利用
相互独立事件的概率公式，求甲、乙、丙三人都没有被企业 M 正式录取的事件 D 的概率，
再利用互斥事件的概率求解；（3）分析题意可知，若没有人通过考试时 X 的取值为 300；
只有 1 人通过考试时 X 的取值为 500；有 2 人通过考试时 X 的取值为 700；3 人都通过考试
时 X 的取值为 900，分别算出事件对应的概率，写出分布列，即可得出期望.
【解析】（1）设事件 A表示“甲被企业 M 正式录取”，事件 B 表示“乙被企业 M 正式录取”，
事件C 表示“丙被企业 M 正式录取”，则 1 1 1
2 3 6P A ， 2 1 1
3 2 3P B P C ，
所以甲､乙､丙三人中恰有一人被企业 M 正式录取的概率
1P P ABC ABC ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C
1 1 1 1 1 11 1 2 1 16 3 3 6 3 3
4
9
.
（2）设事件 D 表示“甲、乙、丙三人都没有被企业 M 正式录取”，
则 1 1 1 101 1 16 3 3 27P D P ABC P A P B P C
，
所以甲､乙､丙三人中至少有一人被企业 M 正式录取的概率 2
10 171 1 27 27P P D .
（3） X 的所有可能取值为 300，500，700，900，
1 1 1 1300 2 3 3 18P X ， 1 1 1 1 2 1 5500 22 3 3 2 3 3 18P X ，
1 2 1 1 2 2 4700 2 2 3 3 2 3 3 9P X ， 1 2 2 2900 2 3 3 9P X .
所以 X 的分布列为
X 300 500 700 900
P 1
18
5
18
4
9
2
9
1 5 4 2 2000300 500 700 90018 18 9 9 3E X .
【名师点睛】本题考查互斥事件､相互独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列和数学
期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 X 的取值情况，然后利用排
列，组合，概率知识求出 X 取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，
其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
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