2021年中考数学压轴题训练--图形面积计算（附解析）

图形面积计算 【例 1】如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，半径 OA＝6，将扇形 AOB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰 好落在弧 AB 上点 D 处，折痕交 OA 于点 C，则整个阴影部分的面积为（ ） A．9π﹣9 B．9π﹣6 3 C．9π﹣18 D．9π﹣12 3 【答案】D. 【解析】解：连接 OD， 由折叠的性质知：CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC， ∴OB＝OD＝BD， 即△OBD 是等边三角形， ∴∠DBO＝60°， ∴∠CBO＝30°， ∴OC＝ 3 3 OB＝2 3 ， ∴S 阴影=S 扇形 AOB﹣S△BDC﹣S△OBC S△BDC＝S△OBC＝ 1 2 ×OB×OC＝ 1 2 ×6×2 3 ＝6 3 ， S 扇形 AOB＝9π， ∴S 阴影=S 扇形 AOB﹣S△BDC﹣S△OBC =9π﹣6 3 ﹣6 3 ＝9π﹣12 3 ． 所以答案为：D． 【变式 1-1】如图，把半径为 2 的⊙O 沿弦 AB，AC 折叠，使弧 AB 和弧 BC 都经过圆心 O，则阴影部分的 面积为（ ） A． 3 2 B． 3 C．2 3 D．4 3 【答案】C． 【解析】解：过 O 作 OD⊥AC 于 D，连接 AO、BO、CO， ∴OD＝ 1 2 AO＝1，AD＝ 1 2 AC＝ 3 ， ∴∠OAD＝30°， ∴∠AOC＝2∠AOD＝120°， 同理∠AOB＝120°，∠BOC＝120°， ∴S 阴＝2S△AOC ＝2× 3 4 ×22＝2 3 ， 所以答案为：C． 【变式 1-2】如图，半径为 1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点 M 与圆心 O 重合， 则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 3 2 6  ． 【解析】解：设折痕为 AB，连接 OM 交 AB 于点 C，连接 OA、OB， 由题意知，OM⊥AB，且 OC=MC= 1 2 ， 在 RT△AOC 中，OA=1，OC= 1 2 ， ∴∠AOC=60°，AC= 3 2 ，AB=2AC= 3 ， ∴∠AOB=2∠AOC=120°， S 阴影=S 半圆﹣2S 弓形 ABM = 1 2 π×12﹣2（ 2120 1 1 1 3360 2 2      ） = 3 2 6  ． 故答案为： 3 2 6  ． 【例 2】如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，将 Rt△ABC 绕点 A 逆时针旋转 30°后得到 Rt△ADE， 若图中阴影部分面积为 3  ，则 AB= 【答案】2. 【解析】S 阴影=S△ADE+S 扇形 BAD－S△ABC ∵S△ADE= S△ABC ∴S 阴影= S 扇形 BAD= 3  ， ∴ 230 360 AB  = 3  , 解得：AB=2， 故答案为：2. 【变式 2-1】如图，在正方形 ABCD 中，AB=3，点 M 在 CD 边上，且 DM=1，△AEM 与△ADM 关于 AM 所在 直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90°得到△ABF，连接 EF，则线段 EF 的长为（ ） A B C D E F M A. 3 B. 2 3 C. 13 D. 15 【分析】求线段的长度，常用方法是将所求线段放在直角三角形中借助勾股定理求解，如图作出辅助 线，通过分析可知，△ADM≌△ABF≌△AEM，可得 DM=EM=1，AE=AD=AB=3，进而利用△AEK∽△EMH，求得 EH， MH 的长，再计算出 EG，FG 的长，在 Rt△EFG 中，利用勾股定理求 EF 的长度即可. 【解析】过点 E 作 EG⊥BC 于 G，作 EH⊥CD 于 H，延长 HE 交 AB 于 K，如图所示， A B C D E F M G HK 由题意知，△ADM≌△ABF≌△AEM，∴DM=EM=1，AE=AD=AB=3， 由△AEK∽△EMH， 得： AE AK EK EM EH MH   =3， ∴设 EH=x，则 AK=3x，即 DH=3x，MH=3x－1， 在 Rt△EMH 中，由勾股定理得：  2 23 1 1x x   ， 解得：x=0（舍）或 x= 3 5 ， ∴MH= 4 5 ，AK=DH= 9 5 ，CH=3－DH= 6 5 ， KE=BG=3MH= 12 5 ， ∴FG=BF+BG= 17 5 ，EG=CH= 6 5 ， 在 Rt△EFG 中，由勾股定理得： EF= 2 2 2 2 17 6 135 5FG EG              , 故答案为：C. 【变式 2-2】.如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转得到矩形 AB′C′D′， 点 C 的运动路径为弧 CC′，当点 B′落在 CD 上时，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 5 3 212 2    . 【解析】解：连接 AC’，AC，过点 B’作 B’E⊥AB 于 E，如图图所示， 由旋转性质，得：AC=AC’， AB’=AB=2，∠CAB=∠C’AB’， ∵BC=B’E=1， ∴∠B’AB=30°， ∴∠C’AC=30°， ∴AE= 3 ，B’C=2－ 3 ， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC= 5 , ∴S 阴影=S 扇形 C’AC－S△AB’C’－S△B’CA =     2 30 5 1 12 1 2 3 1360 2 2          = 5 3 212 2    . 故答案为： 5 3 212 2    . 【例 3】.如图，在△ABC 中，AB=BC，∠ABC=90°，CA=4，D 为 AC 的中点，以 D 为圆心，以 DB 的长为 半径作圆心角为 90°的扇形 EDF，则图中阴影部分的面积为 . 【分析】设 DE 与 BC 交于 M，DF 与 AB 交于 N，S 阴影=S 扇形 EDF－S 四边形 DMBN，根据△DBM≌△DAN，得 S 四边形 DMBN=S△BDA， 再利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可. 【解析】解：设 DE 与 BC 交于 M，DF 与 AB 交于 N， ∵AB=BC，∠ABC=90°，D 是 AC 中点， ∴∠A=∠C=∠CBD=∠DBA=45°，AD=BD=2，∠BDA=90°， ∵∠EDF=90°， ∴∠BDM=∠ADF， ∴△DBM≌△DAN， 即 S△DBM=S△DAN， ∴S 四边形 DMBN=S△BDA， S 阴影=S 扇形 EDF－S 四边形 DMBN = 2 1 360 2 n r AD BD    = 290 2 1 2 2360 2     =π－2， 故答案为：π－2. 【变式 3-1】.如图，在扇形 OAB 中，C 是 OA 的中点，CD⊥OA，CD 与弧 AB 交于点 D，以 O 为圆心，OC 的长为半径作弧 CE 交 OB 于点 E，若 OA=6，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为 . 【答案】 9 33 2   . 【解析】解：连接 OD，交弧 CE 于 F，连接 AD， ∵OC=AC=3，CD⊥OA， ∴CD 是线段 OA 的垂直平分线， ∴OD=AD， ∵OD=OA， ∴△OAD 是等边三角形， ∵∠AOB=120°， ∴∠DOA=∠BOD=60°， ∴CD= 3 OC=3 3 ， ∴S 阴影=S 扇形 BOD－S 扇形 EOF+S△COD－S 扇形 COF = 2 2 260 6 60 3 1 60 33 3 3360 360 2 360          =3π+ 9 3 2 . 即答案为：3π+ 9 3 2 . 【变式 3-2】.如图，O 是边长为 a 的正方形 ABCD 的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板 的圆心放在 O 点处，并将纸板的圆心绕 O 旋转，则正方形 ABCD 被纸板覆盖部分的面积为（ ） A． 1 3 a2 B． 1 4 a2 C． 1 2 a2 D． 1 4 a 【答案】B. 【解析】解：如图，过 O 作 OE⊥AD 于 E，OF⊥CD 于 F， ∴OE=OF，∠EOF=90°， ∴四边形 OEDF 是正方形，OF= 1 2 a ， ∵扇形的圆心角为直角， ∴△OME≌△ONF， ∴S 阴影=S 正方形 OEDF= 21 4 a ， 故答案为：B． 1..如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，∠A=120°，则图中阴影部分（△BDF）的面积 等于 . 【答案】 3 . 【解析】解：由题意得：S△BDF=S 菱形 ABCD+S 菱形 ECGF－S△BGF－S△EDF－S△ABD 菱形 ECGF 边 CG 边上的高为：GF·sin60°= 3 3 2 ， 菱形 ECGF 边 CE 边上的高为：EF·sin60°= 3 3 2 ， ∴S△BDF= 2 2 23 3 1 3 3 1 3 3 32 3 5 1 22 2 2 2 2 2 4            = 3 ， 故答案为： 3 . 2..汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦 图中，中间的小正方形 ABCD 的边长为 1，分别以 A，C 为圆心，1 为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积 为 【答案】 12   . 【解析】解：连接 BD， S 阴影=2（S 扇形 BAD－S△ABD） =2（ 290 1 1 1 1360 2      ） = 12   ， 故答案为： 12   . 3..如图，正方形 ABCD 中，AB=1，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段 CE，线段 BD 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BF，连接 EF，则图中阴影部分的面积是 【答案】 3 2 － 4  . 【解析】解： 过 F 作 FM⊥BE 于 M，则∠FME=∠FMB=90°， ∵四边形 ABCD 是正方形，AB=1， ∴∠DCB=90°，DC=BC=AB=1，∠DCB=45°， 由勾股定理得：BD= 2 ， 由旋转性质得： ∠DCE=90°，BF=BD= 2 ，∠FBE=90°－45°=45°， ∴BM=FM=1，即 C 点与 M 点重合，ME=1， ∴阴影部分的面积：S=S△BCD+S△BFE+S 扇形 DCE－S 扇形 DBF = 1 2 +1+ 290 1 360   －  2 90 2 360   = 3 2 － 4  ， 故答案为： 3 2 － 4  ． 4..如图，已知矩形 ABCD 的两条边 AB=1，AD= 3 ，以 B 为旋转中心，将对角线 BD 顺时针旋转 60°得 到线段 BE，再以 C 为圆心将线段 CD 顺时针旋转 90°得到线段 CF，连接 EF，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】 1 53 2 12   . 【解析】解：连接 CE， 由 CD=AB=1，AD= 3 ，得：BD=2， ∴∠ADB=30°， ∴∠DBC=30°， 由旋转知∠DBE=60°，BE=BD=2， ∴∠DBC=∠EBC=30°， 此时 D、C、E 共线， ∴S 阴影=S 扇形 DCF+S△BCD+S△BEF－S 扇形 DBE =  2 290 1 1 601 1 3 1 3 1 2360 2 2 360            = 1 53 2 12   . 故答案为： 1 53 2 12   . 5..如图，△AOB 中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB 绕点 O 逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段 A′B′ 与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 B′E 的长度为（ ） A．3 5 B． 9 5 5 C． 6 5 5 D． 3 5 5 【答案】B. 【解析】解：过 O 作 OF⊥A’B’于 F， 由旋转性质得：OA=OA’=3，OB=OB’=6， ∴F 为 A’E 的中点， ∵E 为 OB 中点， ∴OE=BE=3， 在 Rt△A’OB’中，由勾股定理得：A’B’= 3 5 ， ∴OF= 18 6 5 53 5  ， 在 Rt△A’OF 中，由勾股定理得：A’F= 3 5 5 ， ∴A’E= 6 5 5 ∴B’E=A’B’－A’E= 9 5 5 ， 故答案为：B. 6..如图，等腰直角三角形 ABC，绕点 C 顺时针旋转得到△A′B′C，AB′所在的直线经过 A′C 的中点 时，若 AB=2，则阴影部分的面积为_________． 【答案】 4 3 13    . 【解析】解：延长 AB’交 A’C 于 E， 由题意知 E 为 A’C 的中点， ∵A’B’=B’C=AB=BC=2， ∴B’E⊥A’C， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC=2 2 ， ∴CE=A’E= 2 ， ∴∠CAE=30°，∠ACE=60°， ∴S 阴影=S 扇形 ACA’－S△ACE－S△A’B’E =  2 60 2 2 1 12 6 2 2360 2 2         = 4 3 13    . 故答案为： 4 3 13    . 7.如图，在扇形 OAB 中，∠O=60°，OA=4 3 ，四边形 OECF 是扇形 OAB 中最大的菱形，其中点 E，C，F 分别在 OA，弧 AB，OB 上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】8π﹣8 3 . 【解析】解：连接 EF、OC 交于点 H， 则 OH= 1 2 OC=2 3 ，∠FOH=∠AOC=30°， 在 Rt△FOH 中，FH=OH×tan30°=2， ∴菱形 FOEC 的面积= 1 2 ×4 3 ×4=8 3 ， 扇形 OAB 的面积=  2 60 4 3 360   =8π， 则阴影部分的面积为 8π﹣8 3 ， 故答案为：8π﹣8 3 . 8..如图，在圆心角为 120°的扇形 OAB 中，半径 OA＝2，C 为弧 AB 的中点，D 为 OA 上任意一点（不与 点 O、A 重合），则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 2 3 π． 【解析】解：连接 OC，BC， 由题意知∠BOC＝∠AOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC 为等边三角形， ∴∠OCB＝∠COA＝60°， ∴BC∥OA， ∴S△BOC=S△BCD， ∴S 阴影＝S 弓形 BC+S△BCD ＝S 弓形 BC+S△BOC ＝S 扇形 BOC ＝ 2 3 π， 故答案为： 2 3 π. 9..如图，在正方形 ABCD 中，AD=3，将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90°得到线段 BE，将线段 AC 绕点 C 逆时针旋转 90°得到线段 CF，连接 EF，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 27 9 2 4  . 【解析】解：由图知： S 阴影=S 扇形 ABE+S△BEF－S 弓形 AF S 弓形 AF=S 扇形 ACF－S△ACF 由题意知，AD=3，AC=CF=3 2 ，AB=BC=BF=BE=3，∠EBA=∠ACF=90°， ∴S 弓形 AF=S 扇形 ACF－S△ACF =  2 90 3 2 360   － 1 3 2 3 22   = 9 2  －9， S 阴影=S 扇形 ABE+S△BEF－S 弓形 AF = 290 3 360   + 1 3 32   －（ 9 2  －9） = 27 9 2 4  . 10..如图，将半径为 1 的半圆 O，绕着其直径的一端点 A 顺时针旋转 30°，直径的另一端点 B 的对应 点为 B'，O 的对应点为 O'，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 3 2 2   . 【解析】解：连接 O′D、B′D， ∵∠B′AB＝30°， ∴∠AO′D＝120°， ∵AB′是直径， ∴∠ADB′＝90°， 由∠B′AB＝30°，得 B′D＝ 1 2 AB′＝1， 在 Rt△ADB’中，由勾股定理得，AD＝ 3 ， ∴S 阴影＝S 扇形 BAB’－S△AO’D－S 扇形 DO’B’+S 扇形 AO’D－S△AO’D = 2 2 2 2 230 2 3 60 1 120 1 31 1360 4 360 360 4           = 3 2 2   故答案为： 3 2 2   ． 11..如图，在平行四边形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与 CD 相切于点 C，交 AD 于 点 E，延长 BA 与⊙A 相交于点 F．若弧 EF 的长为 2  ，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 2 2  . 【解析】解：连接 AC， ∵DC 是⊙A 的切线， ∴AC⊥CD， ∵AB＝AC＝CD， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠CAD＝45°， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACB＝45°， ∴∠ACB＝∠B＝45°， ∴∠FAD＝∠B＝45°， ∵弧 EF 的长为 2  ， ∴ 45=2 180 r  ， 解得：r＝2， ∴S 阴影＝S△ACD﹣S 扇形 ACE ＝ 21 45 22 22 360     = 2 2  ． 故答案为： 2 2  ． 12..如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点 A 为圆心，AC 的长为半径作弧 CE 交 AB 于 点 E，以点 B 为圆心，BC 的长为半径作弧 CD 交 AB 于点 D，则阴影部分的面积为 ． 【答案】π﹣2． 【解析】解：S 阴影＝S△ABC﹣S 空白， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴S△ABC＝ 1 2 ×2×2＝2， S 扇形 BCD＝ 245 2 360   ＝ 1 2 π， S 空白＝2×（2﹣ 1 2 π）＝4﹣π， S 阴影＝S△ABC﹣S 空白 ＝2﹣4+π ＝π﹣2， 故答案为：π﹣2． 13..如图，在△ABC 中，BC＝4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，点 P 是⊙A 上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4﹣π． 【解析】解：连接 AD ∵⊙A 与 BC 相切于点 D， ∴AD⊥BC， ∵∠EPF＝45°， ∴∠BAC＝2∠EPF＝90°． ∴S 阴影＝S△ABC﹣S 扇形 AEF ＝ 1 2 ×4×2﹣ 290 2 360   ＝4﹣π． 故答案是：4﹣π． 14..如图，在扇形 OAB 中，∠AOB＝90°，点 C 为 OB 的中点，CD⊥OB 交弧 AB 于点 D．若 OA＝2，则阴 影部分的面积为 ． 【答案】 2 3 3 2   ． 【解析】解：连接 DO， 则 OD＝OA＝OB＝2， ∵CD∥OA，∠AOB＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∵C 为 OB 的中点， ∴CO＝ 1 2 OB＝ 1 2 DO， ∴∠CDO=30°，∠COD＝60°， 则 CD＝ 3 ， ∴S 阴影＝S 扇形 BOD－S△OCD = 260 2 1 1 3360 2      = 2 3 3 2   ， 故答案为： 2 3 3 2   ． 15..如图，在▱ ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与 CD 相切于点 C，交 AD 于点 E，延 长 BA 与⊙O 相交于点 F．若弧 EF 的长为π，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】8﹣2π． 【解析】解：连结 AC， ∵CD 是圆 A 的切线， ∴AC⊥CD，即∠ACD＝90°， ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠CAF＝90°，∠FAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠FAE＝∠EAC＝45°， ∵弧 EF 的长为π， 设圆 A 的半径为 r， ∴ 45 180 r   ，得： r＝4， ∴S 阴影＝S△ACD﹣S 扇形 CAE = 1 2 ×4×4﹣ 245 4 360   ＝8﹣2π． 故答案为：8﹣2π． 16..如图，点 C 为弧 AB 的三等分点（弧 BC