2021年中考数学压轴题训练--一次函数与反比例函数综合题（附解析）

一次函数与反比例函数综合题 【例 1】.如图，直线l：y=ax+b 交x 轴于点A(3，0)，交 y 轴于点B(0，-3)，交反比例函数 y  k x 于第一 象限的点 P，点 P 的横坐标为 4. （1）求反比例函数 y  k x 的解析式； （2）过点 P 作直线 l 的垂线 l1，交反比例函数 y k x 的图象于点 C，求△OPC 的面积. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）∵y=ax+b 交x 轴于点A(3，0)，交 y 轴于点 B(0，-3)， ∴3a+b=0，b=－3， 解得：a=1， 即 l1 的解析式为：y=x－3， 当 x=4 时，y=1，即 P（4,1）， 将 P 点坐标代入 y k x 得：k=4， 即反比函数的解析式为：y 4 x ； （2）设直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于点 E，D， ∵OA=OB=3， ∴∠OAB=∠OBA=45°， ∵l⊥l1， ∴∠DPB=90°， ∴∠ODP=45°， 设直线 l1 的解析式为：y=－x+b， 将点 P(4,1)代入得：b=5， 联立：y=－x+5，y 4 x ，解得： x=1，y=4 或 x=4，y=1， 即 C(1,4)， ∴S△OPC=S△ODE－S△OCD－S△OPE = 1 2 ×5×5－ 1 2 ×5×1－ 1 2 ×5×1 = 15 2 . 【变式 1-1】.如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，A，C 分别在坐标轴上， 点 B 的坐标为（4，2），直线 y=– 1 2 x+3 交 AB，BC 于点 M，N，反比例函数 ky x  的图象经过点 M，N． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 在 x 轴上，且△OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等，求点 P 的坐标． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）∵B（4,2），四边形 OABC 为矩形， ∴OA=BC=2， 在 y=– 1 2 x+3 中，y=2 时，x=2， 即 M(2,2), 将 M（2，2）代入 ky x  得：k=4， ∴反比例函数的解析式为： 4y x  . （2）在 4y x  中，当 x=4 时，y=1， 即 CN=1， ∵S 四边形 BMON=S 矩形 OABC－S△AOM－S△CON =4×2－ 1 2 ×2×2－ 1 2 ×4×1 =4， ∴S△OPM=4， 即 1 2 ·OP·OA=4， ∵OA=2， ∴OP=4， ∴点 P 的坐标为（4,0）或（－4,0）. 【例 2】.已知：如图，一次函数 y=kx+3 的图象与反比例函数 y  m x （x＞0）的图象交于点 P，PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，一次函数的图象分别交 x 轴、y 轴于点 C，D，且 S△DBP=27， 1 2 OC CA  . （1）求点 D 的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的解析式； （3）根据图象写出 x 取何值时，一次函数 y=kx+3 的值小于反比例函数 y  m x 的值． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）∵一次函数 y=kx+3 与 y 轴相交， ∴令 x=0，解得 y=3， ∴D 的坐标为（0，3）； （2）∵OD⊥OA，AP⊥OA，∠DCO=∠ACP，∠DOC=∠CAP=90°， ∴Rt△COD∽Rt△CAP， ∴ 1 2 OD OC AP AC   ，OD=3， ∴AP=OB=6， ∴DB=OD+OB=9， ∵S△DBP=27， 即 2 DP BP ＝27， ∴BP=6， ∴P（6，-6）， 把 P 坐标代入 y=kx+3，得到 k= 3 2  ， 则一次函数的解析式为：y＝ 3 2  x+3； 把 P 坐标代入反比例函数解析式得：m=－36， 则反比例解析式为：y＝− 36 x ； （3）联立 y＝− 36 x ，y＝ 3 2  x+3 得： x=－4，y=9 或 x=6，y=－6， 即直线与双曲线两个交点坐标为（－4,9），（6，－6）， ∴当 x＞6 或－4＜x＜0 时，一次函数的值小于反比例函数的值． 【变式 2-1】.如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABDC 的顶点 D，C 在反比例函数 y= k x 上（k＞0，x ＞0），横坐标分别为 1 2 和 2，对角线 BC∥x 轴，菱形 ABDC 的面积为 9． （1）求 k 的值及直线 CD 的解析式； （2）连接 OD，OC，求△OCD 的面积． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）连接 AD， ∵菱形 ABDC 的顶点 D，C 在反比例函数 y= k x 上，横坐标分别为 1 2 和 2， ∴D( 1 2 ,2k)，C(2, 2 k ), ∵BC∥x 轴，∴B(－1， 2 k ),A( 1 2 ,－k), ∴BC=3，AD=3k， ∵S 菱形 ABCD=9， ∴ 1 2 ×3×3k=9，解得：k=2， ∴D( 1 2 ,4)，C(2, 1), 设直线 CD 的解析式为 y=mx+n， ∴ 1 2 m+n=4，2m+n=1， 解得：m=－2，n=5， 即直线 CD 的解析式为 y=－2x+5. （2）设直线 y=－2x+5 交 x 轴、y 轴于点 F，E， 则 F( 5 2 ,0),E(0,5)， ∴S△OCD=S△EOF－S△OED－S△OCF = 1 2 ×5× 5 2 － 1 2 ×5× 1 2 － 1 2 ×1× 5 2 = 15 4 ， 即△OCD 的面积为： 15 4 . 【例 3】.如图，在矩形 OABC 中，OA=3，OC=2，点 F 是 AB 上的一个动点（F 不与 A，B 重合），过点 F 的反比例函数 y= k x 的图象与 BC 边交于点 E． （1）当 F 为 AB 的中点时，求该函数的解析式； （2）当 k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】见解析． 【解析】解：（1）∵矩形 OABC 中，OA=3，OC=2， ∴B（3，2）， ∵F 为 AB 的中点， ∴F（3，1）， ∵点 F 在反比例函数 y= k x 的图象上， ∴k=3， 即函数的解析式为 y= 3 x ； （2）E，F 两点坐标为：E（ 2 k ，2），F（3， 3 k ）， ∴S△EFA= 1 2 AF•BE = 1 2 × 3 k （3﹣ 2 k ）， =  21 3312 4k   ， ∴当 k=3 时，S△EFA 有最大值，最大值 3 4 ． 【变式 3-1】.如图，一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y＝ m x 的图象交于 A，B 两点，与 x 轴交于 点 C（﹣2，0），点 A 的纵坐标为 6，AC＝3CB． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式组 m x ＜kx+b＜4 的解集； （3）点 P（x，y）是直线 y＝k+b 上的一个动点，且满足（2）中的不等式组，过点 P 作 PQ⊥y 轴交 y 轴于点 Q，若△BPQ 的面积记为 S，求 S 的最大值． 【答案】见解析． 【解析】解：（1）过点 A 作 AD⊥x 轴于 D，过 B 作 BE⊥x 轴于 E， 则∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD∽△BCE， ∴ AD AC CD BE BC CE   ，即 6 23 CE BE CE   ， 解得：BE＝2，CE＝1， ∴A（1，6）， ∴反比例函数解析式为 y＝ 6 x ； （2）将 A（1，6），C（﹣2，0）代入 y＝kx+b， 得： 6 2 0 k b k b      ，解得： 2 4 k b    ， 即直线解析式为：y＝2x+4， 由 B（﹣3，﹣2），得不等式组 6 x ＜2x+4＜4 的解集为：﹣3＜x＜0； （3）设 P（m，2m+4）（﹣3＜m＜0）， 则 PQ＝﹣m，△BPQ 中 PQ 边上的高为 2m+4﹣（﹣2）＝2m+6， ∴S＝ 1 2 •（﹣m）（2m+6） ＝﹣m2﹣3m ＝﹣（m+ 3 2 ）2+ 9 4 ， ∴当 m＝﹣ 3 2 时，S 取得最大值，最大值为 9 4 ． 1..如图所示，在平面直角坐标系中，直线 l1：y= 1 2  x 与反比例函数 y= k x 的图象交于 A、B 两点，点 A 在点 B 左侧，已知 A 点的纵坐标为 2. （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出 1 2  x> k x 的解集； （3）将直线 y= 1 2  x 沿 y 轴向上平移后的直线 l2 与反比例函数 y= k x 在第二象限内交于点 C，如果△ABC 的面积为 30，求平移后的直线 l2 的函数表达式. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）在 y= 1 2  x 中，y=2 时，x=－4， 即 A(－4,2)， ∵反比例函数 y= k x 的图象过点 A， ∴k=－8， 即反比例函数的解析式为：y= 8 x  ； （2）联立 y= 8 x  ，y= 1 2  x，解得： x=－4，y=2（点 A）；或 x=4，y=－2， 即 B（4，－2）， ∴ 1 2  x> k x 的解集为：x0）的图象与 BC 边交于点 E. （1）当 F 为 AB 边的中点时，求该函数的解析式； （2）当 k 为何值时，△EFA 的面积为 2 3 ？ 【答案】见解析. 【解析】解：（1）由题意知，AB=OC=2，BC=OA=3， ∵F 是 AB 中点， ∴F(3，1)， 将 F(3，1)代入 y= k x 得：k=3， 即反比例函数的解析式为：y= 3 x . （2）由图象知，点 F 位于 B 点下方，B(3,2)， ∴当 x=3 时，y