2021年中考数学压轴题训练--图形规律探索题（附解析）

图形规律探索题 【例 1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OA1A2 的直角边 OA1 在 y 轴的正半轴上，且 OA1=A1A2=1， 以 OA2 为直角边作第二个等腰直角三角形 OA2A3，以 OA3 为直角边作第三个等腰直角三角形 OA3A4，…，依此规 律，得到等腰直角三角形 OA2017A2018，则点 A2017 的坐标为 O x y A1 A2 A3 A4 A5A6 A7 A8 【答案】（0，21008）. 【解析】解：由题意知：A1(0,1)，A2(1,1)，OA2=A2A3= 2 ，OA3=2， ∴A3(2,0), 同理，A4(2,－2)，A5(0,－4)，A6(－4,－4)，A7(－8,0)，A8(－8,8)，A9(0,16)…… 每隔 8 个点恰好处于同一坐标系或象限内，2017÷8=252……1， 即点 A2017 在 y 轴正半轴上，横坐标为 0， 各点纵坐标的绝对值为：20,20,21,21,22,22,23,23，…… 2017÷2=1008……1， 可得点 A2017 的纵坐标为：21008， 故答案为（0，21008）. 【变式 1-1】如图，在一个单位为 1 的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在 x 轴上、 斜边长分别为 2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3 的顶点坐标分别为 A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0， 0)，则依图中所示规律，A2019 的横坐标为（ ） A．-1008 B．2 C．1 D．1011 【答案】A. 【解析】解： 观察图形可知，奇数点在 x 轴上，偶数点在象限内， 所以 A2019 在 x 轴上， A1，A5，A9，A13……，A4n－3 在 x 正半轴，4n－3=2019，n=505.5，所以 A2019 不在 x 正半轴上； A3（0,0），A7（－2,0），A11（－4,0），A15（－8,0）……， 3=4×0+3，7=4×1+3，11=4×2+3，15=4×3+3，……，2019=4×504+3， ∴－2×504=－1008， 即 A2019 的坐标为（－1008，0）， 故答案为：A. 【变式 1-2】如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形 OA1B1C1， 称为一次旋转，依此方式，……，绕点 O 连续旋转 2 019 次得到正方形OA2 019B2 019C2 019，如果点A 的 坐标为(1，0)，那么点 B2 019 的坐标为 . 【答案】（－ 2 ,0）. 【解析】由旋转及正方形性质可得： B(1,1),B1(0, 2 )，B2(－1, 1)，B3(－ 2 ,0)，B4(－1, －1)，B5(0, － 2 )，B6(1, －1)，B7( 2 , 0)，B8(1, 1)，…… ∴360÷45=8， 2019÷8=252……3， ∴点 B2019 落在 x 轴负半轴上， 即 B2019(－ 2 ,0)， 故答案为：（－ 2 ,0）. 【例 2】如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点 A 顺指针旋转到△AB1C1 的位置，点 B、O 分别落在 点 B1、C1 处，点 B1 在 x 轴上，再将△AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到△A1B1C2 的位置，点 C2 在 x 轴上，将△A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的位置，点 A2 在 x 轴上，依次进行下去…，若点 A（ 5 3 ，0），B（0，4），则点 B2016 的横坐标为（ ） A．5 B．12 C．10070 D．10080 【答案】D． 【解析】解：由图象可知点 B2016 在第一象限， ∵OA= 5 3 ，OB=4，∠AOB=90°， 在 Rt△BOA 中，由勾股定理得：AB= 13 3 ， 可得：B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），… ∴点 B2016 横坐标为 10080． 故答案为：D． 【变式 2-1】我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3，6，10…） 和“正方形数”（如 1，4，9，16…），在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m，最大的“正方形数” 为 n，则 m+n 的值为（ ） A．33 B．301 C．386 D．571 【答案】C． 【解析】解：由图形知： 第 n 个三角形数为 1+2+3+…+n＝  1 2 n n  ， 第 n 个正方形数为 n2， 当 n＝19 时，  1 2 n n  ＝190＜200， 当 n＝20 时，  1 2 n n  ＝210＞200， 所以最大的三角形数：m＝190； 当 n＝14 时，n2＝196＜200， 当 n＝15 时，n2＝225＞200， 所以最大的正方形数：n＝196， 则 m+n＝386， 所以答案为：C． 1.如图，边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠DAB=60°．连接对角线 AC，以 AC 为边作第二个菱形 ACC1D1，使 ∠D1AC=60°；连接 AC1，再以 AC1 为边作第三个菱形 AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第 n 个菱 形的边长为 ． 【答案】   1 3 n ． 【解析】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AB=BC=1，∠ACB=∠CAB=30°， ∴AC= 3 AB= 3 ， 同理可得：AC1= 3 AC=（ 3 ）2，AC2= 3 AC1=3 3 =（ 3 ）3，…… 第 n 个菱形的边长为：   1 3 n ， 故答案为：   1 3 n ． 2.如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点 A 的坐标为（2，0），过点 A 作 AA1⊥OB，垂足为点 A1， 过 A1 作 A1A2⊥x 轴，垂足为点 A2；再过点 A2 作 A2A3⊥OB，垂足为点 A3；再过点 A3 作 A3A4⊥x 轴，垂足为点 A4…； 这样一直作下去，则 A2017 的横坐标为（ ） A． 3 2 •（ 3 2 ）2015 B． 3 2 •（ 3 2 ）2016 C． 3 2 •（ 3 2 ）2017 D． 3 2 •（ 3 2 ）2018 【答案】B． 【解析】解：∵∠AOB=30°，点 A 坐标为（2，0）， ∴OA=2， ∴OA1= 3 2 OA= 3 ，OA2= 3 2 OA1=2× 2 3 2       ，OA3= 3 2 OA2=2× 3 3 2       …， ∴OAn=（ 3 2 ）nOA=2（ 3 2 ）n．∴OA2018=2×（ 3 2 ）2018= 3 2 •（ 3 2 ）2016 故答案为：B． 3.如图，函数       4 0 2 2 8 2 4 x x xy x x          的图象记为 C1，它与 x 轴交于点 O 和点 A1，将 C1 绕点 A1 选择 180°得 C2，交 x 轴于点 A2……，如此进行下去，若点 P(103，m)在图象上，则 m 的值是（ ） A. -2 B. 2 C. -3 D. 4 【答案】A． 【解析】解：由图可知：横坐标每间隔 8 个单位，函数值相同，即函数图象重复周期为 8，103÷8=12…… 5，当 x=5 时，y=－2，即 m=－2， 故答案为：A. 4.如图，弹性小球从点 P(0，1)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形 DABC 的边时反弹，反弹 时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为 P1(-2，0)，第 2 次碰到正方形的边时的点 为 P2，……，第 n 次碰到正方形的边时的点为 Pn，则点 P2 019 的坐标是（ ） A．(0，1) B．(-4，1) C．(-2，0) D．(0，3) 【答案】D． 【解析】解：根据图象可得：P1(-2,0)，P2(-4,1)，P3(0,3)，P4(-2,4)，P5(-4,0)，P6(0,1)，P7（－2,0）…… 2019÷6=336……3， 即 P2019（0,3）， 故答案为：D. 5.如图，在坐标系中放置一菱形 OABC，已知∠ABC=60°，点 B 在 y 轴上，OA=1，先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60°，连续翻转 2019 次，点 B 的落点依次为 B1，B2，B3，…，则 B2 019 的坐标为（ ） A. (1010,0) B.(1310.5, 3 2 ) C. (1345, 3 2 ) D. (1346,0) 【答案】D. 【解析】解：连接 AC，如图所示． ∵四边形 OABC 是菱形，∴OA=AB=BC=OC． ∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形． ∴AC=AB．∴AC=OA． ∵OA=1， ∴AC=1． 由图可知：每翻转 6 次，图形向右平移 4． ∵2019=336×6+3， ∴点 B3 向右平移 1344（即 336×4）到点 B2019． ∵B3 的坐标为（2，0）， ∴B2019 的坐标为（1346，0）， 故答案为：D． 6.如图，在直角坐标系中，已知点 A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1， △2，△3，△4，…，则△2019 的直角顶点的坐标为（ ） A．（8076，0） B．（8064，0） C．（8076， 12 5 ） D．（8064， 12 5 ） 【答案】A． 【解析】解：∵点 A（﹣3，0）、B（0，4）， 由勾股定理得：AB＝5， 由图可知，三个三角形为一个循环，经历一次循环前进的水平距离为：12， 2019÷3＝673，直角顶点在 x 轴上， 673×12＝8076， ∴△2019 的直角顶点的坐标为（8076，0）． 故答案为：A． 7.如图，在平面直角坐标系中，函数 y=2x 和 y=﹣x 的图象分别为直线 l1，l2，过点（1，0）作 x 轴的 垂线交 l1 于点 A1，过点 A1 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A2，过点 A2 作 x 轴的垂线交 l1 于点 A3，过点 A3 作 y 轴的垂 线交 l2 于点 A4，…依次进行下去，则点 A2017 的坐标为 ． 【答案】（21008，21009）． 【解析】解：由图可知：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…， ∵2017=504×4+1， ∴点 A2017 在第一象限， ∵2017=1008×2+1， ∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n 为自然数）． ∴A2017 的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=（21008，21009）． 故答案为：（21008，21009）． 8.如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1，依此方式， 绕点 O 连续旋转 2018 次得到正方形 OA2018B2018C2018，如果点 A 的坐标为（1，0），那么点 B2018 的坐标为（ ） A．（1，1） B．（0， 2 ） C．（ 2 ，0） D．（﹣1，1） 【答案】D． 【解析】解：∵四边形 OABC 是正方形，OA＝1， ∴B（1，1）， 连接 OB，在 Rt△OAB 中，由勾股定理得：OB＝ 2 ， 由旋转性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝ 2 ， ∴B1（0， 2 ），B2（﹣1，1），B3（﹣ 2 ，0），…， 360÷45=8，每 8 次一循环，2018÷8＝252……2， ∴点 B2018 的坐标为（﹣1，1）. 故答案为：D． 9.将直角三角形纸板 OAB 按如图所示方式放置在平面直角坐标系中，OB 在 x 轴上，OB＝4，OA＝2 3 ．将 三角形纸板绕原点 O 逆时针旋转，每秒旋转 60°，则第 2019 秒时，点 A 的对应点 A′的坐标为（ ） A．（﹣3，﹣ 3 ） B．（3，﹣ 3 ） C．（﹣3， 3 ） D．（0，2 3 ） 【答案】A． 【解析】解：360÷60=6， 即每 6 秒一循环， 2019÷6=336……3， 即 2019 秒时， 点 A 与其对应点 A′关于原点 O 对称， ∵OA＝4，∠AOB＝30°， 可得：A(3, 3 )， ∴第 2019 秒时，点 A 的对应点 A′的坐标为(－3, － 3 )， 故答案为：A. 10.正方形 ABCD 的位置在坐标中如图所示，点 A、D 的坐标反别为（1，0）、（0，2），延长 CB 交 x 轴于 点 A1，作正方形 A1B1C1C，延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第 2017 个 正方形的面积为 【答案】 403235 2     ． 【解析】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA， ∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°， ∴∠ADO=∠BAA1， ∵∠DOA=∠ABA1， ∴△DOA∽△ABA1， ∴ 1 1 2 OA BA OD AB   ， 由勾股定理得：AB=AD= 5 ， ∴BA1= 5 2 ， ∴第 2 个正方形 A1B1C1C 的边长 A1C=A1B+BC= 3 5 2 ，面积= 2 3 5 2       ， 同理，第 3 个正方形的面积为： 2 3 3 5 2 2      ， 第 4 个正方形的面积为： 2 3 3 3 5 2 2 2       ，…… ∴第 2017 个正方形的面积为： 403235 2     . 即答案为： 403235 2     . 11.如图所示，一动点从半径为 2 的⊙O 上的 A0 点出发，沿着射线 A0O 方向运动到⊙O 上的点 A1 处， 再向左沿着与射线 A1O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A2 处；接着又从 A2 点出发，沿着射线 A2O 方向运 动到⊙O 上的点 A3 处，再向左沿着与射线 A3O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A4 处；…… 按此规律运动 到点 A2 017 处，则点 A2 017 与点A0 间的距离是 【答案】4. 【解析】解：由图分析可知，A6 点与 A0 点重合， 2017÷6=336……1， 即点 A2 017 与 A1 重合， ∵⊙O 的半径为 2 ， ∴点 A2 017 与点 A0 间的距离是 4. 12.如图，由一些点组成形如正多边形的图案，按照这样的规律摆下去，则第 n（n＞0）个图案需要点 的个数是 ． 【答案】n2+2n. 【解析】解：由图知，第 1 个图形点数为 3+0×3，第 2 个图形点数为 4+1×4；第 3 个图形点数为 5+2 ×5；第 4 个图形点数为 6+3×6…… 第 n 个图形点数为：（n+2）+（n－1）（n+2）=n2+2n， 即答案为：n2+2n. 13..如图所示的坐标系中放置一菱形 OABC，已知∠ABC=60°，点 B 在 y 轴上，OA=1，先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方形无滑动翻转，每次翻转 60°，连续翻转 2017 次，点 B 的落点分别是 B1，B2，B3，……，则 B2017 的坐标为 【答案】（1345.5， 3 ）. 【解析】解：由题意知：OB= 3 OA= 3 ，即 B(0, 3 )， ∴B1 的纵坐标为： 3 2 ，横坐标为： 3 × 3 2 = 3 2 ， 即 B1( 3 2 ， 3 2 )， 由图可知，每翻折 6 次，图形向右平移 4 个单位， 2017=336×6+1， 求得：B2017（336×4+ 3 2 ， 3 ），即 B2017（1345.5， 3 ）， 故答案为：（1345.5， 3 ）. 14.如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3，……和点 B1，B2，B3，……分别在直线 1 5y x b  和 x 轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3……都是等腰直角三角形，若点 A1(1,1)，则点 A2019 的纵坐标是 【答案】 20183 2     . 【解析】解：如图，分别过 A1，A2，A3 作 x 轴的垂线， ∵点 A(1,1)在直线 1 5y x b  上， ∴b= 4 5 ， 由△OA1B1 是等腰直角三角形，得：OB1=2， 设 A2(x,y)，则 B1C2=x－2，y= x－2, ∴x－2= 1 4 5 5x  ，解得：x= 7 2 ，y= 3 2 ，即 A2 的纵坐标为： 3 2 ； 同理可得：A3 的纵坐标为： 29 3 4 2      ， 即 An 的纵坐标是 An－1 纵坐标的 3 2 倍， 即 A2019 的纵坐标为： 20183 2     . 15.在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为(1，0)，点 D 的坐标为(0， 2)，延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1CC1B1；延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2C1C2B2；…，按照这 样的规律作正方形，则点 B2 019 的纵坐标为 ． 【答案】 20193 2     . 【解析】解：过 B 作 BH⊥x 轴于 H， 由一线三直角模型，可知△ADO≌△BAH，即 BH=OA=1，即 B 点纵坐标为 1， 同理得：B1 点纵坐标为 3 2 ，B2 点纵坐标为 23 2     ，B3 点纵坐标为 33 2     ，……B2019 点纵坐标为 20193 2     ， 即答案为： 20193 2     .