1.如图 1，矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 边上的动点（不与 A，B 重合），把△ADE 沿 DE 翻折，点 A 的对应点
为 A1，延长 EA1 交直线 DC 于点 F，再把∠BEF 折叠，使点 B 的对应点 B1 落在 EF 上，折痕 EH 交直线 BC
于点 H．
（1）求证：△A1DE∽△B1EH；
（2）如图 2，直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴，若点 A1 恰好落在直线 MN 上，试判断△DEF 的形状，并说
明理由；
（3）如图 3，在（2）的条件下，点 G 为△DEF 内一点，且∠DGF＝150°，试探究 DG，EG，FG 的数量关
系．
【解析】（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，
∠BEH＝∠B1EH，
∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．
又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°，
∴∠DEA1＝∠EHB1，
∴△A1DE∽△B1EH；
（2）结论：△DEF 是等边三角形；
理由如下：
∵直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴，
∴点 A1 是 EF 的中点，即 A1E＝A1F，
在△A1DE 和△A1DF 中
∴△A1DE≌△A1DF（SAS），
∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，
又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．
∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴△DEF 是等边三角形；
（3）DG，EG，FG 的数量关系是 DG2+GF2＝GE2，
理由如下：由（2）可知△DEF 是等边三角形；将△DGE 逆时针旋转 60°到△DG'F 位置，如解图（1），
∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，
∴△DGG'是等边三角形，
∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，
∵∠DGF＝150°，
∴∠G'GF＝90°，
∴G'G2+GF2＝G'F2，
∴DG2+GF2＝GE2，
2.在图 1，2，3 中，已知▱ ABCD，∠ABC＝120°，点 E 为线段 BC 上的动点，连接 AE，以 AE 为边向上作
菱形 AEFG，且∠EAG＝120°．
（1）如图 1，当点 E 与点 B 重合时，∠CEF＝ °；
（2）如图 2，连接 AF．
①填空：∠FAD ∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；
②求证：点 F 在∠ABC 的平分线上；
（3）如图 3，连接 EG，DG，并延长 DG 交 BA 的延长线于点 H，当四边形 AEGH 是平行四边形时，求
的值．
【解析】（1）∵四边形 AEFG 是菱形，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAG＝60°，
∴∠CEF＝∠AEC﹣∠AEF＝60°，
故答案为：60°；
（2）①∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵四边形 AEFG 是菱形，∠EAG＝120°，
∴∠FAE＝60°，
∴∠FAD＝∠EAB，
故答案为：＝；
②作 FM⊥BC 于 M，FN⊥BA 交 BA 的延长线于 N，
则∠FNB＝∠FMB＝90°，
∴∠NFM＝60°，又∠AFE＝60°，
∴∠AFN＝∠EFM，
∵EF＝EA，∠FAE＝60°，
∴△AEF 为等边三角形，
∴FA＝FE，
在△AFN 和△EFM 中， ，
∴△AFN≌△EFM（AAS）
∴FN＝FM，又 FM⊥BC，FN⊥BA，
∴点 F 在∠ABC 的平分线上；
（3）∵四边形 AEFG 是菱形，∠EAG＝120°，
∴∠AGF＝60°，
∴∠FGE＝∠AGE＝30°，
∵四边形 AEGH 为平行四边形，
∴GE∥AH，
∴∠GAH＝∠AGE＝30°，∠H＝∠FGE＝30°，
∴∠GAN＝90°，又∠AGE＝30°，
∴GN＝2AN，
∵∠DAB＝60°，∠H＝30°，
∴∠ADH＝30°，
∴AD＝AH＝GE，
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴BC＝AD，
∴BC＝GE，
∵四边形 ABEH 为平行四边形，∠HAE＝∠EAB＝30°，
∴平行四边形 ABEN 为菱形，
∴AB＝AN＝NE，
∴GE＝3AB，
∴ ＝3．
3.如图 1，⊙O 经过等边△ABC 的顶点 A，C（圆心 O 在△ABC 内），分别与 AB，CB 的延长线交于点 D，E，
连结 DE，BF⊥EC 交 AE 于点 F．
（1）求证：BD＝BE．
（2）当 AF：EF＝3：2，AC＝6 时，求 AE 的长．
（3）设 ＝x，tan∠DAE＝y．
①求 y 关于 x 的函数表达式；
②如图 2，连结 OF，OB，若△AEC 的面积是△OFB 面积的 10 倍，求 y 的值．
【解析】证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，
∴∠DEB＝∠D，
∴BD＝BE；
（2）如图 1，过点 A 作 AG⊥BC 于点 G，
∵△ABC 是等边三角形，AC＝6，
∴BG＝ ，
∴在 Rt△ABG 中，AG＝ BG＝3 ，
∵BF⊥EC，
∴BF∥AG，
∴ ，
∵AF：EF＝3：2，
∴BE＝ BG＝2，
∴EG＝BE+BG＝3+2＝5，
在 Rt△AEG 中，AE＝ ；
（3）①如图 1，过点 E 作 EH⊥AD 于点 H，
∵∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴在 Rt△BEH 中， ，
∴EH＝ ，BH＝ ，
∵ ，
∴BG＝xBE，
∴AB＝BC＝2BG＝2xBE，
∴AH＝AB+BH＝2xBE+ BE＝（2x+ ）BE，
∴在 Rt△AHE 中，tan∠EAD＝ ，
∴y＝ ；
②如图 2，过点 O 作 OM⊥BC 于点 M，
设 BE＝a，
∵ ，
∴CG＝BG＝xBE＝ax，
∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax，
∴EM＝ EC＝ a+ax，
∴BM＝EM﹣BE＝ax﹣ a，
∵BF∥AG，
∴△EBF∽△EGA，
∴ ，
∵AG＝ ，
∴BF＝ ，
∴△OFB 的面积＝ ，
∴△AEC 的面积＝ ，
∵△AEC 的面积是△OFB 的面积的 10 倍，
∴ ，
∴2x2﹣7x+6＝0，
解得： ，
∴ ，
探究问题
4.思维启迪：
（1）如图 1， A ， B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量 A， B 间的距离，但绳子不够长，
聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达 B 点的点 C ，连接 BC ，取 BC 的中点 P （点 P 可
以直接到达 A 点），利用工具过点 C 作 / /CD AB 交 AP 的延长线于点 D ，此时测得 200CD 米，那么 A，B
间的距离是 米．
思维探索：
（2）在 ABC 和 ADE 中， AC BC ， AE DE ，且 AE AC ， 90ACB AED ，将 ADE 绕点 A 顺
时针方向旋转，把点 E 在 AC 边上时 ADE 的位置作为起始位置（此时点 B 和点 D 位于 AC 的两侧），设旋
转角为 ，连接 BD ，点 P 是线段 BD 的中点，连接 PC ， PE ．
①如图 2，当 ADE 在起始位置时，猜想： PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是 ；
②如图 3，当 90 时，点 D 落在 AB 边上，请判断 PC 与 PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当 150 时，若 3BC ， DE l ，请直接写出 2PC 的值．
【解析】（1）解： / /CD AB ， C B ，
在 ABP 和 DCP 中，
BP CP
APB DPC
B C
，
( )ABP DCP SAS ，
DC AB ．
200AB 米．
200CD 米，
故答案为：200．
（2）① PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是 PC PE ， PC PE ．
理由如下：如解图 1，延长 EP 交 BC 于 F ，
同（1）理，可知 ( )FBP EDP SAS ，
PF PE ， BF DE ，
又 AC BC ， AE DE ，
FC EC ，
又 90ACB ，
EFC 是等腰直角三角形，
EP FP ，
PC PE ， PC PE ．
② PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是 PC PE ， PC PE ．
理由如下：如解图 2，作 / /BF DE ，交 EP 延长线于点 F ，连接 CE 、CF ，
同①理，可知 ( )FBP EDP SAS ，
BF DE ， 1
2PE PF EF ，
DE AE ，
BF AE ，
当 90 时， 90EAC ，
/ /ED AC ， / /EA BC
/ /FB AC ， 90FBC ，
CBF CAE ，
在 FBC 和 EAC 中，
BF AE
CBE CAE
BC AC
，
( )FBC EAC SAS ，
CF CE ， FCB ECA ，
90ACB ，
90FCE ，
FCE 是等腰直角三角形，
EP FP ，
CP EP ， 1
2CP EP EF ．
③如解图 2，作 / /BF DE ，交 EP 延长线于点 F ，连接 CE 、CF ，过 E 点作 EH AC 交CA 延长线于 H 点，
当 150 时，由旋转旋转可知， 150CAE ， DE 与 BC 所成夹角的锐角为 30 ，
150FBC EAC ，
同②可得 ( )FBP EDP SAS ，
同② FCE 是等腰直角三角形， CP EP ， 2
2CP EP CE ，
在 Rt AHE 中， 30EAH ， 1AE DE ，
1
2HE ， 3
2AH ，
又 3AC AB ，
33 2AH ，
2 2 2 10 3 3EC AH HE ，
2 21 10 3 3
2 2PC EC ．
动点问题
5.如图，在等边△ABC 中，AB＝6cm，动点 P 从点 A 出发以 lcm/s 的速度沿 AB 匀速运动．动点 Q 同时从点
C 出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动，当点 P 到达点 B 时，点 P、Q 同时停止运动．设运动时
间为以 t（s）．过点 P 作 PE⊥AC 于 E，连接 PQ 交 AC 边于 D．以 CQ、CE 为边作平行四边形 CQFE．
（1）当 t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；
（2）是否存在某一时刻 t，使点 F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由；
（3）求 DE 的长；
（4）取线段 BC 的中点 M，连接 PM，将△BPM 沿直线 PM 翻折，得△B′PM，连接 AB′，当 t 为何值时，
AB'的值最小？并求出最小值．
【解析】（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴当 BQ＝2BP 时，∠BPQ＝90°，
∴6+t＝2（6﹣t），
∴t＝3，
∴t＝3 时，△BPQ 是直角三角形．
（2）存在．
理由：如图 1 中，连接 BF 交 AC 于 M．
∵BF 平分∠ABC，BA＝BC，
∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，
∵EF∥BQ，
∴∠EFM＝∠FBC＝ ∠ABC＝30°，
∴EF＝2EM，
∴t＝2•（3﹣ t），
解得 t＝3．
（3）如图 2 中，作 PK∥BC 交 AC 于 K．
∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，
∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，
∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，
∴△APK 是等边三角形，∴PA＝PK，
∵PE⊥AK，∴AE＝EK，
∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，
∴△PKD≌△QCD（AAS），
∴DK＝DC，
∴DE＝EK+DK＝ （AK+CK）＝ AC＝3（cm）．
（4）如图 3 中，连接 AM，AB′
∵BM＝CM＝3，AB＝AC，
∴AM⊥BC，
∴AM＝ ＝3 ，
∵AB′≥AM﹣MB′，
∴AB′≥3 ﹣3，
∴AB′的最小值为 3 ﹣3．
6.如图，四边形 ABCD 是矩形，AB＝20，BC＝10，以 CD 为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点
M 在线段 AB 上，且 AM＝a，点 P 沿折线 AD﹣DG 运动，点 Q 沿折线 BC﹣CG 运动（与点 G 不重合），在
运动过程中始终保持线段 PQ∥AB．设 PQ 与 AB 之间的距离为 x．
（1）若 a＝12．
①如图 1，当点 P 在线段 AD 上时，若四边形 AMQP 的面积为 48，则 x 的值为 ；
②在运动过程中，求四边形 AMQP 的最大面积；
（2）如图 2，若点 P 在线段 DG 上时，要使四边形 AMQP 的面积始终不小于 50，求 a 的取值范围．
【解析】
（1）解：①P 在线段 AD 上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，
四边形 AMQP 的面积＝ （12+20）x＝48，
解得：x＝3；
故答案为：3；
②当 P，在 AD 上运动时，P 到 D 点时四边形 AMQP 面积最大，为直角梯形，
∴0＜x≤10 时，四边形 AMQP 面积的最大值＝ （12+20）10＝160，
当 P 在 DG 上运动，10＜x≤20，四边形 AMQP 为不规则梯形，
作 PH⊥AB 于 M，交 CD 于 N，作 GE⊥CD 于 E，交 AB 于 F，如图 2 所示：
则 PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，
∵△GDC 是等腰直角三角形，
∴DE＝CE，GE＝ CD＝10，
∴GF＝GE+EF＝20，
∴GH＝20﹣x，
由题意得：PQ∥CD，
∴△GPQ∽△GDC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：PQ＝40﹣2x，
∴梯形 AMQP 的面积＝ （12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，
∴当 x＝13 时，四边形 AMQP 的面积最大＝169；
（2）解：P 在 DG 上，则 10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，
梯形 AMQP 的面积 S＝ （a+40﹣2x）×x＝﹣x2+ x，对称轴为：x＝10+ ，
∵0≤x≤20，
∴10≤10+ ≤15，对称轴在 10 和 15 之间，
∵10≤x≤20，二次函数图象开口向下，
∴当 x＝20 时，S 最小，
∴﹣202+ ×20≥50，
∴a≥5；
综上所述，a 的取值范围为 5≤a≤20．
7. (2019 山东省济宁市)如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝10，E 是 CD 边上一点，连接 AE，将矩形
ABCD 沿 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，延长 AE 交 BC 的延长线于点 G．
（1）求线段 CE 的长；
（2）如图 2，M，N 分别是线段 AG，DG 上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设 AM＝x，DN
＝y．
①写出 y 关于 x 的函数解析式，并求出 y 的最小值；
②是否存在这样的点 M，使△DMN 是等腰三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）如图 1 中，
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设 EC＝x，则 DE＝EF＝8﹣x．
在 Rt△ABF 中，BF＝ ＝6，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
在 Rt△EFC 中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，∴EC＝3．
（2）①如图 2 中，
∵AD∥CG，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝16，
在 Rt△ABG 中，AG＝ ＝8 ，
在 Rt△DCG 中，DG＝ ＝10，
∵AD＝DG＝10，
∴∠DAG＝∠AGD，
∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，
∴∠ADM＝∠NMG，
∴△ADM∽△GMN，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴y＝ x2﹣ x+10．
当 x＝4 时，y 有最小值，最小值＝2．
②存在．有两种情形：如图 3﹣1 中，当 MN＝MD 时，
∵∠MDN＝∠GMD，∠DMN＝∠DGM，
∴△DMN∽△DGM，
∴ ＝ ，
∵MN＝DM，
∴DG＝GM＝10，
∴x＝AM＝8 ﹣10．
如图 3﹣2 中，当 MN＝DN 时，作 MH⊥DG 于 H．
∵MN＝DN，
∴∠MDN＝∠DMN，
∵∠DMN＝∠DGM，
∴∠MDG＝∠MGD，
∴MD＝MG，
∵BH⊥DG，
∴DH＝GH＝5，
由△GHM∽△GBA，可得 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴MG＝ ，
∴x＝AM＝8 ﹣ ＝ ．
综上所述，满足条件的 x 的值为 8 ﹣10 或 ．
8.已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD 垂直平分 A C．点
P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度
为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥AC，
分别交 AD，OD 于点 F，G．连接 OP，EG．设运动时间为 t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，点 E 在∠BAC 的平分线上？
（2）设四边形 PEGO 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出 t 的值；若不存在，
请说明理由；
（4）连接 OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 OE⊥OQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，
请说明理由．
【解析】
（1）在 Rt△ABC 中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝ ＝6（cm），
∵OD 垂直平分线段 AC，
∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCO，
∵∠DOC＝∠ACB，
∴△DOC∽△BCA，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），
∵PB＝t，PE⊥AB，
易知：PE＝ t，BE＝ t，
当点 E 在∠BAC 的平分线上时，
∵EP⊥AB，EC⊥AC，
∴PE＝EC，
∴ t＝8﹣ t，
∴t＝4．
∴当 t 为 4 秒时，点 E 在∠BAC 的平分线上．
（2）如图，连接 OE，PC．
S 四边形 OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）
＝ •（4﹣ t）•3+[ •3•（8﹣ t）+ •（8﹣ t）• t﹣ •3•（8﹣ t）
＝﹣ t2+ t+16（0＜t＜5）．
（3）存在．
∵S＝﹣ （t﹣ ）2+ （0＜t＜5），
∴t＝ 时，四边形 OPEG 的面积最大，最大值为 ．
（4）存在．如图，连接 OQ．
∵OE⊥OQ，
∴∠EOC+∠QOC＝90°，
∵∠QOC+∠QOG＝90°，
∴∠EOC＝∠QOG，
∴tan∠EOC＝tan∠QOG，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
整理得：5t2﹣66t+160＝0，
解得 t＝ 或 10（舍弃）
∴当 t＝ 秒时，OE⊥OQ．
9.如图，在以点 O 为中心的正方形 ABCD 中，AD=4，连接 AC，动点 E 从点 O 出发沿 O→C 以每秒 1 个单
位长度的速度匀速运动，到达点 C 停止．在运动过程中，△ADE 的外接圆交 AB 于点 F，连接 DF 交 AC 于
点 G，连接 EF，将△EFG 沿 EF 翻折，得到△EFH．
（1）求证：△DEF 是等腰直角三角形；
（2）当点 H 恰好落在线段 BC 上时，求 EH 的长；
（3）设点 E 运动的时间为 t 秒，△EFG 的面积为 S，求 S 关于时间 t 的关系式．
【解析】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DAC=∠CAB=45°，
∴∠FDE=∠CAB，∠DFE=∠DAC，
∴∠FDE=∠DFE=45°，∴∠DEF=90°，
∴△DEF 是等腰直角三角形；
（2）设 OE=t，连接 OD，∴∠DOE=∠DAF=90°，
∵∠OED=∠DFA，∴△DOE∽△DAF，
∴OE
AF = OD
AD = 2
2
，∴AF= 2t ，
又∵∠AEF=∠ADG，∠EAF=∠DAG，
∴△AEF∽△ADG，∴AE
AD = AF
AG
，
∴AG · AE=AD · AF=4 2t ，
又∵AE=OA+OE=2 2 +t，
∴AG= 4 2t
2 2+t
，
∴EG=AE-AG= t2+8
2 2+t
，
当点 H 恰好落在线段 BC 上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°+45°=90°，
∴△ADF∽△BFH，
∴FH
FD = FB
AD = 4- 2t
4
，
∵AF∥CD，
∴FG
DF = 2t
4+ 2t
，
∴4- 2t
4 = 2t
4+ 2t
，
解得：t1= 10 - 2 ，t2= 10 + 2 （舍去），
∴EG=EH= t2+8
2 2+t
= ( 10- 2)2+8
2 2+ 10- 2
= 3 10 - 5 2 ；
（3）过点 F 作 FK⊥AC 于点 K，
由（2）得 EG= t2+8
2 2+t
，
∵DE=EF，∠DEF=90°，
∴∠DEO=∠EFK，
∴△DOE≌△EKF（AAS），
∴FK=OE=t，
∴S△EFG= 1
2EG · FK = t3+8t
4 2+2t
．
10.在矩形 ABCD 中，连结 AC，点 E 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 B→A→C 的路径运动，运动
时间为 t（秒）．过点 E 作 EF⊥BC 于点 F，在矩形 ABCD 的内部作正方形 EFGH．
（1）如图，当 AB＝BC＝8 时，
①若点 H 在△ABC 的内部，连结 AH、CH，求证：AH＝CH；
②当 0＜t≤8 时，设正方形 EFGH 与△ABC 的重叠部分面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式；
（2）当 AB＝6，BC＝8 时，若直线 AH 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分，求 t 的值．
【解析】（1）①如图 1 中，
∵四边形 EFGH 是正方形，AB＝BC，
∴BE＝BG，AE＝CG，∠BHE＝∠BGH＝90°，
∴∠AEH＝∠CGH＝90°，
∵EH＝HG，
∴△AEH≌△CGH（SAS），
∴AH＝CH．
②如图 1 中，当 0＜t≤4 时，重叠部分是正方形 EFGH，S＝t2．
如图 2 中，当 4＜t≤8 时，重叠部分是五边形 EFGMN，S＝S△ABC﹣S△AEN﹣S△CGM＝ ×8×8﹣2× （8﹣t）2
＝﹣t2+32t﹣32．
综上所述，S＝ ．
（2）如图 3﹣1 中，延长 AH 交 BC 于 M，当 BM＝CM＝4 时，直线 AH 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两
部分．
∵EH∥BM，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴t＝ ．
如图 3﹣2 中，延长 AH 交 CD 于 M 交 BC 的延长线于 K，当 CM＝DM＝3 时，直线 AH 将矩形 ABCD 的面
积分成 1：3 两部分，易证 AD＝CK＝8，
∵EH∥BK，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴t＝ ．
如图 3﹣3 中，当点 E 在线段 AC 上时，延长 AH 交 CD 于 M，交 BC 的延长线于 N．当 CM＝DM 时，直线
AH 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分，易证 AD＝CN＝8．
在 Rt△ABC 中，AC＝ ＝10，
∵EF∥AB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EF＝ （16﹣t），
∵EH∥CN，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得 t＝ ．
综上所述，满足条件的 t 的值为 s 或 s 或 s．
11.在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（6，0），点 B 在 y 轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形 CODE 的
顶点 D，E，C 分别在 OA，AB，OB 上，OD＝2．
（Ⅰ）如图①，求点 E 的坐标；
（Ⅱ）将矩形 CODE 沿 x 轴向右平移，得到矩形 C′O′D′E′，点 C，O，D，E 的对应点分别为 C′，O′，D′，E′．设
OO′＝t，矩形 C′O′D′E′与△ABO 重叠部分的面积为 S．
①如图②，当矩形 C′O′D′E′与△ABO 重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与 AB 相交于点 M，F，试用含
有 t 的式子表示 S，并直接写出 t 的取值范围；
②当 ≤S≤5 时，求 t 的取值范围（直接写出结果即可）．
【解析】（Ⅰ）∵点 A（6，0），
∴OA＝6，
∵OD＝2，
∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，
∵四边形 CODE 是矩形，
∴DE∥OC，
∴∠AED＝∠ABO＝30°，
在 Rt△AED 中，AE＝2AD＝8，ED＝ ＝ ＝4 ，
∵OD＝2，
∴点 E 的坐标为（2，4 ）；
（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4 ，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，
∴∠E′FM＝∠ABO＝30°，
∴在 Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝ ＝ ＝ t，
∴S△MFE′＝ ME′•FE′＝ ×t× t＝ ，
∵S 矩形 C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4 ＝8 ，
∴S＝S 矩形 C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8 ﹣ ，
∴S＝﹣ t2+8 ，其中 t 的取值范围是：0＜t＜2；
②当 S＝ 时，如图③所示：
O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，
∵∠AO'F＝90°，∠AFO'＝∠ABO＝30°，
∴O'F＝ O'A＝ （6﹣t）
∴S＝ （6﹣t）× （6﹣t）＝ ，
解得：t＝6﹣ ，或 t＝6+ （舍去），
∴t＝6﹣ ；当 S＝5 时，如图④所示：
O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，
∴O'G＝ （6﹣t），D'F＝ （4﹣t），
∴S＝ [ （6﹣t）+ （4﹣t）]×2＝5 ，
解得：t＝ ，
∴当 ≤S≤5 时，t 的取值范围为 ≤t≤6﹣ ．
12.如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一点，以 DE 为边作正方形 DEFG，DF 与 BC 交于点 M，
延长 EM 交 GF 于点 H，EF 与 GB 交于点 N，连接 CG.（1）求证：CD⊥CG；（2）若 tan∠MEN=
3
1 ，求
EM
MN
的值；（3）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在运动过程中，EM 的长能否为
2
1 ？请说明理由.
【解析】（1）证明：在正方形 ABCD，DEFG 中，
DA=DC，DE=DG，∠ADC=∠EDG=∠A=90°（1 分）
∴∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC，即∠ADE=∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS）（2 分）
∴∠DCG=∠A=90°，∴CD⊥CG（3 分）
（2）解：∵CD⊥CG，DC⊥BC，∴G、C、M 三点共线
∵四边形 DEFG 是正方形，∴DG=DE，∠EDM=∠GDM=45°，又∵DM=DM
∴△EDM≌△GDM，∴∠DME=∠DMG（4 分）
又∠DMG=∠NMF，∴∠DME=∠NMF，又∵∠EDM=∠NFM=45°
∴△DME∽△FMN，∴
DM
FM
ME
MN （5 分）
又∵DE∥HF，∴
DM
FM
ED
HF ，又∵ED=EF，∴
EF
HF
ME
MN （6 分）
在 Rt△EFH 中，tan∠HEF=
3
1
EF
HF ，∴
3
1
ME
MN （7 分）
（3）设 AE=x，则 BE=1-x，CG=x，设 CM=y，则 BM=1-y，EM=GM=x+y（8 分）
在 Rt△BEM 中， 222 EMBMBE ，∴ 222 )()1()1( yxyx ，
解得
1
1
x
xy （9 分）
∴
1
12
x
xyxEM ，若
2
1EM ，则
2
1
1
12
x
x ，
化简得： 012 2 xx ，△=-7＜0，∴方程无解，故 EM 长不可能为
2
1 .
13.如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 BA 延长线上的一点，连接 PC 交 AD 于点 F，AP
＝FD．
（1）求 的值；
（2）如图 1，连接 EC，在线段 EC 上取一点 M，使 EM＝EB，连接 MF，求证：MF＝PF；
（3）如图 2，过点 E 作 EN⊥CD 于点 N，在线段 EN 上取一点 Q，使 AQ＝AP，连接 BQ，BN．将△AQB
绕点 A 旋转，使点 Q 旋转后的对应点 Q'落在边 AD 上．请判断点 B 旋转后的对应点 B'是否落在线段 BN 上，
并说明理由．
【解析】（1）设 AP＝FD＝a，∴AF＝2﹣a，
∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB∥CD，
∴△AFP∽△DFC，∴ ，
即 ，
∴a＝ ﹣1，
∴AP＝FD＝ ﹣1，
∴AF＝AD﹣DF＝3﹣
∴ ＝
（2）在 CD 上截取 DH＝AF
∵AF＝DH，∠PAF＝∠D＝90°，AP＝FD，
∴△PAF≌△HDF（SAS），
∴PF＝FH，
∵AD＝CD，AF＝DH，
∴FD＝CH＝AP＝ ﹣1，
∵点 E 是 AB 中点，
∴BE＝AE＝1＝EM，
∴PE＝PA+AE＝ ，
∵EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5，
∴EC＝ ，
∴EC＝PE，CM＝ ﹣1，
∴∠P＝∠ECP，
∵AP∥CD，
∴∠P＝∠PCD，
∴∠ECP＝∠PCD，且 CM＝CH＝ ﹣1，CF＝CF，
∴△FCM≌△FCH（SAS），
∴FM＝FH，
∴FM＝PF.
（3）若点 B'在 BN 上，如图，以 A 原点，AB 为 y 轴，AD 为 x 轴建立平面直角坐标系，
∵EN⊥AB，AE＝BE
∴AQ＝BQ＝AP＝ ﹣1
由旋转的性质可得 AQ＝AQ'＝ ﹣1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB＝ ﹣1，
∵点 B（0，﹣2），点 N（2，﹣1）
∴直线 BN 解析式为：y＝ x﹣2
设点 B'（x， x﹣2）
∴AB'＝ ＝2
∴x＝
∴点 B'（ ，﹣ ）
∵点 Q'（ ﹣1，0）
∴B'Q'＝ ≠ ﹣1
∴点 B 旋转后的对应点 B'不落在线段 BN 上．
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