一、选择题
1.下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转 90°得到，第 2019 个图案中箭头的指向
是（ ）
A．上方 B．右方 C．下方 D．左方
【答案】C
【解析】如图所示：每旋转 4 次一周，2019÷4＝504…3，
则第 2019 个图案中箭头的指向与第 3 个图案方向一致，箭头的指向是下方．
故选：C．
2.对于题目：“如图 1，平面上，正方形内有一长为 12、宽为 6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过
移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 n．”甲、乙、丙作了
自认为边长最小的正方形，先求出该边长 x，再取最小整数 n．
甲：如图 2，思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 n＝13．
乙：如图 3，思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 n＝14．
丙：如图 4，思路是当 x 为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去；结果取 n＝13．
下列正确的是（ ）
A．甲的思路错，他的 n 值对
B．乙的思路和他的 n 值都对
C．甲和丙的 n 值都对
D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对
【答案】B
【解析】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为 n＝14；
乙的思路与计算都正确；
乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；
故选：B．
3.如图，在平面直角坐标系中，点 A1、A2、A3…An 在 x 轴上，B1、B2、B3…Bn 在直线 y＝ x 上，若 A1（1，
0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记
为 S1、S2、S3…Sn．则 Sn 可表示为（ ）
A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3
【答案】D
【解析】
∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1 都是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1 都是等边
三角形，
∵直线 y＝ x 与 x 轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1，
∵A1（1，0），
∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，
∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，
易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，
∴B1B2＝ ，B2B3＝2 ，…，BnBn+1＝2n ，
∴S1＝ ×1× ＝ ，S2＝ ×2×2 ＝2 ，…，Sn＝ ×2n﹣1×2n ＝ ；
故选：D．
4.如图，在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为 2 米，圆心角为120 的 AB 多次复制并首
尾连接而成．现有一点 P 从 (A A 为坐标原点）出发，以每秒 2
3
米的速度沿曲线向右运动，则在第 2019 秒
时点 P 的纵坐标为 ( )
A． 2 B． 1 C．0 D．1
【答案】B
【解析】点运动一个 AB 用时为 120 2 2 2180 3
秒．
如图，作 CD AB 于 D ，与 AB 交于点 E ．
在 Rt ACD 中， 90ADC ， 1 602ACD ACB ，
30CAD ，
1 1 2 12 2CD AC ，
2 1 1DE CE CD ，
第 1 秒时点 P 运动到点 E ，纵坐标为 1；
第 2 秒时点 P 运动到点 B ，纵坐标为 0；
第 3 秒时点 P 运动到点 F ，纵坐标为 1 ；
第 4 秒时点 P 运动到点 G ，纵坐标为 0；
第 5 秒时点 P 运动到点 H ，纵坐标为 1；
，
点 P 的纵坐标以 1，0， 1 ，0 四个数为一个周期依次循环，
2019 4 504 3 ，
第 2019 秒时点 P 的纵坐标为是 1 ．
故选：B．
5.如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1，
依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019 的坐标是（ ）
A．（ ，﹣ ） B．（1，0） C．（﹣ ，﹣ ） D．（0，﹣1）
【答案】A
【解析】∵四边形 OABC 是正方形，且 OA＝1，
∴A（0，1），
∵将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1，
∴A1（ ， ），A2（1，0），A3（ ，﹣ ），…，
发现是 8 次一循环，所以 2019÷8＝252…余 3，
∴点 A2019 的坐标为（ ，﹣ ）
故选：A．
6.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点 O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方
向依次不断移动，每次移动 1 个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点 A1，第二次移动到点 A2……
第 n 次移动到点 An，则点 A2019 的坐标是（ ）
A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）
【答案】C
【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，
2019÷4＝504…3，
所以 A2019 的坐标为（504×2+1，0），
则 A2019 的坐标是（1009，0）．
故选：C．
7.按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第 n 个单项式是（ ）
A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1 B．（﹣1）nx2n﹣1
C．（﹣1）n﹣1x2n+1 D．（﹣1）nx2n+1
【答案】A
【解析】∵x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，
﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，
x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，
﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，
x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，
……
由上可知，第 n 个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，
故选：A．
8.如图，过点 A0（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l：y＝ x 于点 A1，过点 A1 作直线 l 的垂线，交 y 轴于点
A2，过点 A2 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 A3，…，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，
其面积分别记为 S1，S2，S3，…，则 S100 为（ ）
A．（ ）100 B．（3 ）100 C．3 ×4199 D．3 ×2395
【答案】D
【解析】∵点 A0 的坐标是（0，1），
∴OA0＝1，
∵点 A1 在直线 y＝ x 上，
∴OA1＝2，A0A1＝ ，
∴OA2＝4，
∴OA3＝8，
∴OA4＝16，
得出 OAn＝2n，
∴AnAn+1＝2n• ，
∴OA198＝2198，A198A199＝2198• ，
∵S1＝ （4﹣1）• ＝ ，
∵A2A1∥A200A199，
∴△A0A1A2∽△A198A199A200，
∴ ＝（ ）2，
∴S＝2396• ＝3 ×2395
故选：D．
9.如图，在△OAB 中，顶点 O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕
点 O 顺时针旋转，每次旋转 90°，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为（ ）
A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10）
【答案】D
【解析】∵A（﹣3，4），B（3，4），
∴AB＝3+3＝6，
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AD＝AB＝6，
∴D（﹣3，10），
∵70＝4×17+2，
∴每 4 次一个循环，第 70 次旋转结束时，相当于△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转 2
次，每次旋转 90°，
∴点 D 的坐标为（3，﹣10）．
故选：D．
10.如图，小聪用一张面积为 1 的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第 2019 次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A．22019 B． C． D．
【答案】C
【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积 ，
第二次：余下面积 ，
第三次：余下面积 ，
当完成第 2019 次操作时，余下纸片的面积为 ，
故选：C．
二、填空题
11.在平面直角坐标系中，直线 l：y＝x+1 与 y 轴交于点 A1，如图所示，依次作正方形 OA1B1C1，正方形 C1A2B2C2，
正方形 C2A3B3C3，正方形 C3A4B4C4，……，点 A1，A2，A3，A4，……在直线 l 上，点 C1，C2，C3，C4，……
在 x 轴正半轴上，则前 n 个正方形对角线长的和是 ．
【答案】 （2n﹣1）
【解析】由题意可得，
点 A1 的坐标为（0，1），点 A2 的坐标为（1，2），点 A3 的坐标为（3，4），点 A4 的坐标为（7，8），……，
∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，
∴前 n 个正方形对角线长的和是： （OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An）＝ （1+2+4+8+…+2n﹣1），
设 S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则 2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，
则 2S﹣S＝2n﹣1，
∴S＝2n﹣1，
∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，
∴前 n 个正方形对角线长的和是： ×（2n﹣1），
故答案为： （2n﹣1），
12.如图所示，在平面直角坐标系 xoy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点 O，它们的半径分别为 1，2，3，…，
按照“加 1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与 x 轴垂直，相邻两直线的间距为 l，其中 l0 与 y 轴
重合若半径为 2 的圆与 l1 在第一象限内交于点 P1，半径为 3 的圆与 l2 在第一象限内交于点 P2，…，半径为
n+1 的圆与 ln 在第一象限内交于点 Pn，则点 Pn 的坐标为 ．（n 为正整数）
【答案】（n, 2n+1 ）
【解析】连接 OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3 与 x 轴分别交于 A1、A2、A3，如图所示：
在 Rt△OA1P1 中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝ ＝ ＝ ，
同理：A2P2＝ ＝ ，A3P3＝ ＝ ，……，
∴P1 的坐标为（ 1， ），P2 的坐标为（ 2， ），P3 的坐标为（3， ），……，
…按照此规律可得点 Pn 的坐标是（n， ），即（n，2n+1 ）
故答案为：（n，2n+1 ）．
13.如图，由两个长为 2，宽为 1 的长方形组成“7”字图形。
（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形 ABCDEF，其中顶点 A 位于 x 轴上，
顶点 B，D 位于 y 轴上，O 为坐标原点，则 OB
OA
的值为 ．
（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点 F1，摆放第三个“7”字图形得顶点 F2，依此类推，…，
摆放第 a 个“7”字图形得顶点 Fn-1，…，则顶点 F2019 的坐标为 ．
【答案】（1) 1
2
（2）（ 6062 5
5 , 405 5 ）
【解析】(1)依题意可得，CD=1，CB=2
∵∠BDC+∠DBC=90° ，∠OBA+∠DBC=90°
∴∠BDC=∠OBA
又∠DCB=∠BOA=90°
∴△DCB ∽ △ BOA
∴DC
CB=OB
OA=1
2
根据题意标好字母，如图所示
依题意可得 CD=1，CB=2，BA=1∴BD= 5
由（1）知DC
CB=OB
OA=1
2
，∴OB= 5
5 ,OA=2 5
5
易得△OAB ∽ △ GFA ∽ △ HCB
∴BH=4 5
5
，CH=2 5
5
，AG=3 5
5
，FG=6 5
5
∴OH=4 5
5 + 5
5 = 5 ，OG=3 5
5 +2 5
5 = 5
∴C（2 5
5
，5 ）．F（ 5 ，6 5
5
）
∴由点 C 到点 F 横坐标增加了3 5
5
，纵坐标增加了 5
5
，
……
∴，Fn( 5 +3 5
5 n, 6 5
5 + 5
5 n)
∴F2019（ 5 +3 5
5 ×2019, 6 5
5 + 5
5 ×2019)
即 F2019（6062 5
5 , 405 5 )
14.如图，在矩形 ABCD 中， 8AB ， 4BC ，一发光电子开始置于 AB 边的点 P 处，并设定此时为发光电
子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 PR 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和
入射角都等于 45，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过 2019 次后，则它与 AB 边的碰撞次数是 ．
【答案】672
【解析】如图，
根据图形可以得到：每 6 次反弹为一个循环组依次循环，经过 6 次反弹后动点回到出发点 (6,0) ，且每次循
环它与 AB 边的碰撞有 2 次，
2019 6 336 3 ，
当点 P 第 2019 次碰到矩形的边时为第 337 个循环组的第 3 次反弹，点 P 的坐标为 (6,4)
它与 AB 边的碰撞次数是 336 2 672 次，故答案为 672
15.正方形 1 1 1 2A B C A ， 2 2 2 3A B C A ， 3 3 3 4A B C A ， 按如图所示的方式放置，点 1A ， 2A ， 3A ，和点 1B ， 2B ，
3B ，分别在直线 ( 0)y kx b k 和 x 轴上．已知点 1(0,1)A ，点 1(1,0)B ，则 5C 的坐标是 ．
【答案】(47,16)
【解析】由题意可知 1A 纵坐标为 1， 2A 的纵坐标为 2， 3A 的纵坐标为 4， 4A 的纵坐标为 8，，
1A 和 1C ， 2A 和 2C ， 3A 和 3C ， 4A 和 4C 的纵坐标相同，
1C ， 2C ， 3C ， 4C ， 5C 的纵坐标分别为 1，2，4，8，16，
根据图象得出 1(2,1)C ， 2 (5,2)C ， 3 (11,4)C ，
直线 1 2C C 的解析式为 1 1
3 3y x ，
5A 的纵坐标为 16，
5C 的纵坐标为 16，
把 16y 代入 1 1
3 3y x ，解得 47x ，
5C 的坐标是 (47,16) ，
故答案为 (47,16) ．
三、解答题
16.
（1）阅读理解
如图，点 A，B 在反比例函数 y＝ 的图象上，连接 AB，取线段 AB 的中点 C．分别过点 A，C，B 作 x 轴
的垂线，垂足为 E，F，G，CF 交反比例函数 y＝ 的图象于点 D．点 E，F，G 的横坐标分别为 n﹣1，n，
n+1（n＞1）．
小红通过观察反比例函数 y＝ 的图象，并运用几何知识得出结论：
AE+BG＝2CF，CF＞DF
由此得出一个关于 ， ， ，之间数量关系的命题：
若 n＞1，则 ．
（2）证明命题小东认为：可以通过“若 a﹣b≥0，则 a≥b”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若 a＞0，b＞0，且 a÷b≥1，则 a≥b”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明（1）中的命题．
【解析】（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝ ，BG＝ ，DF＝ ，
∴ + ＞ ．
故答案为： + ＞ ．
（2）方法一：∵ + ﹣ ＝ ＝ ，
∵n＞1，
∴n（n﹣1）（n+1）＞0，
∴ + ﹣ ＞0，
∴ + ＞ ．
方法二：∵ ＝ ＞1，
∴ + ＞ ．
17.
（1）方法选择
如图①，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接 AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．
小颖认为可用截长法证明：在 DB 上截取 DM＝AD，连接 AM…
小军认为可用补短法证明：延长 CD 至点 N，使得 DN＝AD…
请你选择一种方法证明．
（2）类比探究
探究 1
如图②，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接 AC，BD，BC 是⊙O 的直径，AB＝AC．试用等式表示
线段 AD，BD，CD 之间的数量关系，井证明你的结论．
探究 2
如图③，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接 AC，BD．若 BC 是⊙O 的直径，∠ABC＝30°，则线段
AD，BD，CD 之间的等量关系式是 ．
（3）拓展猜想
如图④，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接 AC，BD．若 BC 是⊙O 的直径，BC：AC：AB＝a：b：
c，则线段 AD，BD，CD 之间的等量关系式是 ．
【解析】（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
如图①，在 BD 上截取 DEMAD，连接 AM，
∵∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴△ADM 是等边三角形，
∴AM＝AD，
∵∠ABM＝∠ACD，
∵∠AMB＝∠ADC＝120°，
∴△ABM≌△ACD（AAS），
∴BM＝CD，
∴BD＝BM+DM＝CD+AD；
（2）类比探究：如图②，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
过 A 作 AM⊥AD 交 BD 于 M，
∵∠ADB＝∠ACB＝45°，
∴△ADM 是等腰直角三角形，
∴AM＝AD，∠AMD＝45°，
∴DM＝ AD，
∴∠AMB＝∠ADC＝135°，
∵∠ABM＝∠ACD，
∴△ABM≌△ACD（AAS），
∴BM＝CD，
∴BD＝BM+DM＝CD+ AD；
探究 2 如图③，∵若 BC 是⊙O 的直径，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，
过 A 作 AM⊥AD 交 BD 于 M，
∵∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴MD＝2AD，
∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，
∴△ABM∽△ACD，
∴ ＝ ，
∴BM＝ CD，
∴BD＝BM+DM＝ CD+2AD；
故答案为：BD＝ CD+2AD；
（3）拓展猜想：BD＝BM+DM＝ CD+ AD；
理由：如图④，∵若 BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，
过 A 作 AM⊥AD 交 BD 于 M，
∴∠MAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAC，
∴△ABM∽△ACD，
∴ ＝ ，
∴BM＝ CD，
∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°，
∴△ADM∽△ACB，
∴ ＝ ＝ ，
∴DM＝ AD，
∴BD＝BM+DM＝ CD+ AD．
故答案为：BD＝ CD+ AD
18.（1）如图 1，在平行四边形 ABCD 中， 30A ， 6AB ， 8AD ，将平行四边形 ABCD 分割成两部
分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）
（2）若将一边长为 1 的正方形按如图 2 1 所示剪开，恰好能拼成如图 2 2 所示的矩形，则 m 的值是多少？
（3）四边形 ABCD 是一个长为 7，宽为 5 的矩形（面积为 35) ，若把它按如图 3 1 所示的方式剪开，分成
四部分，重新拼成如图3 2 所示的图形，得到一个长为 9，宽为 4 的矩形（面积为36) ．问：重新拼成的图
形的面积为什么会增加？请说明理由．
【解析】（1）如图所示：
（2）依题意有
1 1
1
m
m m
，
解得 1
1 5
2m ， 2
1 5
2m （负值舍去），
经检验， 1
1 5
2m 是原方程的解．
故 m 的值是 1 5
2
；
（3） 7 3
7 2 4
，
直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上，
故重新拼成的图形的面积会增加．
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