一、选择题
1.从﹣1，1，2，4 四个数中任取两个不同的数（记作 ak，bk）构成一个数组 MK＝{ak，bk}（其中 k＝1，2…S，
且将{ak，bk}与{bk，ak}视为同一个数组），若满足：对于任意的 Mi＝{ai，bi}和 Mj＝{ai，bj}（i≠j，1≤i≤S，
1≤j≤S）都有 ai+bi≠aj+bj，则 S 的最大值（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【解析】∵﹣1+1＝0，﹣1+2＝1，﹣1+4＝3，1+2＝3，1+4＝5，2+4＝6，
∴ai+bi 共有 5 个不同的值．
又∵对于任意的 Mi＝{ai，bi}和 Mj＝{ai，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有 ai+bi≠aj+bj，
∴S 的最大值为 5．
故选：C．
2. a 是不为 1 的有理数，我们把 称为 a 的差倒数，如 2 的差倒数为 ＝﹣1，﹣1 的差倒数
＝ ，已知 a1＝5，a2 是 a1 的差倒数，a3 是 a2 的差倒数，a4 是 a3 的差倒数…，依此类推，a2019 的值是（ ）
A．5 B．﹣ C． D．
【答案】D
【解析】分析根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每 3 个数为一个循环组依次循环，用 2019
除以 3，根据余数的情况确定出与 a2019 相同的数即可得解．
∵a1＝5，
a2＝ ＝ ＝﹣ ，
a3＝ ＝ ＝ ，
a4＝ ＝ ＝5，
…
∴数列以 5，﹣ ， 三个数依次不断循环，
∵2019÷3＝673，
∴a2019＝a3＝ ，
故选：D．
3.定义新运算：
( 0)
( 0)
p qqp q p qq
，例如： 33 5 5
， 33 ( 5) 5
，则 2 ( 0)y x x 的图象是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】分析根据题目中的新定义，可以写出 2y x 函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题
得以解决．
( 0)
( 0)
p qqp q p qq
，
2 ( 0)
2 2 ( 0)
xxy x
xx
，
故选：D．
二、填空题
4.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例： 即 4+3＝7
则（1）用含 x 的式子表示 m＝ ；
（2）当 y＝﹣2 时，n 的值为 ．
【答案】3x;1
【解析】（1）根据约定的方法可得：
m＝x+2x＝3x；
故答案为：3x；
（2）根据约定的方法即可求出 n
x+2x+2x+3＝m+n＝y．
当 y＝﹣2 时，5x+3＝﹣2．
解得 x＝﹣1．
∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．
故答案为：1．
5.对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当 n 为非负整数时，若 n﹣0.5≤x＜n+0.5，则（x）＝n．如
（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5x﹣1）＝6，则实数 x 的取值范围是 ．
【答案】13≤x＜15
【解析】依题意得：6﹣0.5≤0.5x﹣1＜6+0.5
解得 13≤x＜15．
故答案是：13≤x＜15．
6.对于实数 a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则 m
＝ ．
【答案】﹣3 或 4
【解析】根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，
（2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，
2m﹣1+7＝0 或 2m﹣1﹣7＝0，
所以 m1＝﹣3，m2＝4．
故答案为﹣3 或 4．
7.定义：a*b＝ ，则方程 2*（x+3）＝1*（2x）的解为 ．
【答案】x＝1
【解析】2*（x+3）＝1*（2x），
＝ ，
4x＝x+3，
x＝1，
经检验：x＝1 是原方程的解，
故答案为：x＝1．
8.规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面
四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分
别相等的四边形是广义菱形；④若 M、N 的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P 是二次函数 y＝ x2 的图象
上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线 y＝﹣1 于点 Q，则四边形 PMNQ 是广义菱形．其中正确的
是 ．（填序号）
【答案】①②③
【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点 P（m， m2），则 Q（m，﹣1），
∴MP＝ ＝ ，PQ＝ +1，
∵点 P 在第一象限，
∴m＞0，
∴MP＝ +1，
∴MP＝PQ，
又∵MN∥PQ，
∴四边形 PMNQ 是广义菱形．
④正确；
故答案为①②③；
9.探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ．
【答案】n﹣1
【解析】由题意“分数墙”的总面积＝2× +3× +4× +…+n× ＝n﹣1，
故答案为 n﹣1．
10.已知点 0(P x ， 0 )y 到直线 y kx b 的距离可表示为 0 0
2
| |
1
kx b yd
k
，例如：点 (0,1) 到直线 2 6y x 的
距离
2
| 2 0 6 1| 5
1 2
d
．据此进一步可得两条平行线 y x 和 4y x 之间的距离为 ．
【答案】 2 2
【解析】当 0x 时， 0y x ，即点 (0,0) 在直线 y x 上，
因为点 (0,0) 到直线 4y x 的距离为：
2
| 0 4 0 | 4 2 2
21 1
d
，
因为直线 y x 和 4y x 平行，
所以这两条平行线之间的距离为 2 2 ．
故答案为 2 2 ．
11.阅读材料：设 ＝（x1，y1）， ＝（x2，y2），如果 ∥ ，则 x1•y2＝x2•y1，根据该材料填空，已知 ＝（4，
3）， ＝（8，m），且 ∥ ，则 m＝ ．
【答案】6
【解析】∵ ＝（4，3）， ＝（8，m），且 ∥ ，
∴4m＝3×8，
∴m＝6；
故答案为 6；
12.如图，将一等边三角形的三条边各 8 等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号 0、1、
2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为 8 的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在
建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点
的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点 A 的坐标可表示为（1，2，5），点 B 的坐标可表示为
（4，1，3），按此方法，则点 C 的坐标可表示为 ．
【答案】（2，4，2）
【解析】根据题意得，点 C 的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
13.已 知： [ ]x 表 示不 超过 x 的 最大 整数 ．例 ： [4.8] 4 ， [ 0.8] 1 ． 现定 义： { } [ ]x x x ， 例：
{1.5} 1.5 [1.5] 0.5 ，则{3.9} { 1.8} {1} ．
【答案】0.7
【解析】根据题意可得：{ 3.9 }+{-1.8 }-{1}= 3.9 -3-1.8 +2-1+1= 0.7 ，
故答案为： 0.7
14.一般地，如果 x4＝a（a≥0），则称 x 为 a 的四次方根，一个正数 a 的四次方根有两个．它们互为相反数，
记为± ，若 ＝10，则 m＝ ．
【答案】±10
【解析】∵ ＝10，
∴m4＝104，
∴m＝±10．
故答案为：±10
15.已知 2( ) 1f x x ，那么 ( 1)f ．
【答案】0
【解析】当 1x 时， 2( 1) ( 1) 1 0f ．
故答案为：0．
16.阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为 i2＝﹣1，这个数 i 叫做虚数单位，把形如 a+bi（a，
b 为实数）的数叫做复数，其中 a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式
的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝ ．
【答案】7﹣i
【解析】（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝2﹣i+4i﹣2i2+4+i2﹣4i
＝6﹣i﹣i2
＝6﹣i+1
＝7﹣i．
故答案为：7﹣i．
17.《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们
会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现
在我们来研究另一种特珠的自然数﹣“纯数”．
定义；对于自然数 n，在计算 n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数 n 为“纯数”，
例如：32 是”纯数”，因为计算 32+33+34 时，各数位都不产生进位；
23 不是“纯数”，因为计算 23+24+25 时，个位产生了进位．
（1）判断 2019 和 2020 是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于 100 的“纯数”的个数．
【解析】当 n＝2019 时，n+1＝2020，n+2＝2021，
∵个位是 9+0+1＝10，需要进位，
∴2019 不是“纯数”；
当 n＝2020 时，n+1＝2021，n+2＝2022，
∵个位是 0+1+2＝3，不需要进位，十位是 2+2+2＝6，不需要进位，百位为 0+0+0＝0，不需要进位，千位
为 2+2+2＝6，不需要进位，
∴2020 是“纯数”；
（2）由题意可得，
连续的三个自然数个位数字是 0，1，2，其他位的数字为 0，1，2，3 时，不会产生进位，
当这个数是一位自然数时，只能是 0，1，2，共三个，
当这个自然数是两位自然数时，十位数字是 1，2，3，个位数是 0，1，2，共九个，
当这个数是三位自然数是，只能是 100，
由上可得，不大于 100 的“纯数”的个数为 3+9+1＝13，
即不大于 100 的“纯数”的有 13 个．
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