江苏省海安实中、高邮一中、吴江中学、吴江高级中学四校2021届高三下学期联考数学试题(无答案)

海安实中 高邮一中 吴江中学 吴江高级中学 高三年级联考数学试卷 2021.03 本试卷共8页，22小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关 信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不 按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合  2log 1 , { 3 1 0}A x x B x x    ∣ ∣ ，则 A B  （ ） A． 1,23      B． 1,3     C． (0, ) D． R 2．复数 21 1 2 iz i    （ i 为复数单位）则z=（ ） A．1 B．2 C． 2 2 D． 2 3．在数列 na 中  * 1 1 2 1 1 , 2 n n n n N na a a      且 2020 2022 2 2,3 5a a  则 2023a  （ ） A． 7 2 B． 2 7 C． 1 3 D．3 4．设函数 3 3 1( ) log 1 xf x x x      ，则函数 ( )f x 的图像可能为（ ） A． B． C． D． 5．设 ,  为两个不同的平面， ,l m 为两条不同的直线，且 ,m l  ∥ ，则“ l m∥ ”是“  ” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知O 为 ABC 的外心，3 4 5 0OA OB OC     ，则 cos ABC 的值为（ ） A． 10 10 B． 5 5 C． 5 10 D． 10 5 7．学校举行羽毛球混合双打比赛，每队由一男一女两名运动员组成，某班级从3名男生 1 2 3, ,A A A 和4名女 生 1 2 3 4, , ,B B B B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则 1A 和 1B 两人 组成一队参加比赛的概率为（ ） A． 1 18 B． 2 9 C． 1 6 D． 4 9 8．若 ln 2 ln3 ln52 3 52 3 5 a b c     ，则（ ） A． ln5 ln 2 ln3c a b  B． ln 2 ln5 ln3a c b  C． ln3 ln5 ln 2b c a  D． ln 2 ln3 ln5a b c  二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知实数 0, 0, 1a b a b    ，则下列说法正确的是（ ） A． 1 1 4a b   B． 2 2 2 2a b  C． 2 2log log 1a b  D．存在 ,a b ，使得直线 1ax by  与圆 2 2 4x y  相切 10．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 是棱 1DD 的中点，F 在侧面 1 1CDD C 上运动，且满足 1 / /B F 面 1A BE 以下命题正确的有（ ） A．侧面 1 1CDD C 上存在点 F ，使得 1 1B F CD B．直线 1B F 与直线 BC 所成角可能为 30 C．平面 1A BE 与平面 1 1CDD C 所成锐二面角的正切值为 2 2 D．设正方体枝长为1，则过点 , ,E F A 的平面截正方体所得的截面面积最大为 5 2 11．已知函数 ( ) sin( )( )f x x N     在区间 ,12 12      和 7 25,4 12       上单调递增，则下列说法正确 的是（ ） A． 的最大值是3 B．方程 2( ) logf x x 在区间[0,2 ] 上至多有5个根 C．存在 和 使得 ( ) sin( )f x x   为偶函数 D．存在 和 使得 ( ) sin( )f x x   为奇函 数 12．在一张纸上有一个圆 2 2 2:( 2) ( 0)C x y r r    与点 ( ,0)( 2)M m m   ，折叠纸片，使圆C 上某一个 点 M  恰好与点 M 重合，这样的每次折法都会留下一条直线折痕 PQ ，设折痕与直线 M C 的交点为T ，则 下列说法正确的是（ ） A．当 2 2r m r      时，点T 的轨迹为椭圆 B．当 1, 2r m  时，点T 的轨迹方程为 2 2 13 yx   C．当 2,1 2m r   时，点T 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为[2,4] D．当 2 2, 2r m  时，点T 的轨迹上任取一点 S ，过 S 作直线 y x 的垂线，垂足为 N ，则 SON （O 为坐标原点）的面积为定值 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知 为锐角且 5cos 4 5      ，则 tan  __________． 14．已知正整数 7n  ，若 1 (1 )nx xx      的展开式中不含 4x 项，则 n 的值为_________． 15．已知函数 3 2 ln , 1( ) 2 3 1, 1 x xf x x x x      ，则 [ 1, ]x e  时， ( )f x 的最小值为__________． 设 2( ) [ ( )] ( )g x f x f x a   ，若函数 ( )g x 有6个零点，则实数 a 的取值范围是___________．（本题第一 空2分，第二空3分） 16．如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱的多面体”，其由两个全等且平行的正六边形作为基底， 侧面由12个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若某个正六角反棱柱各棱长均为1，则其外接球 的表面积为_________________． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 已知数列 na 满足 1 13, 2 1n na a a n    ， （1）求数列 na 的通项公式； （2）若数列 nc 满足   12 1 2 1 n n n n a nc     ，求数列 nc 的前 n 项和 nT 18．（本小题满分12分） 在 ABC 中，它的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 2 , 63B b  ． （1）若 2cos cos 3A C  ，且 ABC 的面积； （2）试问 1 1 1a c   能否成立？若能成立，求此时 ABC 的周长；若不能成立，请说明理由． 19．（本小题满分12分） 在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ，底面 ABCD 为直角梯形， / / , 90 , 1, 2BC AD ADC BC CD PA PD AD        ， E 为线段 AD 的中点，过 BE 的平面与 线段 ,PD PC 分别交于点 ,G F ． （1）求证：GF PA ； （2）在棱 PD上是否存在点 G ，使得直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正弦值为 21 7 ，若存在，请确定G 点的位置；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的右焦点为 (1,0)F ，且过点 ( 2,0)A  （1）求椭圆C 的方程； （2）点 ,P Q 分别在椭圆C 和直线 4x  上， ,OQ AP M∥ 为 AP 的中点，求证：直线 OM 与直线QF 的 交点在某定曲线上． 21．（本小题满分12分） 定向越野起源于欧洲，是一种借助地图，指南针，在一个划定的区域内，通过对地形地貌的判断．设计合 理路线到达各个目标点位，最后到达终点的运动，湖南青葵定向体育发展有限公司为了推广定向活动，对 学生群体进行定向越野的介绍和培训，并对初步了解了定向活动的学生是否会参加定向越野活动进行调 查．随机抽取了200位中小学生进行调查、得到如下数据：准备参加定向越野的小学生有80人，不准备参加 定向越野的小学生有40人，准备参加定向越野的中学生有40人． （1）完成下列 2 2 列联表，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这200位参与调查的中小学生是否 准备参加定向越野与中小学生年龄有关 准备参加定向越野 不准备参加定向越野 合计 小学生 中学生 合计 （2）为了储备定向后备力量，备战全国赛，提高会员定向水平．俱乐部将小学生会员分组进行比赛．两人 一组，每周进行一轮比赛，每小组两人每人跑两张地图（跑一张地图视为一次），达到教练设定的成绩标 准的次数之和不少于3次称为“优秀小组”．小超与小红同一小组，小超、小红达到教练设定的成绩标准的 概率分别为 1 2,p p ，且 1 2 4 3p p  ，理论上至少要进行多少轮比赛，才能使得小超、小红小组在比赛中获 得“优秀小组”次数的期望值达到16次？并求此时 1 2,p p 的值． 附： 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b a c c d b d          2 0P K k 0.50 0.25 0.05 0.025 0.010 0k 0.455 1.323 3.840 5.024 6.635 22．（本小题满分12分） 设 ( 2)( ) ln( 1), ( ) ,a xf x x g x ax    是常数 （1）当 2x  时，若 ( ) ( )f x g x 恒成立，求 a 的取值范围； （2）当 0x  时，证明不等式： 2 2ln( 1) 2 x xe x x x     ．