第 1 讲 平面向量的运算与数量积
考点 1 平面向量的概念及线性运算
例 1.(1)(多选)如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E 为 BC 边上一点，
且 3BC EC ，F 为 AE 的中点，则（ ）
A． 1
2BC AB AD B． 1 1
3 3AF AB AD
C． 2 1
3 3BF AB AD D． 1 2
6 3CF AB AD
【答案】ABC
【解析】∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，
由向量加法的三角形法则得
BC BA AD DC 1
2AB AD AB 1
2 AB AD ，A 对；
∵ 3BC EC ，∴ 2
3BE BC 1 2
3 3AB AD ，
∴ AE AB BE 1 2
3 3AB AB AD
2 2
3 3AB AD ，
又 F 为 AE 的中点，∴ 1
2AF AE 1 1
3 3AB AD ，B 对；
∴ BF BA AF 1 1
3 3AB AB AD 2 1
3 3AB AD ，C 对；
∴CF CB BF BF BC 2 1
3 3AB AD 1
2 AB AD
1 2
6 3AB AD ，D
错；故选：ABC．
【点睛】本题考查了平面向量的概念以及线性运算,涉及三角形法则.
(2)已知向量 (1,1),a
( 1,3),b
(2,1)c ，且 ( ) //a b c ，则 （ ）
A．3 B．-3 C． 1
7
D． 1
7
【答案】C
【解析】由题意 (1 ,1 3 )a b ，∵ ( ) //a b c ，∴ 2(1 3 ) 1 ，解得 1
7
．
故选：C.
【点睛】本题考查了平面向量坐标线性运算.
【跟踪演练】1.(1)(多选)如图，B 是 AC 的中点， 2BE OB ，P 是平行四边形 BCDE 内（含
边界）的一点，且 ,OP xOA yOB x y R ，则下列结论正确的为（ ）
A．当 0x 时， 2,3y
B．当 P 是线段CE 的中点时， 1
2x ， 5
2y
C．若 x y 为定值 1，则在平面直角坐标系中，点 P 的轨迹是一条线段
D． x y 的最大值为 1
【答案】BCD
【解析】当 0x 时，OP yOB
，则 P 在线段 BE 上，故1 3y ，故 A 错
当 P 是线段CE 的中点时， 13 ( )2OP OE EP OB EB BC
1 1 53 ( 2 )2 2 2OB OB AB OA OB ，故 B 对
x y 为定值 1 时， A ， B ， P 三点共线，又 P 是平行四边形 BCDE 内（含边界）的一点，
故 P 的轨迹是线段，故 C 对
如图，过 P 作 / /PM AO ，交OE 于 M ，作 / /PN OE ，交 AO 的延长线于 N ，则：
OP ON OM ；
又OP xOA yOB
uuur uur uuur ； 1,0 yx ；
由图形看出，当 P 与 B 重合时： 0 1OP OA OB
uuur uur uuur ；
此时 x 取最大值 0， y 取最小值 1；所以 x y 取最大值 1 ，故 D 正确故选：BCD
(2)已知向量 1,2a ， 4, 7b ，若 //a c
r r
， a b c
，则 c
______．
【答案】 2 5
【解析】设 ( , )c x y= ，则 ( 4, 7)b c x y ，
因为 //a c
r r
， a b c
， 1,2a ， 4, 7b ，
所以 2
4 2( 7) 0
y x
x y
，解得 2
4
x
y
，
所以 (2,4)c ，所以 2 22 4 2 5c
。
考点 2 共线定理与平面向量基本定理
例 2.(1)在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别满足 1
2BE BC ， 1
3DF DC ．若
BD AE
AF ，则实数 ＋ 的值为（ ）
A． 1
5
B． 1
5
C． 7
5
D． 7
5
【答案】B
【解析】由题意，设 AB a AD b
， ，则在平行四边形 ABCD 中，
因为 1
2BE BC ， 1
3DF DC ，所以点 E 为 BC 的中点，点 F 在线段 DC 上，且 2CF DF ，
所以 1 1
2 3AE a b AF a b ， ，
又因为 BD AE AF ，且 BD AD AB b a ，
所以 1 1 1 1
2 3 3 2a b AE AF a b a b a b
，
所以
1 13
1 12
，解得
8
5
9
5
，所以 1
5
。故选：B.
【点睛】本题考查了平面向量基本定理,平面向量的基本定理的实质及应用思路：
1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的
加、减或数乘运算；
2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条
件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
(2)已知点 O 是 ABC 内一点，且满足 42 0, 7
AOB
ABC
SOA OB mOC S
，则实数 m 的值为
（ ）
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】】由 2OA OB mOC 得： 1 2
3 3 3
mOA OB OC
设
3
m OC OD ，则 1 2
3 3OA OB OD
, ,A B D 三点共线
如下图所示：
OC
与OD
uuur 反向共线， 0m ,
3
OD m
OC
3
313
m
OD m
m mCD
73
4AOB
ABC D
S OD
mS
m
C
4m .故选：D.
【点睛】本题考查向量共线定理的应用.
【跟踪演练】2.
(1)如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ， E 为 AO 的中点，若
,DE AB AD R ，则 等于（ ）
A． 3
16
B． 3
16
C． 1
2
D． 1
2
【答案】A
【解析】 E 为 AO 的中点，且 O 为 AC 的中点，所以，
1 1 1
2 4 4AE AO AC AB AD
uuur uuur uuur uuur uuur
，
1 1 3
4 4 4DE AE AD AB AD AD AB AD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
， 1
4
， 3
4
.
因此， 1 3 3
4 4 16
，故选:A。
(2) 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序
时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由 4 个全等的直角
三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图
形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设
2DF AF ，则（ ）
A. 2 9
13 13AD AC AB B. 2 1
9 27AD AC AB
C. 3 6
13 13AD AC AB D. 3 9
13 13AD AC AB
【答案】D
【解析】设 2 2DF AF ，因此 1BD AF ，又由题意可得 ADB 120 ，
所以 2 2 2 2 22 ADB 3 1 6 120 13AB AD BD AD BD cos cos ，
因此 13AB ；
延长 AD 交 BC 于 M ，
记 DAB θ ， AMB α ，则
2 2 2 9 13 1 7 13cos DAB 2 266 13
AD AB BD
AD AB
，
所以 2 39sin DAB 1 DAB 26cos ；
又由题意易知 DAB DBM ，则 α 120 θ ，
在三角形 DBM 中，由正弦定理可得
MDB sin DBM sin DMB
BM DM BD
sin ，
即
1
60 sinθ sin 120 θ
BM DM
sin
，因此
3
60 13 12
sin 120 θ 4 43 1
2 2
sinBM BC
cos sin
，
sinθ sinθ 1
sin 120 θ 43 1
2 2
DM
cos sin
，
所以
3 12
1 133 4
AD AM AM
，
因为 1
4BM BC ，所以 1
4BM BC ，即 1
4AM AB AC AB ，
整理得 3 1
4 4AM AB AC ，所以 12 12 3 1 9 3
13 13 4 4 13 13AD AM AB AC AB AC
.
故选:D.
【点睛】本题考查解三角形以及平面向量基本定理，熟记正弦定理和余弦定理、以及平面向
量基本定理即可.
考点 3 平面向量的数量积
例 3.(1)如图，在梯形 ABCD 中，已知 //AB CD ，AB BD ，M 为 AD 的中点，MB BC ，
2 2AD BD ，则 AB MC （ ）
A．1 B． 5
2
C．3 D． 3
2
【答案】B
【解析】因为 AB BD ， M 为 AD 的中点， 2 2AD BD ，
所以 2 2 3AB AD BD ， 1 12BM AD ，则 BMD 为等边三角形，
所以
3MBD ，
又 MB BC ，所以
6CBD ，则 2
2 6 3ABC ，
因为 //AB CD ， AB BD ，所以 CD BD ，即 BCD△ 为直角三角形，
所以
2 33cos 6
BDBC ，
因此
1 1
2 2AB MC AB BC ABM BAB BBC D
21 1 2 2 3 53 3 cos2 2 3 3 2 2AB BC AB AB BD ,故选：B.
【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，常见有四种途径：
①利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；
②利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；
③利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算
可归结为基底向量的数量积的计算；
④靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应
的向量．
(2)如图，在四边形 ABCD 中， 60B ， 2AB ， 6BC ， 1AD ，若 M，N 是线段 BC
上的动点，且| | 1MN ，则 DM DN 的取值范围为_________．
【答案】 11,154
【解析】如图，建立平面直角坐标系， 1, 3A ， 2, 3D ， ,0M x ， 1,0N x ，
2, 3DM x
， 1, 3DN x
， 0,5x ，
21 2 3 3 5DM DN x x x x
23 11
2 4x
，当 3
2x 时，取得最小值11
4
，当 5x 时，取得最大值15 ，
所以 DM DN 的取值范围为 11,154
故答案为： 11,154
【点睛】本题考查了建立直角坐标系，利用坐标法解决数量积的范围问题.
【跟踪演练】3.
(1)已知向量 a ，b 满足 2a a b ，且 1a ， 2b ，则 a 与 b 的夹角为（ ）．
A. π
6
B. π
2
C. 5π
6
D. 2π
3
【答案】D
【解析】 ( ) 2a a b
2| | | || | cos 2a a b ，即 1cos 2
[0, ] ， 2
3
,故选：D
(2)已知 P 为边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面内一点，则 PC PB PD
的最小值为
_________．
【答案】 1
【解析】建立如图所示坐标系，
设 ,P x y ，则 A （0，0）， B （2，0），C （2，2）， D （0，2），
所以 2 ,2PC x y ， 2 , ,2 2 2 ,2 2PDPB x y x y x y ，
所以 2 2 2 2 2 2PC PB PD x x y y
2 2 2 23 1 3 1 3 32 2 2 2 12 2 2 2 2 2x y x y
．
所以当 3
2x y 时， PC PB PD
的最小值为 1 ．故答案为: 1 ．
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．如图，在等腰直角 ABC 中，D ，E 分别为斜边 BC 的三等分点（ D 靠近点 B ），过 E 作
AD 的垂线，垂足为 F ，则 AF （ ）
A． 3 1
5 5AB AC B． 2 1
5 5AB AC
C． 4 8
15 15AB AC D． 8 4
15 15AB AC
【答案】D
【解析】设 6BC ，则 3 2, 2AB AC BD DE EC ，
2 2 π2 cos 4AD AE BD BA BD BA 10 ， 10 10 4 4cos 2 10 5DAE
，
所以 4
5
AF AF
AD AE
，所以 4
5AF AD .
因为 1 1
3 3AD AB BC AB AC AB 2 1
3 3AB AC ，
所以 4 2 1 8 4
5 3 3 15 15AF AB AC AB AC
.
2.设 为实数，已知向量 m =(-1，2)， n =(1， )．若 m n ，则向量 m +2 n 与 m 之间的
夹角为（ ）
A．
4
B．
3
C． 2
3
D． 3
4
【答案】A
【解析】因为向量 ( 1,2), (1, )m n ，若 m n ，则 1 1 2 0m n ，解得 1
2
，
所以 2 (1,3)m n ，所以 ( 2 ) 1 ( 1) 3 2 5m n m ， 2 2| 2 | 1 3 10m n ，
2 2| | ( 1) 2 5m ， 设 向 量 m
+2 n 与 m
之 间 的 夹 角 ， 则 0 ，
( 2 ) 5 2cos | 2 | | | 210 5
m n m
m n m
，所以向量 m
+2 n 与 m
之间的夹角为
4
．
故选：A．
3.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 2 2: 9C x y 及圆C 内的一点 1,2P ，圆C 的过点 P
的直径为 MN ，若线段 AB 是圆C 的所有过点 P 的弦中最短的弦，则 ( )AM BN AB 的值
为（ ）
A．8 B．16
C．4 D． 4 3
【答案】B
【解析】由题意可知 AB MN ，圆C 的半径为 3r ， 5OP ，
0NM AB
， 2 22 4AB r OP ，
2 2
( ) [ ( )] ( ) 16AM BN AB AM AN AB AB NM AB AB NM AB AB AB
．
故选:B．
4.已知 ABC 中， 2AB AC ， 120CAB ，若 P 是其内一点，则 AP AB 的取值范
围是（ ）
A． ( 4, 2) B． ( 2,0) C． ( 2,4) D． (0,2)
【答案】C
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系：
则 0,0A ，因为 120CAB ，所以 30ABC ACB ，
可得 2cos30 3 ， 2sin30 1 = ，所以 3, 1B ， 3, 1C ,
设 ,P x y ，因为点 P 是其内一点，所以 3 3, 1 0x y ，
, 3, 1 3AP AB x y x y ，
当 3x ， 1y 时 AP AB 最大为 3 3 1 4 ，
当 3, 1x y 时 AP AB 最小为 3 3 1 2 ，
所以 AP AB 的取值范围是 ( 2,4) ，故选：C
5.在三角形 ABC 中，E､F 分别为 AC､AB 上的点，BE 与 CF 交于点 Q 且 2AE EC
， 3AF FB
，
AQ 交 BC 于点 D， AQ QD
，则 的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】因为 , ,B Q E 三点共线，所以 2(1 ) (1 )3AQ x AB x AE x AB x AC
,
因为 , ,C Q F 三点共线，所以 3(1 ) (1 )4AQ y AC y AF y AC y AB
,
所以
3 (1 ) 1 14 , .2 2 3(1 )3
x y
x y
y x
，
所以 1 1 = ,2 3 1AQ AB AC AD
所以 1+ 1
2 3AD AB AC
，
因为 , ,B D C 共线，所以1+ 1 1, 52 3
.故选：C
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
6.如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E 为 BC 边上一点，且 3BC EC ，
F 为 AE 的中点，则（ ）
A． 1
2BC AB AD
B． 1 1
3 3AF AB AD
C． 2 1
3 3BF AB AD
D． 1 2
6 3CF AB AD
【答案】ABC
【解析】∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法则得
BC BA AD DC 1
2AB AD AB 1
2 AB AD ，故 A 对；
∵ 3BC EC ，∴ 2
3BE BC 1 2
3 3AB AD ，
∴ AE AB BE 1 2
3 3AB AB AD
2 2
3 3AB AD ，
又 F 为 AE 的中点，∴ 1
2AF AE 1 1
3 3AB AD ，故 B 对；
∴ BF BA AF 1 1
3 3AB AB AD 2 1
3 3AB AD ，故 C 对；
∴CF CB BF BF BC 2 1
3 3AB AD 1
2 AB AD
1 2
6 3AB AD ，故 D
错；故选：ABC．
7.已知 3, 1a ， 1, 2b
r
，则正确的有（ ）
A． 5a b B． a
的单位向量是 3 10 10,10 10
C．
4a b D． a
与b
平行
【答案】ABC
【解析】 3, 1a ， 1, 2b
r
，
3 1 1 2 5a b ，故 A 正确；
223 1 10a ，所以 a
的单位向量是 3 1,
10 10
，
即 3 10 10,10 10
，故 B 正确；
221 2 5b
r
，
由
5 2cos 25 10
a ba b
a b
，
[0, ], 4a b a b
，故 C 正确；
3 1
1 2
， a
与b
不平行，故 D 错误.故选:ABC。
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 15 分．
8.已知 1,2a ， 2, 2b ， 1,c ，若 2c a b ，则 _________．
【答案】 5
2
【解析】由题得 2 (1,2) 2(2, 2) (5, 2)a b ，因为 2c a b ， 1,c ，
所以 5 1+ 2 0 ，所以 5
2λ ．故答案为: 5
2
．
9.在 ABC 中，
3A ， 4AC ， 6AB ，D 在 CB 边上，若CD CB ， 17AD BC ，
则实数 的值为________
【答案】 3
4
【解析】因为CD CB
，故 AD AC AB AC
uuur uuur uuur uuur
，故 1AD AB AC
uuur uuur uuur
，
1AD BC AB AC AC AB
2 2
2 1 1AB AC AC AB
2 1 12 1 16 36 4 28 17 ，
所以 3
4
，故答案为： 3
4
.
10.如图，在四边形 ABCD 中， 60 , 3B AB ， 6BC ，且 3, 2AD BC AD AB ，
则实数 的值为_________，若 ,M N 是线段 BC 上的动点，且| | 1MN ，则 DM DN 的最
小值为_________．
【答案】(1). 1
6
；(2). 13
2
【解析】 AD BC
， //AD BC ， 180 120BAD B ，
cos120AB AD BC AB BC AB
1 36 3 92 2
，
解得 1
6
，
以点 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 xBy ，
6 6,0BC C ， ,
∵ 3, 60AB ABC ，∴ A 的坐标为 3 3 3,2 2A
,
∵又∵ 1
6AD BC ,则 5 3 3,2 2D
，设 ,0M x ，则 1,0N x （其中 0 5x ），
5 3 3,2 2DM x
， 3 3 3,2 2DN x
，
2
225 3 3 3 21 134 22 2 2 2 2DM DN x x x x x
，
所以，当 2x 时， DM DN 取得最小值13
2
.
故答案为： 1
6
；13
2
.
四、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.在平行四边形 ABCD 中， AB a
uuur ， AD b
uuur
（1）若 E 为 DC 上一点，且 2DE EC
，用基底 ,a b
表示 AE
；
（2）若 1,2a
， 3,2b
，且 2k a b
与 2 4a b
平行，求实数 k 的值.
【答案】（1） 2
3AE a b
uuur r r
；（2） 1k ．
【解析】（1） 2 2 2
3 3 3AE AD DE AD DC b a a b
uuur uuur uuur uuur uuur r r r r
（2）因为 1,2a
r ， 3,2b
r 所以 2 ,2 6,4 6,2 4ka b k k k k
r r
2 4 2,4 12,8 14, 4a b
r r
由于 2 // 2 4ka b a b
则 -4 6 14 2 4k k ,所以 1k .
12.在 ABC 中，底边 BC 上的中线 4AD ，若动点 P 满足
2 2sin cosBP BA BD R .
（1）求 PB PC AP 的最大值；
（2）若 ABC 为等腰三角形，且 5AB ，点 P 满足（1）的情况下，求 PB PC 的值.
【答案】（1）8；（2）-5.
【解析】（1） 2 2sin cosBP BA BD
且 2 2sin cos 1
, ,A P D 三点共线，又 2 2sin 0,1 ,cos 0,1
P 在线段 AD 上, DQ 为 BC 的中点，设 PD x ，则 4AP x ， 0,4x ，
222 8 24 82 2 2PB PC AP PD AP x xx x x
当 2x 时， PB PC AP
取最大值8
（2） ABC 为等腰三角形，且 AD 为底边的中线
以 D 为坐标原点， DC ， DA 所在直线分别为 x ， y 轴建立平面直角坐标系
由（1）可得 0,2P ，又 2 2 25 4 9BD
3,0B ， 3,0C
则 3, 2 3, 2 9 4 5PB PC
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