第 2 讲 平面向量的综合应用
考点 1 平面向量与三角函数结合
例 1.(1)已知向量 cos ,sina ， 1, 3b ，其中 0, ，则 a b 的取值范围是
（ ）
A． 1,2 B． 1,1
C． 2 2 , D． 3,2
【答案】A
【解析】 cos 3sin 2sin 6a b
，
0, Q ， 7,6 6 6
， 1sin ,16 2
， 1,2a b ．故选 A．
【点睛】本题考查了平面向量数量积坐标运算与三角恒等变换结合求取值范围.
(2)在△ABC 中， 4 3 =90AB AC BAC ， ，∠ ，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若
3( )2PA mPB m PC （m 为常数），则 CD 的长度是 ▲ ．
【答案】 18
5
【解析】∵ , ,A D P 三点共线，∴可设 0PA PD ，
∵ 3
2PA mPB m PC
，∴ 3
2PD mPB m PC
，即
3
2 mmPD PB PC
，
若 0m 且 3
2m ，则 , ,B D C 三点共线，∴
3
2 1
mm
，即 3
2
，
∵ 9AP ，∴ 3AD ，
∵ 4AB , 3AC , 90BAC ，∴ 5BC ，
设CD x ， CDA ，则 5BD x ， BDA .
∴根据余弦定理可得
2 2 2
cos 2 6
AD CD AC x
AD CD
，
22 2 2 5 7cos 2 6 5
xAD BD AB
AD BD x
，
∵ cos cos 0 ，∴
25 7 06 6 5
xx
x
，解得 18
5x ，∴ CD 的长度为 18
5
.
当 0m 时， 3
2PA PC ， ,C D 重合，此时CD 的长度为 0 ，
当 3
2m 时， 3
2PA PB ， ,B D 重合，此时 12PA ，不合题意，舍去.
故答案为：0 或18
5
.
【点睛】本题考查了平面向量贡献定理与三角形重的余弦定理结合求值.
【跟踪演练】1.
(1) 已 知 ABC 的 外 心 为 , 3 4O AO BC BO AC CO BA ， 则 cosB 的 取 值 范 围 是
_________．
【答案】 2 ,13
【解析】作出图示如下图所示，取 BC 的中点 D，连接 OD，AD，因为 ABC 的外心为 O，则
OD BC^ ，
因为 + +AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD BC
，
又 2 2 2 21 1 1+2 2 2AD BC AB AC AC AB AC AB b c ， 所 以
2 21
2AO BC b c ，
同理可得 2 21
2BO AC a c ， 2 21
2CO BA b a ，
所以 3 4AO BC BO AC CO BA 化为 2 2 2 2 2 21 1 13 42 2 2b c a c b a ，
即 2 2 2+2 3a c b ．
由余弦定理得 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 +2 1 23cos 2 2 3 2
+a c a ca c b a cB ac ac ac
，
又
2 22 2 2 22 2
+a c ac
ac ac
，当且仅当 2a c 时，取等号，
又 0 B ，所以 2 cos 13 B ．故答案为 2 ,13
．
(2)已知向量 (sin ,cos 2sin )a ， (1,2)b .
（1）若 / /a b
，求 2
sin cos
1 3cos
的值；
（2）若 a b
， 0 ，求 的值.
【答案】（1） 4
65
（2）
2
或 3
4
【解析】 (1)因为 a b∥ ，所以 2sin cos 2sin ，于是 4sin cos ；
当 cos 0 时， sin 0 ，与 2 2sin cos 1 矛盾，所以 cos 0 ，
故 1tan 4
，所以 2 2 2 2
sin cos sin cos tan 4
1 3cos sin 4cos tan 4 65
(2)由| | | |a b
r r 知， 2 2sin (cos 2sin ) 5 ，即 21 4sin cos 4sin 5 ，
从而 2sin 2 2(1 cos2 ) 4 ，即sin 2 cos2 1 ，于是 2sin 2 4 2
又由 0 知， 924 4 4
，
所以 52 4 4
或 72 4 4
，因此
2
或 3
4
.
考点 2 平面向量与解析几何结合
例 2.(1)已知 AB 为圆： 2 2 1x y 上一动弦，且 2AB ，点 2 3, 6P ，则 PA PB
最大值为（ ）
A．12 B．18
C．24 D．32
【答案】C
【解析】设 AB 的中点为 M ，则OM AB ， 2
2OM ，所以 M 在以O 为圆心， 2
2
为
半 径 的 圆 上 ，
( ) ( ) ( ) ( )PA PB PM MA PM MB PM MA PM MA
2 2 2 1
2PM MA PM ，
又 2 2(2 3) ( 6) 3 2PO ，所以
max
2 7 23 2 2 2PM ， 2
max
49
2PM ，
所以 PA PB 的最大值为 49 1 242 2
．故选 C．
【点睛】本题考查了平面向量的数量积，解题关键是选取弦 AB 中点 M ，利用 M 的轨迹是
圆，把 ,PA PB
用 PM
表示，求出 PM
的最大值即可得结论，而由点 P 到圆心的距离即可得
最大值．
(2)已知直线l 与抛物线 2 4x y 交于 A，B 两点， 0OA OB （其中 O 为坐标原点）.若
OP OA OB ，则直线 OP 的斜率的取值范围是（ ）
A． , 2 2, B． , 4 4,
C． , 2 2, D． , 2 2 2 2,
【答案】D
【解析】如图，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，因为OP OA OB ，则 1 2 1 2,P x x y y ，
又 0OA OB ，即 1 2 1 2 0x x y y ，即
2 2
1 2
1 2 016
x xx x ，即 1 2 16x x ，
设直线OP 的斜率为 k ，则
1 2
1 2
y yk x x
22 2
1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 8
4 4 4
x x x xx x x x
x x x x x x
， 1 2
1 2
8
4
x xk x x
1 2
1 2
82 2 24
x x
x x
，
当且仅当 1 2
1 2
8
4
x x
x x
，即 1 2 4 2x x 时等号成立，
故 , 2 2 2 2,k .故选:D.
【点睛】本题考査了平面向量数量积以及坐标线性运算,考查了直线与抛物线的方程及其位置
关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力及创新意识；考查化归与转化、数形结合等
思想方法.
【跟踪演练】2.
(1)已知平面内非零向量 a ，b ，c ，满足 a
r
2 ， 3b ， 3a b ，若 2 2 8 0c b c ，
则 c a 的取值范围是______.
【答案】 7 1, 7 1
【解析】 a
2 ， 3b ， 3a b ， 3 1cos , 2 3 2a b
，
又 , [0, ]a b ， ,a b
的夹角为
3
，
建立如图所示直角坐标系，
设 , ,OA a OB b OC c ，则 2,0A ， 3 3 3,2 2B
，设 ,C x y ，
2 2 8 0c b c
，
22
2 2 3 3 3+y 3 3 3 8 0 12 2x x y x y
，
则点 C 在以 3 3 3,2 2
为圆心，1 为半径的圆上，
c a 的取值范围转化为圆上的点到定点 2,0 的距离的范围，
圆心 3 3 3,2 2
到点 2,0 的距离为
223 3 32 72 2
，
c a 的取值范围为 7 1, 7 1 .
故答案为： 7 1, 7 1
(2)已知双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1 2,F F ，抛物线 2 2
5y x 与
双曲线C 交于纵坐标为 1 的点 M ，直线 1F M 与抛物线的准线交于 N ，若 1 1
29
55F N F M ，
则双曲线的方程为（ ）
A.
2 2
14 5
x y B.
2 2
116 9
x y C.
2 2
15 4
x y D.
2 2
19 16
x y
【答案】C
【解析】抛物线 2 2
5y x 与双曲线C 交于纵坐标为 1 的点 M
所以 5( ,1)2M ，所以抛物线准线方程为 1
10x ，即 N 点的横坐标为 1
10
设 1 ,0F c ，由 1 1
29
55F N F M
所以 1 29 5
10 55 2c c
解得 c=3
所以焦点坐标为（-3，0），（3，0）
由双曲线定义可得
2 2
1 2
5 52 3 1 3 1 2 52 2a MF MF
所以 5a ， 2 2 2b c a
所以双曲线标准方程为
2 2
15 4
x y ,故选:C
考点 3 平面向量与其他结合
例 3.(1)平面向量 a
，b
的夹角为 60 ，且 1a b
r r
，则 2a a b
的最大值为_________.
【答案】 2 31 3
【解析】 1| || | cos60 | || |2a b a b a b ，因为 1a b
r r
，所以 2
1a b ，
所以 2 2| | | | 2 1a b a b ，所以 2 2| | | | | || | 1a b a b ，
所以 2a a b 2 2| | 2 | | | || |a a b a a b 2
2 2
| | | || |
| | | | | || |
a a b
a b a b
，
2
| |1 | |
| | | |1 | | | |
b
a
b b
a a
2
| |1 | |
| | | |1 3 1 3| | | |
b
a
b b
a a
1
| | 31 3| | | |1 | |
b
a b
a
，
令 | |1 | |
bt a
，则 2a a b 1
3 3t t
1
32 3t t
1 2 3 132 3 3
，
当且仅当 3t ，即 | | 3 1| |
b
a
时，等号成立,所以 2a a b
的最大值为 2 3 13
.
故答案为： 2 3 13
【点睛】本题考查了平面向量数量积,考查了利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的
三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，
则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
(2)如图，在 ABC 中， 4BC ， 4BA BC ，点 P 为边 BC 上的一动点，则 PA PC 的
最小值为（ ）
A. 0 B. 2 C. 9
4
D. 3
【答案】C
【解析】如图所示，作 AO BC
4BA BC
， 4BC ， cos 4BA BC B
uur uuur
，
可得 cos 1BA B
uur
，即 1BO ， 3CO
利用向量的三角形法则，可知 PA PO OA PC PO PCPC
uur uuur uuur uur uuur uuur uuur
若 P 与 O 重合，则 0PCPA
uur uuur
若 P 在 O 左侧，即 P 在OB 上时, PA PO PCPC
uur uuur uuur uuur
若 P 在 O 右侧，即 P 在OC 上时，PA PO PCPC
uur uuur uuur uuur
，显然此时 PA PC 最小，利用基
本不等式
2
9
2 4
PO PC
PO PC
uuur uuur
uuur uuur
（当且仅当 PO PC
uuur uuur
，即 P 为OC 中点时
取等号）故选：C.
【点睛】本题考查了向量的三角形法则，向量的数量积公式，及利用基本不等式求最值，考
查学生的转化能力，数形结合思想
【跟踪演练】3.
(1)已知向量 ,1m a b
ur
， ,1 ( 0, 0)n b a b
r
，若 m n ，则 1 4ba
的最小值为
_________．
【答案】9
【解析】因为 m n ，所以 0m n ，即 1 0ab b ，整理得 1
1b a
，
因为 0, 0a b ，所以 1 01b a
，解得 0 1a ．所以
1 1 4 1 4 4 1 4 14 1 1 4 5 2 91 1 1 1
a a a ab a aa a a a a a a a a
当且仅当 4 1
1
a a
a a
，即 1
3a 时等号成立．故答案为9．
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值． 一般地，若
0, 0a b ， 当 a b S ( S 为 定 值 ) ， 求 解 p q
a b
0, 0p q 的 最 值 时 ， 利 用
1p q p q a ba b S a b
，然后展开根据均值不等式求解即可．
(2)等比数列 na 的各项均为正数，已知向量 5 4,n a a ， 7 8,m a a ，且 4m n ，则
2 1 2 2 2 11log log loga a a （ ）
A. 5 B. 11
2
C. 13
2
D.
22 log 5
【答案】B
【解析】已知向量 5 4,n a a ， 7 8,m a a ，
所以 5 7 4 8 4m n a a a a ，
因为 na 是等比数列，所以 1 11 2a a ，
所以
1111
222 1 2 2 2 11 2 1 11 2
11log log log log log 2 2a a a a a .故选：B
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知向量 ( 1 2) (21)a x b＝ － ，， ＝ ， ，则“x＞0”是“ a 与b 的夹角为锐角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：当 x＞0 时， 2( 1) 2 2 0a b x x ；
但是当 x＝5 时， (4 2)a＝ ， ，与b
共线， a
与b
夹角为 0°，故充分性不成立，
必要性： a
与b
夹角为锐角，则 2( 1) 2 2 0a b x x ，
解得 x＞0，故必要性成立，故选:C.
2.圆 2 2: 1 25S x y 分别交 x 轴､y 轴的正半轴于 A，B 两点，则 SA SB （ ）
A．5 B．10 C．15 D．25
【答案】A
【解析】由题意得： 2 21 25x y ，
令 0x 得 2 6y ，则 0,2 6B ，令 0y 得 4x ，则 4,0A ，
又 1,0S ，所以 5,0 , 1,2 6SA SB
，所以 5SA SB ，故选:A。
3.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 cos ,sinA ，
cos ,sin3 3B
.则 OA OB
（ ）
A．1 B． 3 C．2 D．与 有关
【答案】B
【解析】根据题意， cos ,sinA ， cos ,sin3 3B
.
则 cos ,sinOA ， cos ,sin3 3OB
，
则有 cos cos ,sin sin3 3OA OB
，
故
2 2
2
cos cos sin sin3 3OA OB
2 2cos cos 2sin sin 2 2cos 33 3 3
，则 3OA OB
；故
选:B.
4.设椭圆
2 2
116 12
x y 的左、右焦点分别为 1 2,F F ，点 P 在椭圆上，且满足 1 2 9PF PF ，则
1 2PF PF 的值为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．15
【答案】D
【解析】
由椭圆标准方程知 4a ， 2 3b ， 2c ,
当点 P 为椭圆的左、右顶点时（不妨令 P 为右顶点），
1 26, 2PF a c PF a c
，
则 1 2 6 2 cos0 12PF PF ，故点 P 不为椭圆的左、右顶点，
设 1PF
和 2PF
的夹角为 ，因为 1 2 9PF PF ，
所以 1 2 cos 9PF PF ，
在 1 2PF F△ 中，由余弦定理得 2 2 2
1 2 1 2 1 22 cosPF PF PF PF F F ，
即 2 2
1 2 1 2 1 2 1 22 cos 2PF PF PF PF F F PF PF ，
即 2 2
1 22 9 (2 4) (2 2) 21 | |PF PF ∣，所以 1 2 15PF PF .
故选：D.
5.在 ABC 中， ,A B 分别是双曲线 E 的左、右焦点，点C 在 E 上若 · 0BA BC ，
· 0BA BC AC ，则双曲线 E 的离心率为（ ）
A. 5 1 B. 2 1 C. 2 1
2
D. 2 1
2
【答案】B
【解析】∵（ BA BC ） AC 0，又 AC BC BA ，
∴（ BA BC ）•（ BC BA ） 2 2
0BC BA ，
则| BC
|＝| BA
|，即 BA＝BC，
又 BA BC 0，∴△ABC 是一个等腰直角三角形，
由题意得：C 点在双曲线的右支上，
∴AB＝BC＝2c，AC＝2 2 c，又 AC﹣BC＝2a，
即 2 2 c﹣2c＝2a，解得离心率 e 2 1 ，故选：B．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
6.已知平面向量OA
、 OB
、OC
为三个单位向量，且 0OA OB ，若OC xOA yOB
（ ,x y R ），则 x y 的可能取值为（ ）
A． 0 B．1 C． 2 D． 2
【答案】ABC
【解析】依题意，OA
、OB
是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量OA
、OB
作为
一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点 C cos ,sin （ 表示由 x 轴非负半轴旋转
到 OC 所形成的角）构成的向量OC
， 0,2 ，
因为 1,0OA ， 0,1OB ， cos ,sinOC ，OC xOA yOB ，
所以 cos , sinx y ，故 cos sin 2 sin 4x y
， 0,2 ，
故 2, 2x y ，故可以是选项中的 0，1， 2 .故选:ABC。
7.已知 AB 为圆： 2 2 1x y 上一动弦，且 2AB ，点 2 3, 6P ，则 PA PB 值可
能为（ ）
A．12 B．18
C．24 D．32
【答案】ABC
【解析】设 AB 的中点为 M ，则OM AB ， 2
2OM ，所以 M 在以O 为圆心， 2
2
为
半 径 的 圆 上 ，
( ) ( ) ( ) ( )PA PB PM MA PM MB PM MA PM MA
2 2 2 1
2PM MA PM ，
又 2 2(2 3) ( 6) 3 2PO ，所以
max
2 7 23 2 2 2PM ， 2
max
49
2PM ，
所以 PA PB 的最大值为 49 1 242 2
．故选:ABC．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 15 分．
8.若 a
，b
是两个非零向量，且 a b a b
， 2 ,12
，则 a
与 a b 的夹角取值
范围是_________．
【答案】 π π,4 3
【解析】如图所示，因为 2, ,12a b a b
，
不妨设 1a b
，则 a b
，
令 ,OA a OB b ，以 ,OA OB 为邻边作平行四边形 OACB ，则平行四边形OACB 为菱形，
则 a
与 a b 的夹角为 AOC ，设 AOC 且 0 2
在 OAC 中，
2 21 1cos 2 1 2
，由 2 ,12
所以 1 2cos2 2
，因为 0 2
，所以
4 3
，
即向量b
与 a b 的夹角的取值范围是[ , ]4 3
．故答案为:[ , ]4 3
．
9.已知圆 2 2: 2 2 1 0C x y x y ，点 P 是直线 1 0x y 的一动点，AB 是圆C 的一
条直径，则 PA PB 的最小值等于___________.
【答案】 7
2
【解析】圆 2 21 1 1,C x y ： 圆心 1, 1 到直线 1 0x y 的距离 3 1
2
d ，
2 2
PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO OA
2
min
71 2PA PB d .
故答案为： 7
2
10.已知点 (1,2)P 在抛物线 E ： 2 2 ( 0)y px p 上，过点 (1,0)M 的直线l 交抛物线 E 于 A 、
B 两点，则抛物线方程为__________________,若 3AM MB ，则直线l 的倾斜角的正弦值
为______________
【答案】 2 4y x 3
2
【解析】由已知 22 2 1p ， 2p ，即抛物线方程为 2 4y x ， (1,0)M 为抛物线的焦点，
题中直线l 斜率显然不为 0，设l 方程为 1x ty ，代入抛物线方程整理得 2 4 4 0y ty ，
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2 4y y t ①， 1 2 4y y ②，
由 3AM MB 得 1 1 2 2(1 , ) 3( 1, )x y x y ，所以 1 23y y ，即 1 23y y ③，
③代入②得 2
2
4
3y ， 2
2 3
3y ，
2
2 3
3y 时，
2
2
2
1
4 3
yx ， 2
2 3
3y 时，
2
2
2
1
4 3
yx ，
所以 1 2 3( , )3 3B 或 1 2 3( , )3 3B ，设直线l 的倾斜角为 ，
则
2 3
3tan 31 13
，或
2 3
3tan 31 13
，即 2
3
或
3
，
所以 3sin 2
． 故答案为： 2 4y x 3
2
四、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.已知向量 3sin , 3sin , sin ,cos2 2a x x b x x
， f x a b .
（1）求 f x 的最大值及 f x 取得最大值时 x 的取值集合 M ；
（2）在 ABC 中，a b c、 、 分别是角 、 、A B C 的对边，若
2 4
C M 且 1c ，求 ABC
面积的最大值.
【答案】（1）最大值为 31 2
， 5| ,12M x x k k Z
；（2） 3
4
.
【解析】（1） 3sin , 3sin cos , 3 cos , sin ,cos2 2a x x x b x x
，
2 1 3 3sin cos 3 cos sin 2 cos22 2 2f x a b x x x x x
3sin 2 3 2x
，
∴ f x 的最大值为 31 2
，
此时 2 23 2x k ，即 5 ,12x k k Z ，
∴ 5| ,12M x x k k Z
；
（2）∵
2 4
C M ，∴ 5
2 4 12
C k ， 2 ,3C k k Z ，
∵ 0,C ，∴
3C ，
2 2 2 2 21 2 cosc a b ab C a b ab ab ，当且仅当 a b 时，等号成立，
所以 1ab ，∴ 1 3 3sin2 4 4ABCS ab C ab ，
所以 ABC 面积的最大值 3
4
.
12.在 ABC 中，D 是 BC 的中点， 2, 4, 3AB AC AD ．
（1）求 ABC 的面积；
（2）若 E 为 BC 上一点，且 AB ACAE
AB AC
，求 的值．
【答案】（1） 2 3 ；（2） 2
3
．
【解析】
（1）由 1 ( )2AD AB AC 可得： 2 2 221 1 1 1( )4 4 2 4AD AB AC AB AB AC AC ，
2 21 1 13 2 44 2 4AB AC ， 4
AB AC ， 1cos 2| | | |
AB ACBAC
AB AC
所以 1 sin1202120 , 2 3ABCB ABA ACC S
（2）因为 AB ACAE
AB AC
，所以 AE 是 BAC 的平分线，
| |
AB c
AB
， AC b
AC
，
1b c
r r
，则 2 22( ) 2 1 2 1 1 cos120 1 1b c b c b b c c ，
由 ABC ABE ACES S S △ △ △ 可得 1 1 1 2sin sin sin2 3 2 3 2 3AB AE AC AE AB AC
从而 2
3AE ，由
| | | |
AB ACAE
AB AC
，所以 2
3
．
微信/支付宝扫码支付