大题专练训练47：随机变量的分布列（比赛类）-2021届高三数学二轮复习

二轮大题专练 47—随机变量的分布列（比赛类） 1．某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题 回答正确得 10 分，回答错误得 0 分；第二个问题回答正确得 20 分，回答错误得﹣10 分； 第三个问题回答正确得 30 分，回答错误得﹣20 分．规定，每位参赛者回答这三个问题的 总得分不低于 30 分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是 ，回 答第三个问题正确的概率是 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响． （1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率； （2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分 ξ 的分布列和期望； （3）求这位参赛者闯关成功的概率． 解：（1）设事件 Ai 这位参赛者回答对第 i 个问题（i＝1，2，3）， ∴ ＝ ． （2） ξ ＝﹣30，﹣20，0，10，20，30，50，60， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ξ 的分布列为： ξ ﹣30 ﹣20 0 10 20 30 50 60 P E（ ξ ）＝ +10× +20× +30× +50× +60× ＝ ． （3）由（2）得这位参赛者闯关成功的概率为 ． 2．甲、乙两位选手在某次比赛的冠、亚军决赛中相遇，赛制为三局两胜（当一方赢得两局 胜利时，该方获胜，比赛结束），比赛每局均分出胜负．甲、乙以往进行过多次比赛，若从 中随机抽取 20 局比赛结果作为样本，抽取的 20 局中甲胜 12 局、乙胜 8 局，若将样本频率 视为概率，各局比赛结果相互独立． （1）求甲获得冠军的概率； （2）此次决赛设总奖金 50 万元，若决赛结果为 2 : 0 ，则冠军奖金为 35 万元，亚军奖金为 15 万元；若决赛结果为 2 :1 ，则冠军奖金为 30 万元，亚军奖金为 20 万元．求甲参加此次决 赛获得奖金数 X 的分布列和数学期望． 解：（1）用样本频率估计概率可知，每局比赛甲获胜的概率为 12 3 20 5  ． 每局比赛乙获胜的概率为 3 21 5 5   ， 甲获得冠军的概率 1 2 2 3 3 3 2 81( )5 5 5 5 125P C      ． （2）由题意知， X 的所有可能的取值为 35，30，20，15， 9( 35) 25P X   ， 36( 30) 125P X   ， 1 2 2 2 3 24( 20) ( )5 5 125P X C     ， 22 4( 15) ( )5 25P X    ， X 的分布列为： X 35 30 20 15 P 9 25 36 125 24 125 4 25 9 36 24 4 687( ) 35 30 20 15 27.4825 125 125 25 25E X           （万元）． 3．甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、 乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得 3 分；如果只有一个人 投中，则“虎队”得 1 分；如果两人都没投中，则“虎队”得 0 分．已知甲每轮投中的概率 是 3 4 ，乙每轮投中的概率是 2 3 ；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互不影 响． （1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中 3 个的概率； （2）①设“虎队”两轮得分之和为 X ，求 X 的分布列； ②设“虎队” n 轮得分之和为 nX ，求 nX 的期望值． （参考公式 ( ) )E X Y EX EY   解：（1）设甲、乙在第 n 轮投中分别记作事件 nA ， nB ，“虎队”至少投中 3 个记作事件 C ， 则 P （C） 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B    1 2 2 1 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 2 2(1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )4 4 3 4 3 3 4 3 3C C             ． （2）①“虎队”两轮得分之和 X 的可能取值为：0，1，2，3，4，6， 则 2 23 2 1( 0) (1 ) (1 )4 3 144P X       ， 2 23 3 3 2 3 2 2 10( 1) 2 [ (1 ) (1 ) (1 ) (1 )]4 4 4 3 4 3 3 144P X               ， 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 25( 2) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 144P X                           ， 3 2 3 2 12( 3) 2 [ (1 ) (1 )]4 3 4 3 144P X          ， 2 23 3 2 2 2 3 60( 4) 2 [ (1 ) ( ) (1 ) ( ) ]4 4 3 3 3 4 144P X            ， 2 23 2 36( 6) ( ) ( )4 3 144P X     ． 故 X 的分布列如下图所示： X 0 1 2 3 4 6 P 1 144 10 144 25 144 12 144 60 144 36 144 ② 1X 有可能取为 0，1，3， 1 3 2 1( 0) (1 )(1 )4 3 12P X      ， 1 3 2 3 2 5( 1) (1 ) (1 )4 3 4 3 12P X         ， 1 3 2 6( 3) 4 3 12P X     ， 1 1 5 6 230 1 312 12 12 12EX        ， 设“虎队” n 轮得分之和为 nX ，则 nX 的期望值 1 23 12nEX nEX n  ． 4．在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中，大赛分预赛与复赛两个环节．预赛有 4000 人参赛．先从预赛学生中随机抽取 100 人成绩得到如图频率分布直方图： （1）若从上述样本中预赛成绩不低于 60 分的学生中随机抽取 2 人，求至少 1 人成绩不低于 80 分的概率； （2）由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩 Z 服从正态分布 2( , )N   ， 其中  可以近似为 100 名学生的预赛平均成绩， 2 362  ，试估计全市参加预赛学生中成 绩不低于 91 分的人数； （3）预赛成绩不低于 91 分的学生可以参加复赛．复赛规则如下：①每人复赛初始分均为 100 分；②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量 ( 1)n n  ，每答一题需要扣掉一定分 数来获取答题资格，规定回答第 ( 1k k ，2， ， )n 题时扣掉 0.2k 分；③每答对一题加 2 分，答错既不加分也不扣分；④答完 n 题后参赛学生的最后分数即为复赛分数．已知学生甲 答对每题的概率为 0.75，且各题答对与否相互独立，若甲期望得到最佳复赛成绩，则他的答 题数量 n 应为多少？ （ 参 考 数 据 362 19 ， 若 2~ ( , )z N   ， 则 ( ) 0.6826P x      „ ， ( 2 2 ) 0.9544P x      „ ， ( 3 3 ) 0.9974)P x      „ ． 解：（1）由题意得样本中成绩不低于 60 分的学生有 (0.0125 0.0075) 20 100 40    人， 其中成绩优良人数为 0.0075 20 100 15   人， 则至少 1 人成绩不低于 80 分的概率为 2 25 2 40 81 13 CP C    ； （2）由题意可知平均值 10 0.1 30 0.2 50 0.3 70 0.25 90 0.15 53x            ， 所以 53  ，又 2 362  ，则 19  ， 所以 1( 91) ( 2 ) [1 ( 2 2 )] 0.022752P Z P Z P Z           … … „ „ ， 所以估计全市参加预赛学生中成绩不低于 91 分的人数为 4000 0.02275 91  人； （3）设 y 为甲答对题数，则 ~ ( ,0.75)y B n ，所以 ( ) 0.75E y n ， 记甲答完 n 题所加分数为 X ，则 2X y ，所以 ( ) 1.5E X n ， 依题意为获取答 n 题的资格，甲要花掉分数为 20.2 (1 2 3 ) 0.1 ( )n n n       ， 记甲答完题分数为 ( )M n ，则 2 2( ) 100 0.1 ( ) 1.5 0.1( 7) 104.9M n n n n n         ， 由于 *n N ，所以当 7n  时， ( )M n 取得最大值为 104.9，即成绩的最大值为 104.9 时，道 题量为 7． 5．第 31 届世界大学生夏季运动会定于 2021 年 8 月 18 日 29 日在成都举行，成都某机构随 机走访调查 80 天中的天气状况和当天到体育馆打乒乓球人次，整理数据如表（单位：天）: 打乒乓球 人次 天气状况 [0 ，100] [100 ， 200] [200 ， 300] 晴天 2 13 20 阴天 4 6 10 雨天 6 4 5 雪天 8 2 0 （1）若用样本频率作为总体概率，随机调查本市 4 天，设这 4 天中阴天的天数为随机变量 X ， 求 X 的分布列和数学期望． （2）假设阴天和晴天称为“天气好”雨天和雪天称为“天气不好”．完成下面的 2 2 列联 表，判断是否有 99% 的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关． 人次 200„ 人次 200 天气好 天气不好 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． 参考数据： 2 0( )P K …k 0.10 0.05 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 解：（1）由题意可知随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，4． 设一天为阴天的概率为 P ，则 4 6 10 1 80 4P    ， 故 1~ (4, )4X B ， 0 0 4 4 1 3 81( 0) ( ) ( )4 4 256P X C     ， 1 3 4 1 3 27( 1) ( )4 4 64P X C     ， 2 2 2 4 1 3 27( 2) ( ) ( )4 4 128P X C     ， 3 3 1 4 1 3 3( 3) ( ) ( )4 4 64P X C     ， 4 4 0 4 1 3 1( 4) ( ) ( )4 4 256P X C     ． 则 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 故 14 14EX    ； （2）由题意可得的 2 2 列联表： 人次 200„ 人次 200 天气好 25 30 天气不好 20 5 则 2 2 80 (25 5 30 20) 8.33555 25 45 35K        ． 因为8.335 6.635 ， 所以有 99% 的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关． 6．有一种击鼓游戏，规则如下：每局游戏有两次机会，每次击鼓要么出现“你真棒“，要 么出现“再努力”，若击鼓一次出现“你真棒”，则得 10 分，若出现“再努力”，则得﹣ 20 分．设击鼓一次出现“你真棒”的概率为 α ，且各次击鼓相互独立． （1）设每局游戏所得的分数为 X，求 X 的分布列； （2）经过多次试玩该游戏，发现玩的局数越多，总分数越少，请你结合概率的知识确定 α 的取值范围； （3）若击鼓 6 次，求恰有 3 次出现“你真棒”的最大概率 解：（1）X 的所有可能取值为﹣40，﹣10，20． 根据题意有：P（X＝﹣40）＝ ， P（X＝﹣10）＝ ， P（X＝20）＝ ． ∴X 的分布列为： X ﹣40 ﹣10 20 P （1﹣ α ）2 2（1﹣ α ） α α 2 （2）由（1）知，E（X）＝﹣40（1﹣ α ）2﹣10×2（1﹣ α ） α +20 α 2＝60 α ﹣40， 由于玩的局数越多，总分数越少，∴60 α ﹣40＜0，得 α ＜ ， 又 α ＞0， ∴ α 的取值范围为（0， ）； （3）设 ξ 为击鼓 6 次中出现“你真棒”的次数， 则 P（ ξ ＝3）＝ ，0＜ α ＜1． 令 f（ α ）＝20 α 3（1﹣ α ）3，0＜ α ＜1， 则 f′（ α ）＝60 α 2（1﹣ α ）2（1﹣2 α ），令 f′（ α ）＞0，得 0＜ α ＜ ， 令 f′（ α ）＜0，得 ＜ α ＜1， ∴f（ α ）在（0， ）上单调递增，在（ ，1）上单调递减， ∴当 α ＝ 时，f（ α ）取得最大值，且 f（ ）＝ ， 故恰有 3 次出现“你真棒”的最大概率为 ． 7．业余围棋高手甲与专业围棋高手乙进行比赛，为体现比赛的公平性，两人约定，甲胜一 局得 2 分，乙胜一局得 1 分．甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ． （Ⅰ）比赛 3 局后，甲的得分为 X，求 X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）比赛若干局后，甲、乙两人的得分之和若为 n 分，得分之和为 n 的概率为 Pn，请 写出概率 Pn，Pn﹣1，Pn﹣2（n≥3）之间的关系式，并求出 Pn． 解：（Ⅰ）由题意知甲获胜得 2 分，获胜的概率为 ，甲输的概率为 ， 甲得分 X 的可能取值为 0，2，4，6， P（X＝0）＝（ ）3＝ ， P（X＝2）＝ ＝ ， P（X＝4）＝ ＝ ， P（X＝6）＝（ ）3＝ ， ∴X 的分布列为： X 0 2 4 6 P E（X）＝ ＝2． （Ⅱ）甲、乙两人得分之和为 n 时，即得分之和为 n﹣1 后，乙再胜一局，或得分之和为 n﹣2 后，甲再胜一局， ∴ ， ∴ ， ∴数列{ }是常数列， ∵P1＝ ，P2＝ ＝ ， P3＝ ＝ ， ∴ ＝1，P3+ ＝1，∴ ＝1， ∴ ＝﹣ （Pn﹣1﹣ ）， ∴Pn＝﹣ ， ＝﹣ （Pn﹣1﹣ ）， ∴数列{Pn﹣ }是以﹣ 为首项，﹣ 为公比的等比数列， ∴Pn﹣ ＝﹣ ×（﹣ ）n﹣1， ∴Pn＝ ． 8．某校高三年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由 1 名男生和 2 名 女生组成．比赛中每人投篮 n 次（n ∈ N*），每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立 的．已知女生投篮命中的概率均为 ，男生投篮命中的概率均为 ． （1）当 n＝2 时，求小组共投中 4 次的概率； （2）当 n＝1 时，若三人都投中小组获得 30 分，投中 2 次小组获得 20 分，投中 1 次小 组获得 10 分，三人都不中，小组减去 60 分，随机变量 X 表示小组总分，求随机变量 X 的分布列及数学期望． 解：（1） ① 男生投中 2 次，女生投中 2 次的概率为 × × × + × × × × ×4＝ ； ② 男生投中 1 次，女生投中 3 次的概率为 × × × × × × × ＝ ； ③ 男生投中 0 次，女生投中 4 次的概率为 × × ＝ ， 所以共投中 4 次的概率为 + + ＝ ． （2）X 的所有可能取值为 30，20，10，﹣60， P（X＝30）＝ × ＝ ， P（X＝20）＝ × × × + × × ＝ ， P（X＝10）＝ × + × × × ＝ ， P（X＝﹣60）＝ × ＝ ， 所以 X 的分布列为 X 30 20 10 ﹣60 P 数学期望 E（X）＝30× +20× +10× +（﹣60）× ＝ ．