大题专练训练46:随机变量的分布列(摸球类)-2021届高三数学二轮复习
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大题专练训练46:随机变量的分布列(摸球类)-2021届高三数学二轮复习

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时间:2021-03-20

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资料简介
二轮大题专练 46—随机变量的分布列(摸球类) 1.一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的 8 个小球,其中白色球与黄色球各 3 个,红 色球与绿色球各 1 个.现甲、乙两人进行摸球得分比赛,摸到白球每个记 1 分、黄球每个记 2 分、红球每个记 3 分、绿球每个记 4 分,以得分高获胜.比赛规则如下:①只能一个人摸 球;②摸出的球不放回;③摸球的人先从袋中摸出 1 球;若摸出的是绿色球,则再从袋子里 摸出 2 个球;若摸出的不是绿色球,则再从袋子里摸出 3 个球,他的得分为两次摸出的球的 记分之和;④剩下的球归对方,得分为剩下的球的记分之和. (1)若甲第一次摸出了绿色球,求甲的得分不低于乙的得分的概率; (2)如果乙先摸出了红色球,求乙得分 的分布列和数学期望 E . 解:(1)记“甲第一次摸出了绿色球,甲的得分不低于乙的得分”为事件 A , 因为球的总分为 16,即事件 A 指的是甲的得分大于等于 8, 则 1 1 2 1 6 3 2 7 9 3( ) 21 7 C C CP A C    , (2)如果乙第一次摸出红球,则可以再从袋子里摸出 3 个小球, 则得分情况有:6 分、7 分、8 分、9 分、10 分、11 分, 3 3 3 7 1( 6) 35 CP C     , 2 1 3 3 3 7 9( 7) 35 C CP C     , 1 2 3 3 3 7 9( 8) 35 C CP C     , 1 1 3 3 1 3 3 3 7 7 4( 9) 35 C C CP C C      , 1 1 1 3 3 1 3 7 9( 10) 35 C C CP C      , 2 1 3 1 3 7 3( 11) 35 C CP C     , 所以 的分布列为:  6 7 8 9 10 11 P 1 35 9 35 9 35 4 35 9 35 3 35 所以 的数学期望 60 7E  . 2.某不透明纸箱中共有 4 个小球,其中 1 个白球,3 个红球,它们除了颜色外均相同. (1)一次从纸箱中摸出两个小球,求恰好摸出 2 个红球的概率; (2)每次从纸箱中摸出一个小球,记录颜色后放回纸箱,这样摸取 4 次,记取到红球的次 数为 ,求 的分布列; (3)每次从纸箱中摸取一个小球,记录颜色后放回纸箱,这样摸取 20 次,取得几次红球的 概率最大?(只需写出结论). 解:(1)设“一次从纸箱中摸出两个小球,恰好摸出 2 个红球”为事件 A , 则从 4 个球中摸出 2 个,有 2 4C 种取法,都是红球的取法有 2 3C 种, 则 P (A) 2 3 2 4 1 2 C C   . (2) 可能取 0,1,2,3,4, 0 0 4 4 3 3 1( 0) ( ) (1 )4 4 256P C     , 1 1 3 4 3 3 3( 1) ( ) (1 )4 4 64P C     , 2 2 2 4 3 3 27( 2) ( ) (1 )4 4 128P C     , 3 3 1 4 3 3 27( 3) ( ) (1 )4 4 64P C     , 4 4 0 4 3 3 81( 4) ( ) (1 )4 4 256P C     . 所以 的分布列为  0 1 2 3 4 P 1 256 3 64 27 128 27 64 81 256 (3)根据题意,纸箱中共有 4 个小球,其中 1 个白球,3 个红球,每次从纸箱中摸出一个 小球,取出红球的概率为 3 4 , 若连续摸取 20 次,摸到红球次数的期望为 320 154   , 则摸到 15 次红球的概率最大. 3.袋中有 10 个大小、材质都相同的小球,其中红球 3 个,白球 7 个.每次从袋中随机摸出 1 个球,摸出的球不再放回.求: (Ⅰ)第一次摸到红球的概率; (Ⅱ)在第一次摸到红球的条件下,第二次也摸到红球的概率; (Ⅲ)第二次摸到红球的概率. 解:根据题意,设事件 A :第一次摸到红球;事件 B :第二次摸到红球, 则事件 A :第一次摸到白球. (Ⅰ)袋中有 10 个球,第一次从 10 个球中摸一个共 10 种不同的结果,其中是红球的结果 共 3 种, 所以 3( ) 10P A  , (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论, 3( ) 10P A  ,前两次都摸到红球的概率 3 2 1( ) 10 9 15P AB    , 则 ( ) 2( | ) ( ) 9 P ABP B A p A   ; (Ⅲ) 3( ) 10P A  ,则 ( ) 1P A P  (A) 7 10  , 7 3 7( ) 10 9 30P AB    , 则 P (B) 1 7 3( ) ( ) 15 30 10P AB P AB     ; 所以第二次摸到红球的概率 3( ) 10P B  . 4.某大型商场国庆期间举行抽奖活动,活动规定:凡是一次性购物满 200 元的顾客就可以 从装有 3 个红球,5 个白球(除颜色外,其他完全相同)的抽奖箱中无放回地摸出 3 个小球, 摸到红球才能中奖,摸到 1 个红球奖励 1 元,摸到 2 个红球奖励 4 元,摸到 3 个红球奖励 10 元.活动第一天有 700 人次购物满 200 元,其中有 140 人次没有参与抽奖活动. (1)求活动第一天购物满 200 元的 700 人次中参与抽奖的频率; (2)设每次参与抽奖活动所得奖金的金额为 X 元,求 X 的分布列,并求活动第一天该商场 投入奖金总金额的数学期望. 解:(1)活动第一天购物满 200 元的 700 人次中参与抽奖的频率为 1401 0.8700   . (2) X 的可能取值为 0,1,4,10 , 3 5 3 8 5( 0) 28 CP X C    , 1 2 3 5 3 8 15( 1) 28 C CP X C    , 2 1 3 5 3 8 15( 4) 56 C CP X C    , 3 3 3 18 1( 10) 56 CP X C    , 则 X 的分布列为: X 0 1 4 10 P 5 28 15 28 15 56 1 56 所以 5 15 15 1 250 1 4 1028 28 56 56 14EX          , 故活动第一天该商场投入奖金总金额的数学期望为 (700 140) 1000EX  元. 5.有三个同样的箱子,甲箱中有 2 只红球,6 只白球,乙箱中有 6 只红球,4 只白球,丙箱 中有 3 只红球,5 只白球. (1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球,求三球都为红球的概率; (2)从甲,乙、丙中随机取一箱,再从该箱中任取一球,求该球为红球的概率. 解:(1)根据题意,记事件 1A :从甲箱中取一球为红球,事件 2A :从乙箱中取一球为红球, 事件 3A :从丙箱中取一球为红球, 记事件 B :取得的三球都为红球,且事件 1A , 2A , 3A 相互独立, 所以 1 2 3 1 3 3 9( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 8 160P B P A P A P A       , 所以三球都为红球的概率为 9 160 . (2)记事件 C :该球为红球,事件 1D :取甲箱,事件 2D :取乙箱,事件 3D :取丙箱 因为 1 2 3 1 3 3( | ) , ( | ) , ( | )4 5 8P C D P C D P C D   , 所以 P (C) 1 1 2 2 3 3 1 1 1 3 1 3 49( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 3 4 3 5 3 8 120P D P C D P D P C D P D P C D             , 所以该球为红球的概率为 49 120 . 6.一个不透明的袋子中装有 5 个小球,其中有 3 个红球,2 个白球,这些球除颜色外完全 相同. (1)记事件 A 为“一次摸出 2 个球,摸出的球为一个红球,一个白球”.求 P (A); (2)记事件 B 为“第一次摸出一个球,记下颜色后将它放回袋中,再次摸出一个球,两次 摸出的球为不同颜色的球”,记事件 C 为“第一次摸出一个球,不放回袋中,再次摸出一个 球,两次摸出的球为不同颜色的球”,求证: P (C) P (B) 1 5 P (A). 解:(1)一个不透明的袋子中装有 5 个小球,其中有 3 个红球,2 个白球,这些球除颜色外 完全相同. 记事件 A 为“一次摸出 2 个球,摸出的球为一个红球,一个白球”. 一次摸出 2 个球基本事件总数 2 5 10n C  , 其中摸出的球为一个红球,一个白球包含的基本事件个数 1 1 3 2 6m C C  , P (A) 6 3 10 5 m n    . (2)证明:记事件 B 为“第一次摸出一个球,记下颜色后将它放回袋中,再次摸出一个球, 两次摸出的球为不同颜色的球”, P (B) 3 2 2 3 12 5 5 25     , 记事件 C 为“第一次摸出一个球,不放回袋中,再次摸出一个球,两次摸出的球为不同颜 色的球”, P (C) 3 2 2 3 12 3 5 4 20 5      , P (C) P (B) 1 5 P (A). 7.袋中有大小形状均相同的 1 白球、2 黑球,现进行摸球游戏,约定摸出白球得 2 分,摸 出黑球得 1 分. (Ⅰ)现约定有放回地摸球 4 次,得分为 X,求变量 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)当游戏得分为 n(n ∈ N*)时,游戏停止,记得 n 分的概率为 pn,pn 的和为 Qn,Q1 = . (ⅰ)求 Q2; (ⅱ)若 Tn=Qn+1﹣Qn,求数列{Tn}的通项公式. 解:(Ⅰ)X 的所有可能取值为 4,5,6,7,8,得 1 分的概率为 ,得 2 分的概率为 , 则 P(X=4)=( )4= , P(X=5)= = , P(X=6)= = , P(X=7)= = , P(X=8)= = , ∴X 的分布列为: X 4 5 6 7 8 P ∴E(X)= = . (Ⅱ)(i)由题意得 Q2= = . (ii)得 n 分分为两种情形,第一种在得(n﹣2)分之后再摸出白球,得 2 分,第二种在 得(n﹣1)分之后再摸出黑球得 1 分, ∴当 n≥3 时,Qn= , 则 Tn+1=Qn+2﹣Qn+1= =﹣ (Qn+1﹣Qn)=﹣ , ∴数列{Tn}是以 为首项,﹣ 为公比的等比数列, ∴Tn= (﹣ )n﹣1=(﹣ )n+1.

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