大题专练训练45：随机变量的分布列（二项分布2）-2021届高三数学二轮复习

二轮大题专练 45—随机变量的分布列（二项分布 2） 1．2019 年 9 月 1 日央视《开学第一课》播出后，社会各界反响强烈，全国人民爱国主义热 情空前高涨，在新中国成立 70 周年前夕，上演了一次小高潮．某兴趣小组为了了解某校 学生对《开学第一课》的喜欢程度，从该校随机抽取了 100 名学生对该节目进行打分， 并把相关的统计结果记录如表： 喜欢程 度 不喜欢 喜欢 非常喜欢 分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数 1 9 18 32 40 以喜欢程度位于各区间的频率代替喜欢程度位于该区间的概率． （1）试估计这 100 名学生对节目打分的中位数和平均数； （2）为了感谢学生对该次调查统计的支持，兴趣小组决定从全校随机抽取 3 名学生进行 奖励，X 表示所抽取的学生中来自“非常喜欢”的人数，求 X 的分布列和数学期望． 解：（1）∵0.01+0.09+0.18＜0.5，0.01+0.09+0.18+0.32＞0.5， ∴中位数 x ∈ [80，90）， 由 0.01+0.09+0.18+（x﹣80）× ＝0.5，解得 x＝86.875， 故中位数为 86.875； 由 55× +65× ＝85.1， 得平均数为 85.1； （2）从该校随机抽取 1 名学生，该学生对节目喜欢程度为“非常喜欢”的概率为 ． X 的可能取值为 0，1，2，3， 则 P（X＝0）＝ ， P（X＝1）＝ ， P（X＝2）＝ ， P（X＝3）＝ ． X 的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴E（X）＝0× ＝ ． 2．2020 年初，新冠肺炎袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北外疫情最严重的省 份之一，截止 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）． （1）为了了解新冠肺炎的相关特征，研究人员统计了他们的年龄数据，可以大致认为， 该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布 N（54.8，15.22），请估计该省新冠肺炎患者年 龄在 70 岁以上的患者比例； （2）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占 10%， 以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是 否确诊相互独立，现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n（n 可以取 2，4，5，10）个人一组平均分组，并将同组 n 个人 每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的 n 个人抽取的另一 半血液逐一化验，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少 的 n 的值． 参考数据：若 Z～N（ μ ，σ2），则 P（ μ ﹣σ＜Z＜ μ +σ）＝0.6826，P（ μ ﹣2σ＜Z＜ μ +2 σ）＝0.9544，P（ μ ﹣3σ＜Z＜ μ +3σ）＝0.9973.0.94≈0.66，0.95≈0.59，0.910≈0.35． 解：（1）P（54.8﹣15.2＜X＜54.8+15.2）＝P（39.6＜X＜70）＝0.6826． P（Z≥70）＝ ＝ ＝0.1587＝15.87%． 所以该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（≥70）的患者比例为 15.87%． （2）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为 ， n 的可能取值为 2，4，5，10．且 Xn～B（n， ） 对于某组 n 个人，化验次数 Y 的可能取值为 1，n+1． P（Y＝1）＝ ，P（Y＝n+1）＝1﹣ 所以 E（Y）＝1• +（n+1）[1﹣ ]＝n+1﹣n ， 则 20 人的化验总次数为 f（n）＝ [n+1﹣n ]＝20[1+ ﹣ ]， 经计算 f（2）＝13.8，f（4）≈11.8，f（5）≈12.2，f（10）≈15． 所以，当 n＝4 时符合题意，即按 4 人一组检测，可是化验总次数最少． 3．某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三 1000 名学生的视力情况进行了调 查，从中随机抽取了 100 名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图： 前 50 名 后 50 名 近视 42 32 不近视 8 18 （1）求 a 的值，并估计这 1000 名学生视力的中位数（精确到 0.01）； （2）为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前 50 名与后 50 名的学 生进行了调查，得到如上图表格数据：根据表中数据，能否有 95%把握认为视力与学习 成绩有关？ （3）若报考某高校某专业的资格为：视力不低于 5.0，以该样本数据来估计全市高三学 生的视力，现从全市视力在 4.8 以上的同学中随机抽取 4 名同学，这 4 名同学中有资格报 该校该专业的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望． P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 其中 ． 解：（1）由频率分布直方图的性质得： （0.25+0.5+2a+1+1.75）×0.2＝1， 解得 a＝0.75． 视力在 4.4 以下的频率为：（0.5+0.75）×0.2＝0.25， 视力在 4.6 以下的频率为：（0.5+0.75+1.75）×0.2＝0.6， ∴中位数在 4.4 至 4.6 之间，设中位数为 x， 则（x﹣4.4）×1.75＝0.5﹣0.25，解得 x＝4.54， ∴中位数为 4.54． （2）K2＝ ＝ ≈5.2＞3.841， ∴有 95%把握认为视力与学习成绩有关． （3）视力在 4.8 以上的同学中，视力在 5.0 以上的同学所占有比例为： ＝ ， ∴从全市视力在 4.8 以上的同学中随机抽取 4 名同学， 这 4 名同学中有资格报该校专业的人数 X～B（4， ）， P（X＝0）＝ ＝ ， P（X＝1）＝ × × ＝ ， P（X＝2）＝ × × ＝ ， P（X＝3）＝ × ＝ ， P（X＝4）＝（ ）4＝ ， ∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P E（X）＝4× ＝1． 4．2019 年“非洲猪瘟”过后，全国生猪价格逐步上涨，某大型养猪企业，欲将达到养殖周 期的生猪全部出售，根据去年的销售记录，得到销售生猪的重量的频率分布直方图（如 图所示）． （1）根据去年生猪重量的频率分布直方图，估计今年生猪出栏（达到养殖周期）时，生 猪重量达不到 270 斤的概率（以频率代替概率）； （2）若假设该企业今年达到养殖周期的生猪出栏量为 5000 头，生猪市场价格是 8 元/斤， 试估计该企业本养殖周期的销售收入是多少万元； （3）若从本养殖周期的生猪中，任意选两头生猪，其重量达到 270 斤及以上的生猪数为 随机变量 Y，试求随机变量 Y 的分布列及方差． 解：（1）估计生猪重量达不到 270 斤的概率为（0.0005+0.002）×40+0.005× 30＝0.25． （2）生猪重量的平均数为 180×0.02+220×0.08+260×0.2+300×0.32+340×0.24+380× 0.1+420×0.04＝305.6（斤）． 所以估计该企业本养殖周期的销售收入是 305.6×8×5000＝1222.4（万元）． （3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到 270 斤及以上的概率为 ， 由题意可得随机变量 Y 的所有可能取值为 0，1，2，则 Y～B（2， ）， ∴ ， ， ， ∴随机变量 Y 的分布列为 Y 0 1 2 P ∴随机变量 Y 的方差 ． 5．某土特产超市为预估 2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2019 年元旦期间的 90 位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表． 购买金额 （元） [0，15） [15，30） [30，45） [45，60） [60，75） [75，90] 人数 10 15 20 15 20 10 （1）根据以上数据完成 2×2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关． 不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 40 女 18 合计 （2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于 60 元可抽奖 3 次，每次 中奖概率为 p（每次抽奖互不影响，且 p 的值等于人数分布表中购买金额不少于 60 元的 频率），中奖 1 次减 5 元，中奖 2 次减 10 元，中奖 3 次减 15 元．若游客甲计划购买 80 元的土特产，请列出实际付款数 X（元）的分布列并求其数学期望． 附：参考公式和数据： ． 附表： k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 P（K2≥k0） 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 解：（1）2×2 列联表如下： 不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 12 40 52 女 18 20 38 合计 30 60 90 K ， 因此有 95%的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关； （2）由题意可得 X 的所有可能取值为 65，70，75，80， 且 p＝ ，由题意随机变量 X 服从二项分布 X～B（3， ）， 则 P（X＝65）＝C ，P（X＝70）＝C ， P（X＝75）＝C ，P（X＝80）＝C ， 所有 X 的分布列如下： X 65 70 75 80 P 期望 E（X）＝65× ． 6．中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带一 路”的发展，中亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、电子元 件、农产品丰富着海外市场．为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产 品的一个系统 G 有 3 个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为 2 3 ，且每个电子 元件能否正常工作相互独立，若系统 G 中有超过一半的电子元件正常工作，则 G 可以正常 工作，否则就需要维修，且维修所需费用为 900 元． （1）求系统需要维修的概率； （2）该电子产品共由 3 个系统G 组成，设 为电子产品所需要维修的费用，求 的期望； （3）为提高系统G 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元 件，每个新元件正常工作的概率为 p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作．问： p 满足什么条件时可以提高整个系统 G 的正常工作概率？ 解：（1）该电子产品的一个系统 G 有 3 个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率 为 2 3 ， 且每个电子元件能否正常工作相互独立， 系统 G 中有超过一半的电子元件正常工作，则 G 可以正常工作，否则就需要维修， 系统需要维修的概率为： 0 3 1 2 3 3 1 2 1 7( ) ( )( )3 3 3 27P C C   ． （2）设 X 为需要维修的系统的个数，则 1~ (3, )3X B ，且 900X  ，  的期望 1( ) 900 ( ) 900 3 9003E E X      （元 ) ． （3）当系统 G 有 5 个元件时，原来 3 个电子元件中至少有 1 个元件正常工作，G 系统正常 才正常工作， 若前 3 个电子元件中有 1 个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作， 则概率为 1 2 2 2 1 3 2 1 2( )( )3 3 9P C p p  ， 若前 3 个电子元件中有 2 个正常工作，同时新增的两个至少有 1 个正常工作， 则概率为： 2 2 1 2 2 2 3 2 2 1 4( ) ( )[ (1 ) ] (2 )3 3 9P C C p p p p p      ， 若前 3 个电子元件都正常工作，则不管新增的两个是否正常工作，系统 G 均能正常工作， 则概率为： 2 3 2 8( )3 27P   ， 新增两个元件后系统 G 能正常一作的概率为： 2 2 22 4 8 2 8 8(2 )9 9 27 9 9 27P p p p p p        ， 由 22 8 8 2 9 9 27 3p p    ， 由 0 1p„ „ ，得 6 21 13 p  „ ，  6 21 13 p  „ 时可以提高整个系统 G 的正常工作概率． 7．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户每日健步 的步数．某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽 取了 2000 人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数（单位：千步，假设每天健 步的步数均在 3 千步至 21 千步之间）．将样本数据分成[3，5），[5，7）[7，9），[9，11）， [11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21]九组，绘制成如图所示的频率分布 直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布． （1）求图中 a 的值； （2）设该企业正常上班的员工健步步数（单位：千步）近似服从正态分布 N（ μ ，σ2）， 其中 μ 近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算），取σ＝3.64，若该企业恰 有 10 万人正常上班的员工，试估计这些员工中日健步步数 Z 位于区间[4.88，15.8]范围内 的人数； （3）现从该企业员工中随机抽取 20 人，其中有 k 名员工的日健步步数在 13 千步至 15 千步内的概率为 P（X＝k），其中 k＝0，1，2，…，20，当 P（X＝k）最大时，求 k 的值． 参考数据：若随机变量 ξ 服从正态分布 N（ μ ，σ2），则 P（ μ ﹣σ＜ ξ ≤ μ +σ）≈0.6827， P（ μ ﹣2σ＜ ξ ≤ μ +2σ）≈0.9545，P（ μ ﹣3σ＜ ξ ≤ μ +3σ）≈0.9973． 解：（1）由 0.02×2+0.03×2+0.05×2+0.05×2+0.15×2+a×2+0.05×2+0.04×2+0.01×2 ＝1， 解得 a＝0.1， （2） μ ＝4×0.04+6×0.04+8×0.1+10×0.1+12×0.3+14×0.2+16×0.1+18×0.08+20×0.02 ＝12.16 ∴P（4.88≤Z≤15.8）＝P（ μ ﹣2σ≤ ξ ≤ μ +σ）＝ ＝0.8186， 100000×0.8186＝81860， ∴估计这些员中日健步步数 Z 位于区间[4.88，15.8]范围内的人数约为 81860 人． （2）设从该企业中随机抽取 20 人日健步步数在 13 千步至 15 千步内的员工有 X 人，则 X～B（20，0.2）， ∴P（X＝k）＝C20k•0.2k•0.820﹣k，k＝0，1，2，…，20， 记 f（k）＝ ＝ ＝ ， 当 f（k）＞1 时，k＜4.2，则 P（X＝k﹣1）＜P（X＝k） 当 f（k）＜1 时，k＞4.2，则 P（X＝k﹣1）＞P（X＝k）， 所以当 k＝4 时，P（X＝k）最大．