大题专练训练48：随机变量的分布列（决策类）-2021届高三数学二轮复习

二轮大题专练 48—随机变量的分布列（决策类） 1．在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的 概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在 使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备” （即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算 机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为 ，它们之间相互不影响． （1）要使系统的可靠度不低于 0.992，求 r 的最小值； （2）当 0.9r  时，求能正常工作的设备数 X 的分布列； （3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是 0.7，根据以往经验可知， 计算机网络断掉可能给该产业园带来约 50 万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损 失，有以下两种方案： 方案 1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在 0.9，更新设备硬件总费用为 8 万元； 方案 2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在 0.8，设备维护总费用为 5 万元． 请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？ 解：（1）要使系统的可靠度不低于 0.992， 则 3( 1) 1 ( 1) 1 ( 0) 1 (1 ) 0.992P X P X P X r        … … ， 解得 0.8r… ，故 r 的最小值为 0.8． （2） X 正常工作的设备数，由题意可知， ~ (3, )X B r ， 0 0 3 3( 0) 0.9 (1 0.9) 0.001P X C      ， 1 1 2 3( 1) 0.9 (1 0.9) 0.027P X C      ， 2 2 1 3( 2) 0.9 (1 0.9) 0.243P X C      ， 3 3 0 3( 3) 0.9 (1 0.9) 0.729P X C      ， 从而 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 （3）设方案 1、方案 2 的总损失分别为 1X ， 2X ， 采用方案 1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到 0.9，由（2）可知计算机网络断掉 的概率为 0.001，不断掉的概率为 0.999， 因为 1( ) 80000 0.001 500000 80500E X     元． 采用方案 2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在 0.8，由（1）可知计算机网络 断掉的概率为 0.008， 2( ) 50000 0.008 500000 54000E X     元， 因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案 2． 2．为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造、智能制造，把我国制造业和实 体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平．一 些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时要进行调查统计．某一小型工厂自己没有 管理软件的高级技术员，欲购买软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管理 软件服务公司提供了如下两种方案： 方案一：管理软件服务公司每月收取工厂 4800 元，每次提供软件服务时，再另外收取 200 元． 方案二：管理软件服务公司每月收取工厂 7600 元，若每月提供的软件服务不超过 15 次， 不另外收费；若超过 15 次，超过部分的软件服务每次的收费标准为 500 元． （1）设该管理软件服务公司月收费为 y 元，每月提供软件服务的次数为 x，试写出两种 方案中 y 与 x 的函数关系式． （2）该工厂对该管理软件服务公司近 20 个月每个月为另一个工厂提供软件服务的次数 进行了调查统计，得到如图所示的条形图．该工厂要调查服务质量，服务次数为 13 次和 16 次的月份中任选 3 个月，求这 3 个月中恰好有 1 个月的服务次数为 13 次，2 个月的服 务次数为 16 次的概率． （3）依据条形图中统计的数据，从节约服务成本的角度考虑，以一个月管理服务费的平 均值为决策依据，从两种方案中选择一种，该工厂选择哪种方案更合适？请说明理由． 解：（1）由题意知方案一中管理软件服务公司的月收费 y 与 x 的函数关系式为： y＝200x+4800，x ∈ N． 方案二中管理软件服务公司的月收费 y 与 x 的函数关系为： y＝ （2）记选择的 3 个月中，恰好有 1 个月的服务次数为 13 次，2 个月的服务次数为 16 次 为事件 A， 由题中条形图得服务次数为 13 次的 2 个月份，分别记为 A，B， 服务次数分别为 16 次的 4 个月份记为 a，b，c，d， 从这 6 个月中随机选择 3 个月，所有可能的情况有 20 种，分别为： （A，B，a），（A，B，b），（A，B，c），（A，B，d）， （A，a，b），（A，a，c），（A，a，d），（A，b，c）， （A，b，d），（A，c，d），（B，a，b），（B，a，c）， （B，a，d），（B，b，c），（B，b，d），（B，c，d）， （a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d）， 这 3 个月中恰好有 1 个月的服务次数为 13 次，2 个月的服务次数为 16 次包含的基本事件 有 12 种，分别为： （A，a，b），（A，a，c），（A，a，d），（A，b，c），（A，b，d），（A，c，d）， （B，a，b），（B，a，c），（B，a，d），（B，b，c），（B，b，d），（B，c，d）， ∴这 3 个月中恰好有 1 个月的服务次数为 13 次，2 个月的服务次数为 16 次的概率为 P ＝ ． （3）设方案一中管理软件服务公司的平均收费为 ， 由已知和（1）中的结果可得 ＝ （7400×2+7600×8+7800×2+8000×4+8200×4） ＝7800（元）， 设方案二中管理软件服务公司的平均月收费为 ＝ ×（7600×12+8100×4+8600×4） ＝7900（元）， ∵ ＜ ，∴从节约服务成本的角度考虑，记工厂选择方案一更合适． 3．为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造、智能制造，把我国制造业和实 体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平．一 些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计．某一小型工厂自己没 有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某 一管理软件服务公司有如下两种收费方案． 方案一：管理软件服务公司每月收取工厂 4800 元，对于提供的软件服务，每次另外收费 200 元； 方案二：管理软件服务公司每月收取工厂 7600 元，若每月提供的软件服务不超过 15 次， 不另外收费，若超过 15 次，超过部分的软件服务每次另外收费 500 元． （1）设管理软件服务公司月收费为 y 元，每月提供的软件服务的次数为 x，试写出两种 方案中 y 与 x 的函数关系式； （2）该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去 20 个月提供的软件服务的次数进 行了统计，得到如图所示的条形统计图，该工厂要调查服务质量，现从服务次数为 13 次 和 14 次的月份中任选 3 个月求这 3 个月，恰好是 1 个 13 次服务、2 个 14 次服务的概率； （3）依据条形统计图中的数据，把频率视为概率从节约成本的角度考虑该工厂选择哪种 方案更合适，请说明理由． 解：（1）由题意知，方案一中管理软件服务公司的月收费 y 与 x 的函数关系式为 y＝ 200x+4800，x ∈ N， 方案二中管理软件服务公司的月收费 y 与 x 的函数关系为： y＝ （2）记选择的 3 个月恰好是 1 个 13 次服务、2 个 14 次服务为事件 A， 则 P（A）＝ ＝ ． （3）对于方案一，设管理软件服务公司的月收费为 ξ 元， 由条形统计图得 ξ 的取值为 7400，7600，7800，8000，8200， P（ ξ ＝7400）＝0.1， P（ ξ ＝7600）＝0.4， P（ ξ ＝7800）＝0.1， P（ ξ ＝8000）＝0.2， P（ ξ ＝8200）＝0.2， ∴ ξ 的分布列为： ξ 7400 7600 7800 8000 8200 P 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2 E（ ξ ）＝7400×0.1+7600×0.4+7800×0.1+8000×0.2+8200×0.2＝7800． 对于方案二，设管理软件服务公式的月收费为 η 元， 由条形统计图得 η 的可能取值为 7600，8100，8600， P（ η ＝7600）＝0.6， P（ η ＝8100）＝0.2， P（ η ＝8600）＝0.2， ∴ η 的分布列为： η 7600 8100 8600 P 0.6 0.2 0.2 E（ η ）＝7600×0.6+8100×0.2+8600×0.2＝7900． ∵E（ ξ ）＜E（ η ）， ∴从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适． 4．小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲 方案：底薪 100 元，每派送一单奖励 1 元；乙方案：底薪 140 元，每日前 54 单没有奖励， 超过 54 单的部分每单奖励 20 元． （1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪 y（单位：元）与送货单数 n 的函数关系式； （2）根据该公司所有派送员 100 天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下 条件：在这 100 天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 （ ， ]（n＝1，2，3，4，5）时，日平均派送量为 50+2n 单，若将频率视为概率， 回答下列问题： ① 估计这 100 天中的派送量指标的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表）： ② 根据以上数据，设每名派送员的日薪为 X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的 日薪 X 的分布列及数学期望．请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合 适？并说明你的理由． 解：（1）甲方案中派送员日薪 y（单位：元）与送单数 n 的函数关系式为：y＝100+n，n ∈ N ， 乙 方 案 中 派 送 员 日 薪 y （ 单 位 ： 元 ） 与 送 单 数 n 的 函 数 关 系 式 为 ： y ＝ ，n ∈ N （2） ① （0.1×1+0.3×1.5+0.5×1+0.7×1+0.9×0.5）×0.2＝0.44 ② 所以 X 甲的分布列为： X 甲 152 154 156 158 160 P 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 所以 E（X 甲）＝152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1＝155.4， 所以 X 乙的分布列为： X 乙 140 180 220 260 P 0.5 0.3 0.2 0.1 所以 E（X 乙）＝140×0.5+180×0.3+220×0.2+260×0.1＝176， 由以上的计算结果可以看出，E（X 甲）＜E（X 乙）， 即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案． 5．某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投 3 次，每次投篮的结果相互 独立．在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分，否则得 0 分．将学生得分 逐次累加并用 X 表示，如果 X 的值不低于 3 分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则 应继续投篮，直到投完三次为止．现有两种投篮方案： 方案 1：先在 A 处投一球，以后都在 B 处投； 方案 2：都在 B 处投篮． 已知甲同学在 A 处投篮的命中率为 ，在 B 处投篮的命中率为 ． （Ⅰ）若甲同学选择方案 1，求他测试结束后所得总分 X 的分布列和数学期望 E（X）； （Ⅱ）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由． 解：（Ⅰ）设甲同学在 A 处投中为事件 A，在 B 处第次 i 投中为事件 Bi（i＝1，2）， 由已知 ．X 的取值为 0，2，3，4． 则 ， ， ， ， X 的分布列为： X 0 2 3 4 P X 的数学期望为： ， （Ⅱ）甲同学选择方案 1 通过测试的概率为 P1，选择方案 2 通过测试的概率为 P2， 则 ， ， ∵P2＞P1， ∴甲同学选择方案 2 通过测试的可能性更大． 6．2017 年 11 月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光， 一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中．某投资公司准备在 2018 年年初将 四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中． 项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实 物见证．现准备投资建设 20 个天坑院，每个天坑院投资 0.2 百万元，假设每个天坑院是 否盈利是相互独立的，据市场调研，到 2020 年底每个天坑院盈利的概率为 p（0＜p＜1）， 若盈利则盈利投资额的 40%，否则盈利额为 0． 项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区．据 市场调研，投资到该项目上，到 2020 年底可能盈利投资额的 50%，也可能亏损投资额的 30%，且这两种情况发生的概率分别为 p 和 1﹣p． （1）记 X（单位：百万元）为投资项目一盈利额，求 E（X）（用 p 表示）； （2）试以项目盈利的期望为依据，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项 目，并说明理由． 解：（1）由题意，记为盈利的田坑院个数，则 X1～B（20，p）， 则盈利的田坑院数的均值 E（X1）＝20p， 故盈利的均值为 E（X）＝E（0.08X1）＝0.08E（X1）＝0.08×20p＝1.6p； （2）记 X2 为投资项目二盈利额，则 X2 的分布列为： X2 2 ﹣1.2 P P 1﹣p 盈利的均值 E（X2）＝2p﹣1.2（1﹣p）＝3.2p﹣1.2． ① 当 E（0.08X1）＝E（X2）时，1.6p＝3.2p﹣1.2， 解得 p＝ ，故两个项目均可投资； ② 当 E（0.08X1）＞E（X2）时，1.6p＞3.2p﹣1.2， 解得 0＜p＜ ，此时选择项一； ③ 当 E（0.08X1）＜E（X2）时，1.6p＜3.2p﹣1.2， 解得 p＞ ，此时选择项二． 7．某智能机器人生产企业对一次性购买 4 台机器人的客户，推出了 3 种超过质保期后延期 2 年内维修优惠方案： 方案 1：不交维修延保金，维修 1 次费用 6000 元； 方案 2：交纳延保金 3000 元，维修费用每次 3000 元； 方案 3：交纳延保金 5000 元，在延保期内总共免费维修 2 次，超过 2 次每次维修费用 2000 元． 通过大数据得知，每台智能机器人在 2 年延保期内没有故障的概率为 ，每台机器人出 现 1 次故障的概率为 ． 记 X 表示这 4 台智能机器人超过质保期后延保的 2 年内，共需维修的次数． （1）求 X 的分布列； （2）以 3 个方案所需费用（所交延保金及维修费用之和结果，保留为整数）的期望值作 为决策依据，客户选择哪种延保方案更合算？请说明理由． 解：（1）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4 则 P（X＝0）＝ ＝ ， P（X＝1）＝ × × ＝ ， P（X＝2）＝ × ×（ ）2＝ ， P（X＝3）＝ × ×（ ）3＝ ， P（X＝4）＝ ＝ ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P （2）选择延保方案 1，所需费用 Y1 元的分布列为： Y1 0 6000 12000 18000 24000 P E（Y1）＝0× +6000× +12000× +18000× +24000× ＝8000， 选择延保方案 2，所需费用 Y2 元的分布列为： Y2 3000 6000 9000 12000 15000 P 选择延保方案 3，所需费用 Y3 元的分布列为： Y3 5000 7000 9000 P E（Y3）＝5000× +7000× +9000× ≈5247， E（Y3）＜E（Y2）＜E（Y1）， 所以客户选择第 3 种延保方案更合算． 8．经过多年的努力，天水市秦安县白凤桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为部分农 民脱贫致富的好产品．为了更好地销售，现从某村的白凤桃树上随机摘下了 100 个白凤 桃进行测重，其质量分布在区间[200，500]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率 分布直方图如图所示： （Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在[350，400），[400，450）的白凤桃中随机抽取 5 个， 再从这 5 个白凤桃中随机抽 2 个，记这 2 个白凤桃质量落在[350，400）间的个数为随机 变量 X，求 X 的分布列； （Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的 白凤桃树上大约还有 100000 个白凤桃待出售，某电商提出两种收购方案： A．所有白凤桃均以 20 元/千克收购； B．低于 350 克的白凤桃以 5 元/个收购，高于或等于 350 克的以 9 元/个收购． 请你通过计算为该村选择收益最好的方案． （参考数据：225×0.05+275×0.16+325×0.24×0.3+425×0.2+475×0.05＝354.5） （Ⅰ）由题得白凤桃质量在[350，400）和[400，450）的比例为 3：2， ∴应分别在质量为[350，400）和[400，450）的白凤桃中各抽取 3 个和 2 个． 记抽取质量在[350，400）的白凤桃为 A1，A2，A3，质量在[400，450）的白凤桃为 B1， B2， 则从这 5 个白凤桃中随机抽取 2 个的情况共有以下 10 种： A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2， 其中质量至少有一个不小于 400 克的 7 种情况，故所求概率为 ． （Ⅱ）方案 B 好，理由如下： 由频率分布直方图可知，白凤桃质量在[200，250）的频率为 50×0.001＝0.05， 同理，白凤桃质量在[250，300），[300，350），[350，400），[400，450），[450，500）的 频率依次为 0.16，0.24，0.3，0.2，0.05 若按方案 B 收购： ∵白凤桃质量低于 350 克的个数为（0.05+0.16+0.24）×100000＝45000 个 白凤桃质量不低于 350 克的个数为 55000 个 ∴收益为 45000×5+55000×9＝720000 元 若按方案 A 收购： 根据题意各段白凤桃个数依次为 5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收 益为（225×5000+275×16000+325×24000+375×30000+425×20000+475×20000+475× 5000）×20÷1000＝709000（元） ∴方案 B 的收益比方案 A 的收益高，应该选择方案 B．