江西省高三上学期联考文数试卷
（宜春中学 万载中学 樟树中学）
命题学校：樟树中学 命题人：刘园根 审题人：王英
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．）
1. 已知集合 { | 1 2 0}A x x x ， = 1 3B x x ，则 A B （ ）
A. 3,1 B. 3,2 C. 1,1 D. 1,2
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合 ,A B 即得解.
【详解】由题得 ( 1,2)A ， ={ | 3< 1 3} { | 4 2} ( 4,2)B x x x x ， 所以 ( 1,2)A B . 故选：D 2. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A. 3y x B. | |3 xy C. 1 2y x D. 3logy x 【答案】A 【解析】 【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性或单调性，由此确定正确选项. 【详解】对于 A 选项， 3y x 为 R 上的奇函数，且为 R 上的增函数，A 选项正确. 对于 B 选项， 3 xy 为偶函数，B 选项错误. 对于 C 选项， 1 2y x 的定义域为 0, ，为非奇非偶函数，C 选项错误. 对于 D 选项， 3logy x 的定义域为 0, ，为非奇非偶函数，D 选项错误. 故选：A. 3. 在等比数列{ }na 中， 1 41, 27a a ，则公比 q （ ） A. 1 3 B. 3 C. 3 D. 1 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题得 3 1 27a q ，化简即得解. 【详解】因为 1 41, 27a a ， 所以 3 1 27a q ， 所以 3 27q ， 解得 3q . 故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4. 已知向量 3 4a ， ， 2b ，若 5a b ，则 a 与 b 的夹角为（ ） A. 2 3 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积运算的定义可求得夹角的余弦值，从而得到夹角. 【详解】由 3, 4a 得： 9 16 5a cos , 5 2cos , 5a b a b a b a b ，解得： 1cos , 2a b a 与 b 的夹角为： 3 本题正确选项： B 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够熟练掌握向量数量积的定义，属于基础题. 5. 若 ln 2a ， 0.5 2logb ， 0.51.2c ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A. b a c B. a b c C. c b a D. b c a 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出 , ,a b c 的范围即可比较. 【详解】 ln1 ln 2 ln e ， 0 1a ， 0.5 0.5log 2 log 1Q ， 0b ， 0.5 01.2 1.2Q ， 1c ， b a c . 故选：A. 6. 下列命题错误的是（ ） A. “ 2x ”是“ 2 4 4 0x x ”的充要条件 B. 若等比数列 na 公比为 q，则“ 1q ”是“ na 为递增数列”的充要条件 C. 在 ABC 中，若“ A B ”，则“sin sin A B ” D. 命题“若 1 4m ，则方程 2 0x x m 有实根”的逆命题为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于 A:用配方法解一元二次方程即可判断； 对于 B：列举特殊数列-1，-2，-4，-8……作为反例否定结论； 对于 C:根据大边对大角及正弦定理即可判断； 对于 D:先写出原命题的逆命题，再利用判别式解得 m 的范围，即可判断. 【详解】对于 A:由 22 4 4 0 2 0 2x x x x ，∴A 正确； 对于 B：数列-1，-2，-4，-8……是公比 1q 的数列，但是是递减数列，故 B 错误； 对于 C: 在 ABC 中，根据大边对大角， A B a b ；又有正弦定理 sin sin a b A B 得： sin sina b A B ,所以 sin sinA B a b A B ，即若“ A B ”，则“sin sin A B ”，故 C 正 确； 对于 D：命题“若 1 4m ，则方程 2 0x x m 有实根”的逆命题是“若方程 2 0x x m 有实根，则 1 4m ”， ∵方程 2 0x x m 有实根，∴ =1 4 0m ，解得： 1 4m ，故 D 正确. 故选:B 【点睛】（1）要说明一个命题为真命题，需要严格证明；要说明一个命题为假命题，只需要举一个反例就 可以了； （2）判断充要条件的四种方法：①定义法；②传递性法；③集合法；④等价命题法. 7. 函数 sin ln | | y x x 在区间[ 3,3] 的图像大致为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：判断 f x 的奇偶性，在 (0,1) 上的单调性，计算 1f 的值，结合选项即可得出答案. 详解：设 sin lnf x x x ， 当 0x 时， 1sin ln cosf x x x f x x x ， 当 (0,1)x 时， 0f x ，即函数 f x 在 (0,1) 上为单调递增函数，排除 B； 由当 1x 时， 1 sin1 0f ，排除 D； 因为 sin( ) ln sin lnf x x x f x x x f x ， 所以函数 f x 为非奇非偶函数，排除 C，故选 A. 点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用， 试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 8. 2sin 6 4 ，则sin 26 （ ） A. 3 4 B. 3 4 C. 7 4 D. 2 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求得 3cos 23 4 ，由 sin 2 cos 26 3 ，即可得结果． 【详解】由 2 2 2 3cos2 1 2sin 1 26 6 4 4 所以 3cos 23 4 ，因为 2 23 6 2 所以 3sin 2 sin 2 cos 26 2 3 3 4 故选：B 9. 定义 1 2 ... n n p p p 为 n 个正数 1 2, ,...... np p p 的“均倒数”，若已知正整数数列 na 的前 n 项的“均倒 数”为 1 2 1n ，又 1 4 n n ab ，则 1 2 2 3 19 20 1 1 1 b b b b b b （ ） A. 19 20 B. 1 20 C. 10 11 D. 1 11 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据新定义求得 2 1nS n n ，再求数列 na 的通项公式，以及求得 nb n ，最后利用裂 项相消法求和. 【详解】由已知可得数列 na 的前 n 项的“均倒数”为 1 2 1 1 .. 2 1n n n a a a S n ， 可得 2 1nS n n ， 则 2n 时， 2 1 2 1 1 1 2 3 1nS n n n n ， 1 4 1n n na S S n ，当 1n 时， 1 1 3a S ，满足 4 1na n ， 4 1na n ， 又 1 4 n n ab ，故 nb n ， 1 2 2 3 19 20 1 1 1 1 1 1... ...1 2 2 3 19 20b b b b b b 1 1 1 1 1 1 191 .. 12 2 3 19 20 20 20 . 故选：A 【点睛】本题考查新定义数列的理解，考查裂项相消法求和，以及已知 nS 求 na ，属于基础题型，本题的关 键是理解新定义.，并能抽象为 1 2 1n n S n . 10. 已知双曲线 2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b 的左、右焦点分别为 1 3,0F ， 2 3,0F ，过原点的直线 与 C 交于 A，B 两点．若 2 2 3AF B ， 2 2 | | | | 2 6AF BF ，则 C 的方程为（ ） A. 2 2 12 x y B. 2 2 12 yx C. 2 2 1 5 2 yx D. 2 2 1 5 2 x y 【答案】A 【解析】 【分析】由于双曲线和直线都关于原点对称，知 OA OB ，连结 1AF ， 1BF ，则四边形 1 2AF BF 为平行四 边形，利用余弦定理求出 2 2 4AF BF ，又由双曲线的定义得 2 2 2BF AF a ，代入整理即可得出结 果. 【详解】 由过原点的直线与C 交于 A ， B 两点， 则 A ， B 在双曲线的两支，且 OA OB ， 连结 1AF ， 1BF ，则四边形 1 2AF BF 为平行四边形， 所以 1 2AF BF ， 2 1AF BF ， 1 2 3F BF . 在 1 2F BF 中，由余弦定理得， 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 cos 3c BF BF BF BF AF BF AF BF 2 2 2 2 23AF BF AF BF ， 即 2 2 2 22 3 2 6 3 AF BF ， 化简得， 2 2 4AF BF . 又由双曲线的定义， 1 2 2AF AF a ， 即 2 2 2BF AF a . 所以 222 2 2 2 22 4 2 6 16 8a AF BF AF BF ， 故 2 2a ，从而 2 1b ， 故双曲线的方程为 2 2 12 x y . 故选：A 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，是中档题.解题的关键在于根据题意得四边形 1 2AF BF 为平行四边形， 进而利用焦点三角，双曲线的定义，余弦定理运算求解. 11. 已知三棱锥 P ABC 中， 2 3APB ， 3PA PB ， 5AC ， 4BC ，且平面 PAB 平面 ABC ， 则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 16 B. 28 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到CB 平面 PAB ，再将三棱锥 P ABC 放入直三棱柱中，求其外接球半径，计 算表面积即可. 【详解】在 PAB△ 中，由余弦定理得 23 3 2 3 3 cos 33AB ， 又 2 2 2AC AB BC ，所以 ABC 为直角三角形，CB AB . 又平面 PAB 平面 ABC 且交于 AB ， 所以CB 平面 PAB . 将三棱锥 P ABC 放入直三棱柱中，如图所示： 1O ， 2O 分别为上下底面外接圆的圆心， O 为三棱锥 P ABC 外接球的球心，且为 1O ， 2O 的中点. 所以 1 1 22OO BC . 设 PAB△ 的外接圆半径为 r ，则 32 2 32πsin 3 r ，所以 3r . 设几何体的外接球半径为 R ，则 2 2 22 ( 3) 7R ， 所求外接球的表面积 24 28 S R . 故选：B 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，将三棱锥放入直三棱柱中为解题的关键，属于中档题. 12. 已知函数 1 1 x xf x e x ，对于函数 f x 有下述四个结论： ①函数 f x 在其定义域上为增函数； ②对于任意的 1a ，都有 1f a 成立； ③ f x 有且仅有两个零点； ④若 xy e 在点 0 0 0, 1xx e x 处的切线也是 lny x 的切线，则 0x 必是 f x 零点． 其中所有正确的结论序号是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①对函数求导得 2 2( ) 0( 1) xf x e x ，只能说明 f x 在 ( ,1) 和 1, 上都是增函数，不 能说明 f x 在其整个定义域上为增函数； ②直接计算 f a 的值，分离常数后，在 1a 的条件下与 1 比较大小即可； ③可得 f x 在 ( ,1) 和 1, 上都是增函数，由零点存在性定理即可判断； ④先写出 xy e 在 0 0 0, 1xx e x 处的切线方程l ，再设直线l 与 lny x 相切于 1 1,lnA x x ，化简整理 可得 0 0 0 0 1 0 11 x xe xx . 【详解】①函数 f x 的定义域为 ,1 1, ，且 2 2( ) 0( 1) xf x e x ， f x 在 ( ,1) 和 1, 上都是增函数，但不能说明 f x 在其整个定义域上为增函数，故①错误； ②当 1a 时，有 2 01 ae a ， 1 2( ) 1 11 1 a aaf a e ea a ，故②正确； ③ f x 在 ( ,1) 上是增函数，且 2 2 1 1 1( 2) 03 3f e e ， (0) 2 0f ， f x 在 ( ,1) 上 有且仅有 1 个零点； f x 在 1, 上是增函数，且 5 5 24 45 9 3 3 04 e ， 2e(2) 3 0f ， f x 在 1, 上有且仅有 1 个零点，故 f x 有且仅有两个零点，故③正确； ④ xy e 在点 0 0 0, 1xx e x 处的切线方程 l 为 0 0 0 x xy e e x x ，又 l 也是 lny x 的切线，设其 切点为 1 1,lnA x x ，则 l 的斜率为 1 1k x ，则 0 1 1 xex ， 0 1 xx e ，即 0 0,xA e x ，又点 A 在l 上， 0 0 0 0 0 x x xx e e e x ， 0 0 0 0 1 0 11 x xe xx ， 0x 必是 f x 零点，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性和零点问题，有一定的综合性，解题 的关键是利用清楚导数的几何意义以及导数与单调性的关系. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13. 已知向量 4,2a ， ,6b k ，若 a 与b 共线，则 k ________． 【答案】 12 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示得 2 ( 24) 0k ，即可求 k 值. 【详解】由 a 与b 共线，知： 2 ( 24) 0k ，解得 12k . 故答案为： 12 14. 若命题 :p x R ， 2 1 0x mx 为假命题，则 m 的取值范围是______． 【答案】 2 2 , 【解析】 【分析】利用题 p 的否定为真命题可求. 【详解】 命题 :p x R ， 2 1 0x mx 为假命题， p ： x R ， 2 1 0x mx 为真命题， 则 2 4 0m ，解得 2 2m ， 即 m 的取值范围是 2 2 , . 故答案为： 2 2 , . 15. 为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16 万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的 形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本 3 万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加 2 万元，该 厂每年可以收入 20 万元，若该厂 *n n N 年后，年平均盈利额达到最大值，则 n 等于_______．（盈利额 总收入 总成本） 【答案】 4 【解析】 【分析】设每年的营运成本为数列 na ，根据题意可知数列 na 为等差数列，确定该数列的首项和公差， 并求出年平均盈利额，利用基本不等式可求得年平均额的最大值，利用取等号的条件可求得 n 的值. 【详解】设每年的营运成本为数列 na ，依题意该数列为等差数列，且 1 3a ， 2d ， 所以 n 年后总营运成本 2 1 1 1 3 1 22n n n dS na a n n n n ， 因此，年平均盈利额为 220 2 16 16 1618 2 18 10 n n n n nn n n ， 当且仅当 4n 时等号成立． 故答案为： 4 . 【点睛】考查等差数列的应用，考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题. 16. 将函数 cosf x x 的图象先向右平移 3 4 个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的 1 0 倍，纵坐标不变，得到函数 g x 的图象，若函数 g x 在 3,2 2 上没有零点，则 的取值范 围是______． 【答案】 1 1 50, ,6 2 6 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换关系求出函数的解析式，结合函数的零点存在条件建立不等式进行求解 即可． 【详解】解：将函数 ( ) cosf x x 的图象先向右平移 3 4 个单位长度， 得到 3 4cosy x ， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的 1 ( 0) 倍，纵坐标不变得到函数 ( )g x 的图象． 即 3( ) c 4osg x x ， 由 ( ) 0g x ，得 2 3 4x k ，得 4 5x k ， 得 1 5( )4x k ， 若函数 ( )g x 在 3( , )2 2 上没有零点，则 3 2 2 2 T ，即 2T ，即 2 2 ，则 0 1 ， 若函数 ( )g x 在 3( , )2 2 上有零点， 则 1 5 3( )2 4 2k ， k Z 即 1 1 5 3( )2 4 2k ， 当 1k 时， 1 1 1 3 2 4 2 ，得 2 4 23 ，即 1 1 6 2 当 0k 时， 1 1 5 3 2 4 2 ，得 2 4 23 5 ，即 5 5 6 2 ， 综上若 ( )g x 在 3( , )2 2 上有零点，则 1 1 6 2 或 5 5 6 2 ， 则若没有零点，则 10 6 或 1 2 5 6 ， 即 1 1 50, ,6 2 6 故答案为： 1 1 50, ,6 2 6 ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及函数零点的性质是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2 sin 2 sina C c B ． （1）若 4 2b ， 45C ，求 ABC 的面积 S； （2）若 : 2:3b c ，求 2 sin 2 sin 5sin A B C ． 【答案】（1）8；（2） 1 9 . 【解析】 【分析】（1）由 2 sin 2 sina C c B ，利用正弦定理，得 2 2a b ，进而求得 4a ，利用三角形的面积 公式，即可求解． （2）由（1）得 : : 2 : 2:3a b c ，利用余弦定理，求得 cos A的值，即可化简求得结果. 【详解】（1）由 2 sin 2 sina C c B ，得 2 2ac bc ， 2 2a b ． 4 2b ， 4a ， 1 1 2sin 4 4 2 82 2 2S ab C ． （2） 2 2a b ， : 2:3b c ， : : 2 :2:3a b c ， 故可设 2a k ， 2b k ， 3 0c k k ， 则 2 2 2 2 2 2(2 ) (3 ) ( 2 ) 11cos 2 2 2 3 12 b c a k k kA bc k k ， 2 sin 2 sin 2 2 sin cos sin 2 2 cos 5sin 5sin 5 A B A A B a A b C C c 112 2 2 2 112 5 3 9 k k k ． 【点睛】方法点睛：本题考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题， 通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边 关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值，考查学生的转化与化归能力，与运算求解能力， 属于一般题. 18. 受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟 2020 年的春季开学.某学校“停课不停学”，利用云 课平台提供免费线上课程，该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了 500 名学生对该线上课 程平方.其频率分布直方图如图：若根据频率分布直方图得到的评分低于 80 分的概率估计值为 0.45. （1）（i）求直方图中 a，b 值 （ii）若评分的平均值不低于 80 分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中 的数据用该组区间的中点值为代表） （2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60,70) 和[90,100] 内的学生共抽取 5 人进行测试来检验他们 的网课学习效果，再从中选取 2 人进行跟踪分析，求这 2 人中至少 1 人评分在[90,100] 内的概率 【答案】（1）（i） 0.01a ， 0.04b ；（ii）满意，理由见解析；（2） 9 10 . 【解析】 【分析】（1） ( )i 利用频率分布直方图的性质能求出 a ，b ． ( )ii 由频率分布直方图能求出评分的平均值． （2）由题知评分在[60 ，70) 和[90 ，100] 内的频率分别为 0.1 和 0.15，则抽取的 5 人中，评分在[60 ，70) 内的为 2 人，评分在[90 ，100) 的有 3 人，记评分在[90 ，100) 内的 3 位学生为 a ，b ，c ，评分在[60 ，70) 内的 2 位学生为 D ， E ，从这 5 人中任选 2 人，利用列举法能求出这 2 人中至少 1 人评分在[90 ，100] 内 的概率． 【详解】解：（1）（i）由已知得(0.005 0.03) 10 0.45a ， 解得 0.01a ， 又 (0.015 ) 10 0.55b ，∴ 0.04b . （ii）由频率分布直方图得评分的平均值为 55 0.05 65 0.1 75 03 85 0.4 95 0.15 80 ， ∴该校学生对线上课程满意. （2）由题知评分在[60,70) 和[90,100] 内的频率分别为 0.1和 0.15 ， 则抽取的 5 人中，评分在[60,70) 内的为 2 人，评分在[90,100) 的有 3 人，记评分在[90,100] 内的 3 位学 生为 a，b，c， 评分在[60,70) 内的 2 位学生 D，E， 则从 5 人中任选 2 人的所有可能结果为：( , )a b ，( , )a c ，( , )a D ，( , )a E ，( , )b c ，( , )b D ，( , )b E ，( , )c D ， ( , )c E ， ( , )D E ，共 10 种， ∴这 2 人中至少一人评分在[90,100] 的概率为 9 10P . 【点睛】本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运 算求解能力、数据处理能力，属于基础题． 19. 如图，在几何体 BACDEF 中，四边形 CDEF 是菱形， //AB CD ，平面 ADF 平面 CDEF， AD AF ． （1）求证： AC DF ； （2）若 2FA FC FD ，求三棱锥 E BDF 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）1. 【解析】 【分析】（1）推导出 CE DF ， AO DF ，由此 DE 平面 AOC ，从而 AC DF ． （2）三棱锥 E BDF 的体积等于三棱锥 B EDF 的体积，因为 //AB 平面 CDEF，所以点 B 到平面 CDEF 的距离等于 A 到平面 CDEF 的距离，根据体积公式与已知条件求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接 CE，与 DF 交于点 O，则 O 为 DF 的中点， 连接 AO，由四边形 CDEF 是菱形，可得CE DF ， 因为 AD AF ，所以 AO DF ， 因为CE AO O ，所以 DF 平面 AOC， 因为 AC 平面 AOC，所以 AC DF ． （2）因为 //AB CD ， CD 平面 CDEF， AB 平面 CDEF， 所以 //AB 平面 CDEF， 故点 B 到平面 CDEF 的距离等于 A 到平面 CDEF 的距离， 因为平面 ADF 平面 CDEF，平面 ADF I 平面CDEF FD ， 且 AO DF ，所以 AO 平面 CDEF， 由 2FA FC FD ，四边形 CDEF 是菱形，且 AD AF ， 可得 ADF 与 CDF 都是边长为 2 的等边三角形， 所以 2 sin60 3AO ， 1 1 3 3 13 3E BDF B DEF EDFV V S AO V ． 【点睛】本题考查线面垂直与锥体体积求解，等积转换顶点是求三棱锥体积的常用方程． 20. 已知函数 2lnf x x x ax ． （1）若 1a ，求函数 f x 的单调区间； （2）证明当 2a 时，关于 x 的不等式 21 12 af x x x 恒成立； 【答案】（1） f x 的单调递减区间为 1, ，函数 f x 的单增区间为 0,1 ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间； （2）先求出函数 g x 在 10,x a 是增函数，在 1 ,x a 是减函数，得到函数 g x 的最大值 1 1 ln2g aa a ，再证明 1 ln 02h a aa 即得解. 【详解】（1） 21 2 12 1 0x xf x x xx x ， 由 0f x ，得 22 1 0x x ． 又 0x ，所以 1x ， 所以 f x 的单调递减区间为 1, ，函数 f x 的单增区间为 0,1 ． （2）令 2 211 1 ln 1 12 2 ag x f x x x x ax a x ， 所以 2 1 11 1 ax a xg x ax ax x ， 因为 2a ，所以 1 1a x xag x x ， 令 0g x ，得 1x a ， 所以当 10,x a ， 0g x ， 当 1 ,x a 时， 0g x ， 因此函数 g x 在 10,x a 是增函数，在 1 ,x a 是减函数． 故函数 g x 的最大值 21 1 1 1 1 1ln 1 1 ln2 2g a a aa a a a a ， 令 1 ln2h a aa ，因为 12 ln 2 04h ， 又因为 h a 在 0,a 是减函数， 所以当 2a 时， 0h a ，即对于任意正数 x 总有 0g x ， 所以关于 x 的不等式恒成立． 【点睛】方法点睛：求函数的最值常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本 不等式法. 要结合已知条件灵活选择方法求解. 21. 已知椭圆 2 2 2 2: 1 0x yC a ba b 的离心率为 1 2 ，P 为椭圆C 上异于长轴端点的任意一点， 1 2PF F△ 面积的最大值为 3 ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知 A 为椭圆C 的右顶点，过左焦点 F 的动直线交椭圆于 B ，D 两点（异于点 A ），直线 AB ， AD 与定直线 : 0l x t t 的交点分别为 M ， N ，若以 MN 为直径的圆经过点 F ，求直线l 的方程． 【答案】（1） 2 2 14 3 x y ；（2）直线l 的方程为 4x ． 【解析】 【分析】（1）当 P 是短轴端点时， 1 2PF F△ 面积的最大，由此可处 bc ，再由离心率，及 2 2 2a b c 可求 得 ,a b 得椭圆方程； （2）设直线 BD 的方程为 1x my ，代入椭圆方程， 1 1,B x y ， 2 2,D x y ，得 1 2 2 6 3 4 my y m ， 1 2 2 9 3 4y y m ，设 1,M t n ， 2,N t n ，由 A ， B ， M 三点共线得 2n ，同理得 2n ，把 .M N 坐标代入 0NF MF ，并代入 1 2 1 2,y y y y 可求得t ． 【详解】解：（1）由离心率 1 2e 得， 2a c ，① 因为当点 P 为短轴端点时， 1 2PF F△ 面积最大， 1 2 32 c b bc ，② 在椭圆中 2 2 2a b c ，③ 由①②③解得， 2 4a ， 2 3b ，所以椭圆的标准方程为 2 2 14 3 x y ． （2）由（1）知， 1,0F ， 2,0A ，设直线 BD 的方程为 1x my ， 联立 2 2 1,4 3 1, x y x my 消 x 得 2 23 4 6 9 0m y my ， 设 1 1,B x y ， 2 2,D x y ， 则 2 2 26 4 3 4 9 144 144 0m m m ， 1 2 2 6 3 4 my y m ， 1 2 2 9 3 4y y m ． 设 1,M t n ， 2,N t n ， 由 A ， B ， M 三点共线得， 1 1 1 2 2 y n x t ， ∴ 1 1 1 2 2 t yn x ，同理得 2 2 2 2 2 t yn x ， 因为以 MN 为直径的圆经过点 F ， 所以 NF MF ，于是 0NF MF ， 由 21 ,NF t n ， 11 ,MF t n ， 2 1 21 0t n n ． 将 1 1 1 2 2 t yn x ， 2 2 2 2 2 t yn x ， 代入上式，得 2 21 2 1 2 2 1 02 2 y yt tx x ， ∵ 1 1 1x my ， 2 2 1x my ， ∴ 2 21 2 1 2 2 1 03 3 y yt tmy my ，③ 将 1 2 2 6 3 4 my y m ， 1 2 2 9 3 4y y m ， 代入③得 2 22 1 04 t t ， 解得 4t ，或 0t （舍去）． 故直线l 的方程为 4x ． 【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐 标，设直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理得出 1 2 1 2,y y y y （或 1 2 1 2,x x x x ），然后把 这个 1 2 1 2,y y y y 代入其他条件化简变形，得出结论． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程选讲] 已知曲线 C 的极坐标方程为 2 2 2 9 cos 9sin ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴 建立平面直角坐标系． （1）求曲线 C的普通方程； （2）A,B 为曲线 C 上两点，若 OA⊥OB，求 2 2 1 1 | | | |OA OB 的值． 【答案】（1） 2 2 19 x y ；（2） 10 9 ． 【解析】 【详解】试题分析：（1）将 2 2 2cos , sin ,x y x y 代入曲线的方程，即可求得曲线的普通方 程； （2）因为题意得 2 2 2 1 cos sin9 ，由OA OB ，设 1( , )A 可得 2( , )2B ， 即可求解． 试题解析： (Ⅰ）由 2 2 2 9 cos 9sin 得 2 2 2 2cos 9 sin 9 ， 将 cosx ， siny 代入得到曲线C 的普通方程是 2 2 19 x y ． （Ⅱ）因为 2 2 2 9 cos 9sin ， 所以 2 2 2 1 cos sin9 ， 由OA OB ，设 1,A ，则 B 点的坐标可设为 2 , 2 ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 cos sin 1 10sin cos 1| | | | 9 9 9 9OA OB ． 【选修 4-5：不等式选讲】 23. 已知 3 4f x x x ． （1）求不等式 9f x 的解集； （2）若 f x 的最小值是 k ，且 2 2 2a b k ，求 2 2 9 16 a b 的最小值． 【答案】（1） 5 4x x ；（2）1. 【解析】 【分析】（1）分 4x 、 4 3x 、 3x 三种情况解不等式 9f x ，综合可得出原不等式的解集； （2）利用绝对值三角不等式可求得 7k ，进而得出 2 2 49a b ，将代数式 2 21 49 a b 与 2 2 9 16 a b 相乘， 展开后利用基本不等式可求得 2 2 9 16 a b 的最小值． 【详解】（1） 3 4 9f x x x . 当 4x 时， 3 4 2 1 9f x x x x ，解得 5x ，此时 5 4x ； 当 4 3x 时， 3 4 7 9f x x x 恒成立，此时 4 3x ； 当 3x 时， 3 4 2 1 9f x x x x ，解得 4x ，此时3 4x . 综上所述，不等式 9f x 的解集为 5 4x x ； （2）由绝对值三角不等式可得 3 4 3 4 7f x x x x x ， 所以 f x 的最小值为 7 ，即 7k ． 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 16 1 9 16 1 9 16 1 9 16 9 16 25 2 149 49 49 b a b aa ba b a b a b a b 当且仅当 2 21a ， 2 28b 时，等号成立， 因此， 2 2 9 16 a b 的最小值为1. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构 成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是 所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
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