湛江市 2021 年普通高考测试（一）
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知 R A B ð ，则下面选项中一定成立的是（ ）
A. A B A B. A B B C. A B B D. A B R
【答案】B
【解析】
【分析】通过取特殊集合，依次分析各选项即可.
【 详 解 】 对 于 A 选 项 ， 由 A B A 得 A B ， 不 妨 设 1 , 0A x x B x x ， 则
0 1R A B x x ð ，故不满足，故 A 选项错误；
对于 B 选项，由 A B B 得 B A ，显然 R A B ð ，满足，故 B 选项正确；
对于 C 选项，由 A B B 得 A B ，由 A 选项知其不满足，故 C 选项错误；
对于 D 选项，由 A B R ，不妨设 1 , 0A x x B x x ，显然 1R A B x x ð ，故不
满足，故 D 选项错误.
故选：B.
2. 中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛.某重
点高中为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，
则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为（ ）
A. 85，75 B. 85，76 C. 74，76 D. 75，77
【答案】B
【解析】
【分析】根据成绩出现次数最多的为众数，根据从小到大第七个和第八个数据的平均数为中位数求解即可.
【详解】解：由茎叶图知，出现的数据最多的是85 ，故众数为85 ；
由于数据总数为 14 个，故中位数为第七个和第八个数据的平均数，即： 75 77 762
故选：B.
3. 已知圆锥的轴截面是边长为 8 的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）
A. 64π B. 48π C. 32π D. 16π
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，圆锥的侧面展开图是扇形，半径为母线 8，弧长为圆锥底面周长，进而可得结果.
【详解】由题意可得，圆锥底面直径为，8 半径为 4，母线长为 8，
圆锥的侧面展开图是扇形，半径为母线 8，弧长为圆锥底面周长 2 4 8 l
扇形面积为： 1= 8 8 322
g gS
故选：C
4. 将函数 f(x)=sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的 1
(ω>0)，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象，若
函数 g(x)的最小正周期为 6π，则（ ）
A. ω= 1
3 B. ω=6 C. ω= 1
6 D. ω=3
【答案】A
【解析】
【分析】由伸缩变换求出 ( )g x 的解析式，再由周期公式得出答案.
【详解】由题意可知 ( ) sing x x ，由 2 6 ，解得 1
3
故选：A
5. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则“Sn+1>Sn”是“{an}单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】由 1 1 0 n n nS S a ，举反例 1 02
n na 和 1
2n na 即可得出结果
【详解】 1 1 0 n n nS S a ，例如 1 02
n na ，但是数列{ }na 不单调递增，故不充分；
数列{ }na 单调递增，例如 1
2n na ，但是 1n nS S ，故不必要；
故选：D
6. 已知抛物线 C：x2=-2py(p>0)的焦点为 F，点 M 是 C 上的一点，M 到直线 y=2p 的距离是 M 到 C 的准线
距离的 2 倍，且｜MF|=6，则 p=（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】利用已知条件结合抛物线的定义求解即可．
【详解】设 0 0,M x y ，则
0
0
2 6 2
62
p y
p y
，解得 4p
故选：A
7. 已知 a=3.20.1，b=log25，c=log32，则（ ）
A. b>a>c B. c>b>a C. b>c>a D. a>b>c
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数和对数函数得单调性即可得出结果.
【详解】 0 0.1 0.51=3.2 3.2 3.2 2 1 2 a
2 2log 5 log 4 2 2 b
3 3 30=log 1b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若
2BA BF
=0，且｜BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则 C 的离心率为（ ）
A. 2
2
B. 3
2
C. 3
3
D. 1
2
【答案】A
【解析】
【分析】由向量知识得出 2 90ABF ，再由等差数列的性质、勾股定理、椭圆的定义得出 2a c ，最
后由离心率公式得出答案.
【详解】因为 2BA BF ，所以 2 90ABF
由｜BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，设 2 2,| | , 2BF x AB x d AF x d
在 2R t A B F 中， 2 2 2( ) ( 2 )x x d x d ，解得 3x d
即 2 23 ,| | 4 , 5BF d AB d AF d
由椭圆的定义得 2ABF 的周长为 1 2 1 2 2 2 4BF BF AF AF a a a
即3 4 5 4 , 3d d d a a d
在直角三角形 1 2BF F 中， 2 1BF a BF ， 1 2 2F F c ，则 2 2 2(2 )a a c ，故 2a c
即 2
2
ce a
故选：A
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用勾股定理、等差中项的性质、椭圆的定义得出 ,a c 的齐次方
程，进而得出离心率.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 若复数 3z i ，则（ ）
A. |z|=2 B. |z|=4
C. z 的共轭复数 z = 3 +i D. 2 4 2 3z i
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】依题意 2 23 1 2z ，故 A 选项正确，B 选项错误.
3z i ，C 选项正确.
22 23 3 2 3 2 2 3z i i i i ，D 选项错误.
故选：AC
10. 已知(1-2x)2021=ao+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021.（ ）
A. 展开式中所有项的二项式系数和为 22021 B. 展开式中所有奇次项系数和为
20213 1
2
C. 展开式中所有偶次项系数和为
20213 1
2
D. 3 20211 2
2 3 2021 12 2 2 2
a aa a
【答案】ABD
【解析】
【分析】由二项式系数之和，当 1x ， 2021
0 1 2 3 20213 La a a a a ①
当 1x ， 2021
0 1 2 3 2021( 1) La a a a a ②，由①+②，①-②；令 0x ，则 0 =1a ，令 1
2x ，则
20211 2
0 2 20210 2 2 2
L aa aa ，即可得结果.
【详解】A .二项式系数之和为 0 1 2021 2021
2021 2021 2021 =2 LC C C ，故 A 正确；
B. 2021 2 2021
0 1 2 2021(1 2 )x a a x a x a x
当 1x ， 2021
0 1 2 3 20213 La a a a a ①
当 1x ， 2021
0 1 2 3 2021( 1) La a a a a ②
①+②，可得当
2021
2021
0 2 2020 0 2 2020
3 13 1 2( ) 2
L La a a a a a ，故 B 正确；
C.①-②
2021
2021
1 3 2021 1 3 2021
3 +13 +1 2( ) 2
L La a a a a a ，故 C 错误；
D. 2021 2 2021
0 1 2 2021(1 2 )x a a x a x a x
令 0x ，则 0 =1a
令 1
2x ，则 20211 2
0 2 20210 2 2 2
L aa aa
20211 2
2 2021 =-12 2 2
L aa a ，故 D 正确
故答案为：ABD
11. 已知函数 f(x)=x3-3lnx-1，则（ ）
A. f(x)的极大值为 0 B. 曲线 y=f(x)在（1，f(1))处的切线为 x 轴
C. f(x)的最小值为 0 D. f(x)在定义域内单调
【答案】BC
【解析】
【分析】直接对 f(x)=x3-3lnx-1，求出导函数，利用列表法可以验证 A、C、D;对于 B:直接求出切线方程进行
验证即可.
【详解】f(x)=x3-3lnx-1 的定义域为 0 ， ， 2 33 33 = 1f x x xx x
令 2 33 33 = 1 =0f x x xx x
，得 1x ，
列表得：
x (0,1) 1 (1,+∞)
f x - 0 +
f(x) 单减 单增
所以 f(x)的极小值，也是最小值为 f(1)=0，无极大值，在定义域内不单调；故 C 正确，A、D 错误；
对于 B:由 f(1)=0 及 1 0f ，所以 y=f(x)在（1，f(1))处的切线方程 0 0 1y x ，即 0y .故 B 正确.
故选：BC
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
12. 在梯形 ABCD 中，AB=2AD=2DC=2CB，将 BDC 沿 BD 折起，使 C 到 C'的位置（C 与 C'不重合），E，
F 分别为线段 AB，AC'的中点，H 在直线 DC'上，那么在翻折的过程中（ ）
A. DC'与平面 ABD 所成角的最大值为
6
B. F 在以 E 为圆心的一个定圆上
C. 若 BH 丄平面 ADC'，则 '3DH C H
D. 当 AD 丄平面 BDC'时，四面体 C'-ABD 的体积取得最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线面角的知识确定 A 选项的正确性；根据圆锥的几何性质判断 B 选项的正确性；求得
' '2DC C H ，由此确定 C 选项的正确性；结合锥体体积求法，确定 D 选项的正确性.
【详解】如图，在梯形 ABCD 中，因为 // , 2 2 2AB CD AB AD DC CB ， E 是 AB 的中点，
所以 // ,CD BE CD BE ，所以四边形 BCDE 是菱形，所以 BC DE ，
由于 AD DE AE ，所以三角形 ADE 是等边三角形，
所以 1
2DE AB ，故 AD BD ，
6BDC DBC .
在将 BDC 沿 BD 翻折至 'BDC 的过程中， ,BDC DBC 的大小保持不变，由线面角的定义可知， 'DC
与平面 ABD 所成角的最大值为
6
，故 A 正确.
因为 DBC 大小不变，所以在翻折的过程中， 'C 的轨迹在以 BD 为轴的一个圆锥的底面圆周上，而 EF 是
'ABCV 的中位线，所以点 F 的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，但此圆的圆心不是点 E ，故 B 不正确.
当 BH 平面 'ADC 时， BH DH .因为 '
3HC B ，所以 ' ' '2DC BC C H ，所以 '3DH C H
，
故 C 正确.
在翻折的过程中， 'BC D 的面积不变，所以当 AD 平面 'BDC 时，四面体 'C ABD 的体积取得最大值，
故 D 正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 一条与直线 x-2y+3=0 平行且距离大于 5 的直线方程为_______________ .
【答案】 2 9 0x y （答案不唯一）
【解析】
【分析】由平行关系设出直线方程，再由距离公式求出b 的范围，进而得出其方程.
【详解】设该直线方程为 2 0x y b
由距离公式可知 | 3 | 5
5
b ，解得 2b 或 8b
则该直线可为 2 9 0x y
故答案为： 2 9 0x y （答案不唯一）
14. 若向量 ,a b
满足 4, 2 2, 8a b a b a
，则 ,a b
的夹角为____， a b
_____．
【答案】 (1). 3
4
(2). 2 2
【解析】
【分析】利用向量运算求得 cos ,a b
，由此求得 ,a b
；利用 2
a b a b 来求得结果.
【详解】依题意 8a b a
， 22
cos , 8a a b a a b a b ，
解得 2cos , 2a b ，所以 3, 4a b
.
2 2 22 2
2 2 cos , 2 2a b a b a a b b a a b a b b .
故答案为： 3
4
； 2 2
15. 若某商品的广告费支出 x(单位：万元）与销售额 y(单位：万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 80
根据上表，利用最小二乘法求得 y 关于 x 的回归直线方程为 y =b x+1.5，据此预测，当投人 10 万元时，销
售额的估计值为________万元.
【答案】106.5
【解析】
【分析】先求出 ,x y 得到 10.5b ，即得解.
【详解】由题得 1 (2 4 5 6 8) 5,5x
1 (20 40 60 70 80) 545y ，
所以54 =5b +1.5，所以 10.5b ，
所以 y =10.5x+1.5，
当 10x 时， 10.5 10 1.5 106.5y .
故答案为：106.5
【点睛】结论点睛：回归方程经过样本中心点 ( , )x y ，注意灵活运用这个性质解题.
16. 已知 y=f(x)的图象关于坐标原点对称，且对任意的 x∈R，f(x+2)=f(-x)恒成立，当 1 0x 时，f(x)=2x，
则 f(2021)=_____________.
【答案】 1
2
【解析】
【分析】由已知条件推出函数 f x 的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可．
【详解】y=f(x)的图象关于坐标原点对称，则 f x f x
又 2f x f x ，可得 2 2f x f x f x ，即 f x 的周期为 4
12021 4 505 1 1 1 2f f f f
故答案为： 1
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在平面四边形 ABCD 中，AD⊥CD， ∠BAD= 3
4
，2AB=BD=4.
（1）求 cos∠ADB；
（2）若 BC= 22 ，求 CD.
【答案】（1） 14cos 4ADB ；（2） 3 2CD
【解析】
【分析】（1） ABD△ 中，利用正弦定理可得sin ADB ，进而得出答案；
（2） BCD△ 中，利用余弦定理可得 CD ．
【详解】（1） ABD△ 中，
sin sin
AB BD
ADB BAD
，即
2 4
sin 2
2
ADB
，解得 2sin 4ADB ，故
14cos 4ADB ；
（2） 2sin cos4ADB CDB
BCD△ 中，
2 2 2
cos 2
BD CD BCCDB BD CD
，即 22 24 222
4 2 4
CD
CD
，
化简得 3 2 2 0CD CD ，解得 3 2CD ．
18. 已知数列{an}满足 1 22 3n n na a a ，a2-a1=1.
（1）证明：数列 1n na a 是等比数列；
（2）若 a1= 1
2
，求数列{an}的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2） 1 12 2
n
na .
【解析】
【分析】（1）利用 2 1 12n n n na a a a 证得结论成立.
（2）利用累加法求得 na 的通项公式.
【详解】（1）依题意 1 22 3n n na a a ，所以 2 1 12n n n na a a a ，
故数列 1n na a 是首项为 2 1 1a a ，公比为 2 的等比数列，所以 1
1 2n
n na a
.
（2）由（1）得 1
1 2n
n na a
，所以 2
1 2 2n
n na a n
，
所以 1 1 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a
2 3 0 12 2 2 2
n n
1
11 2 1 121 2 2 2
n
n
.
即 1 12 2
n
na .
19. 如图，平面 ABCD⊥平面 ABE，AD//BC，BC⊥AB，AB=BC=2AE=2，F 为 CE 上一点，且 BF⊥平面 ACE.
（1）证明：AE⊥平面 BCE；
（2）若平面 ABE 与平面 CDE 所成锐二面角为 60°，求 AD.
【答案】（1）见解析；（2） 15
3
【解析】
【分析】（1）由平面 ABCD⊥平面 ABE 证明 BC⊥面 ABE，得到 BC⊥AE，由 BF⊥平面 ACE，得到 BF⊥AE，
从而证明 AE⊥平面 BCE.
（2）过 A 作 Ax 垂直 AB,以 Ax
为 x 轴正方向，以 AB
为 y 轴正方向，以 AD
为 z 轴正方向，建立直角坐标
系，用向量法计算可得.
【详解】（1）∵平面 ABCD⊥平面 ABE，AB 为平面 ABCD 和平面 ABE 的交线，BC⊥AB，
∴BC⊥面 ABE，∴BC⊥AE.
又 BF⊥平面 ACE，∴BF⊥AE.
又 BC BF B ,∴AE⊥平面 BCE.
（2）
如图示，过 A 作 Ax 垂直 AB,以 Ax
为 x 轴正方向，以 AB
为 y 轴正方向，以 AD
为 z 轴正方向，建立空间
直角坐标系，则 3 10,0,0 , 0,2,0 , , ,0 , 0,2,2 , 0,0, ,2 2A B E C D m
∴ 3 3, ,2 , 0, 2, 22 2CE CD m
设 , ,m x y z
为平面 CDE 的一个法向量，则 · 0
· 0
m CE
m CD
，即
3 3 2 02 2
0 2 2 0
x y z
x y m z
，
不妨取 z=2,则 2 33 , 2,23m m m
显然平面 ABE 的一个法向量 0,0,2n BC
∴
2
2
4cos , cos60
2 33 2 4 23
m nm n
m n
m m
，
解得：m= 15
3
.
故 AD 长为 15
3
.
【点睛】立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法
计算．
20. 某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
活动项目 篮球 国画 排球 声乐 书法
要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项.
（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；
（2）用 X 表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求 X 的分布列和数学期望．
【答案】（1） 4
15
；（2）分布列见解析， 28
15
【解析】
【分析】（1）设事件，分别求出甲、乙同学选排球的概率，由相互独立事件同时发生的概率，即可得出结
果.
（2）求出丙同学选排球的概率，X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出概率，进而可得结果.
【详解】（1）设 A 表示事件“甲同学选排球” B 表示事件“乙同学选排球”
则
1 2
2 4
2 3
3 5
2 3( ) , ( )3 5
C CP A P BC C
因为事件 A，B 相互独立，所以甲同学选排球且乙同学未选排球的概率为：
2 3 4( ) ( ) ( ) (1 )3 5 15
P AB P A P B
（2）设 C 表示事件“丙同学选排球”，则
2
4
3
5
3( ) 5
CP C C
X 的可能取值为 0，1，2，3 则
2 3 3 4( 0) (1 ) (1 ) (1 )3 5 5 75
p X ；
2 3 3 2 3 3 2 3 3 4( 1) (1 ) (1 )+(1 ) (1 )+(1 ) (1 )3 5 5 3 5 5 3 5 5 15
p X
2 3 3 2 3 3 2 3 3 11( 2) (1 )+(1 ) + (1 )3 5 5 3 5 5 3 5 5 25
p X
2 3 3 6( 3) 3 5 5 25
p X
X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 4
75
4
15
11
25
6
25
数学期望为 4 4 11 6 28( ) 0 1 2 375 25 25 25 15
E X
21. 已知双曲线 C：
2 2
2 2
x y
a b
＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c，0)，F2(c，0)，其中 c>0， M(c，3)
在 C 上，且 C 的离心率为 2.
（1）求 C 的标准方程；
（2）若 O 为坐标原点，∠F1MF2 的角平分线 l 与曲线 D：
2 2
2 2
x y
c b
＝1 的交点为 P，Q，试判断 OP 与 OQ
是否垂直，并说明理由.
【答案】（1）
2
2 13
yx ；（2）OP 与 OQ 不垂直，答案见解析．
【解析】
【分析】（1）利用点在曲线上和离心率，解出 , ,a b c ，进而得出双曲线方程；
（2）利用角平分线定理求出 N 点坐标，联立直线 MN 与曲线 D 的方程，由根与系数的关系，结合平面向
量的数量积得出结论．
【详解】（1）由题意得
2
2 2
9 1
2
c
a b
c
a
，即 2
94 1b
，解得 3b ，又 2 2 2c a b ，可得 1, 2a c ，故
双曲线 C 的标准方程为
2
2 13
yx ；
（2）设角平分线与 x 轴交于点 N ，根据角平分线性质可得 1 1
2 2
F N MF
NF MF
，
2,3M ， 1
1 2
2
5 15, 3, , ,03 2
F NF M F M NF N
， 1: 2 2 12MN y x x
设 1 1 2 2, , ,P x y Q x y ，联立方程 2 2
2 1
14 3
y x
x y
，可得 219 16 8 0x x
1 2
1 2
16
19
8
19
x x
x x
， 1 2 1 2 1 2 1 22 1 2 1 4 2 1y y x x x x x x
1 2 1 2 1 2 1 2
8 165 2 1 5 2 1 019 19OP OQ x x y y x x x x
即 OP 与 OQ 不垂直．
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查平面向量的数量积，
解决本题的关键点是利用角平分线定理求出∠F1MF2 的角平分线与 x 轴交点 N ，利用直线与曲线方程联立
写出根与系数的关系，借助于平面向量的数量积得出结论，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档
题．
22. 已知函数 f(x)=ex，g(x)=2ax+1.
（1）若 f(x)≥g(x)恒成立，求 a 的取值集合；
（2）若 a>0，且方程 f(x)-g(x)=0 有两个不同的根 x1，x2，证明： 1 2
2
x x
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