大题专练训练47:随机变量的分布列(比赛类)-2021届高三数学二轮复习
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大题专练训练47:随机变量的分布列(比赛类)-2021届高三数学二轮复习

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资料简介
二轮大题专练 47—随机变量的分布列(比赛类) 1.某校高一年级组织“知识竞答”活动.每位参赛者第一关需回答三个问题,第一个问题 回答正确得 10 分,回答错误得 0 分;第二个问题回答正确得 20 分,回答错误得﹣10 分; 第三个问题回答正确得 30 分,回答错误得﹣20 分.规定,每位参赛者回答这三个问题的 总得分不低于 30 分就算闯关成功.若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是 ,回 答第三个问题正确的概率是 ,且各题回答正确与否相互之间没有影响. (1)求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率; (2)求这位参赛者回答这三个问题的总得分 ξ 的分布列和期望; (3)求这位参赛者闯关成功的概率. 解:(1)设事件 Ai 这位参赛者回答对第 i 个问题(i=1,2,3), ∴ = . (2) ξ =﹣30,﹣20,0,10,20,30,50,60, , , , , , , , , ∴ ξ 的分布列为: ξ ﹣30 ﹣20 0 10 20 30 50 60 P E( ξ )= +10× +20× +30× +50× +60× = . (3)由(2)得这位参赛者闯关成功的概率为 . 2.甲、乙两位选手在某次比赛的冠、亚军决赛中相遇,赛制为三局两胜(当一方赢得两局 胜利时,该方获胜,比赛结束),比赛每局均分出胜负.甲、乙以往进行过多次比赛,若从 中随机抽取 20 局比赛结果作为样本,抽取的 20 局中甲胜 12 局、乙胜 8 局,若将样本频率 视为概率,各局比赛结果相互独立. (1)求甲获得冠军的概率; (2)此次决赛设总奖金 50 万元,若决赛结果为 2 : 0 ,则冠军奖金为 35 万元,亚军奖金为 15 万元;若决赛结果为 2 :1 ,则冠军奖金为 30 万元,亚军奖金为 20 万元.求甲参加此次决 赛获得奖金数 X 的分布列和数学期望. 解:(1)用样本频率估计概率可知,每局比赛甲获胜的概率为 12 3 20 5  . 每局比赛乙获胜的概率为 3 21 5 5   , 甲获得冠军的概率 1 2 2 3 3 3 2 81( )5 5 5 5 125P C      . (2)由题意知, X 的所有可能的取值为 35,30,20,15, 9( 35) 25P X   , 36( 30) 125P X   , 1 2 2 2 3 24( 20) ( )5 5 125P X C     , 22 4( 15) ( )5 25P X    , X 的分布列为: X 35 30 20 15 P 9 25 36 125 24 125 4 25 9 36 24 4 687( ) 35 30 20 15 27.4825 125 125 25 25E X           (万元). 3.甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动,每轮活动由甲、 乙两人各投篮一次,在一轮活动中,如果两人都投中,则“虎队”得 3 分;如果只有一个人 投中,则“虎队”得 1 分;如果两人都没投中,则“虎队”得 0 分.已知甲每轮投中的概率 是 3 4 ,乙每轮投中的概率是 2 3 ;每轮活动中甲、乙投中与否互不影响.各轮结果亦互不影 响. (1)假设“虎队”参加两轮活动,求:“虎队”至少投中 3 个的概率; (2)①设“虎队”两轮得分之和为 X ,求 X 的分布列; ②设“虎队” n 轮得分之和为 nX ,求 nX 的期望值. (参考公式 ( ) )E X Y EX EY   解:(1)设甲、乙在第 n 轮投中分别记作事件 nA , nB ,“虎队”至少投中 3 个记作事件 C , 则 P (C) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B    1 2 2 1 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 2 2(1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )4 4 3 4 3 3 4 3 3C C             . (2)①“虎队”两轮得分之和 X 的可能取值为:0,1,2,3,4,6, 则 2 23 2 1( 0) (1 ) (1 )4 3 144P X       , 2 23 3 3 2 3 2 2 10( 1) 2 [ (1 ) (1 ) (1 ) (1 )]4 4 4 3 4 3 3 144P X               , 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 25( 2) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 144P X                           , 3 2 3 2 12( 3) 2 [ (1 ) (1 )]4 3 4 3 144P X          , 2 23 3 2 2 2 3 60( 4) 2 [ (1 ) ( ) (1 ) ( ) ]4 4 3 3 3 4 144P X            , 2 23 2 36( 6) ( ) ( )4 3 144P X     . 故 X 的分布列如下图所示: X 0 1 2 3 4 6 P 1 144 10 144 25 144 12 144 60 144 36 144 ② 1X 有可能取为 0,1,3, 1 3 2 1( 0) (1 )(1 )4 3 12P X      , 1 3 2 3 2 5( 1) (1 ) (1 )4 3 4 3 12P X         , 1 3 2 6( 3) 4 3 12P X     , 1 1 5 6 230 1 312 12 12 12EX        , 设“虎队” n 轮得分之和为 nX ,则 nX 的期望值 1 23 12nEX nEX n  . 4.在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中,大赛分预赛与复赛两个环节.预赛有 4000 人参赛.先从预赛学生中随机抽取 100 人成绩得到如图频率分布直方图: (1)若从上述样本中预赛成绩不低于 60 分的学生中随机抽取 2 人,求至少 1 人成绩不低于 80 分的概率; (2)由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩 Z 服从正态分布 2( , )N   , 其中  可以近似为 100 名学生的预赛平均成绩, 2 362  ,试估计全市参加预赛学生中成 绩不低于 91 分的人数; (3)预赛成绩不低于 91 分的学生可以参加复赛.复赛规则如下:①每人复赛初始分均为 100 分;②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量 ( 1)n n  ,每答一题需要扣掉一定分 数来获取答题资格,规定回答第 ( 1k k ,2, , )n 题时扣掉 0.2k 分;③每答对一题加 2 分,答错既不加分也不扣分;④答完 n 题后参赛学生的最后分数即为复赛分数.已知学生甲 答对每题的概率为 0.75,且各题答对与否相互独立,若甲期望得到最佳复赛成绩,则他的答 题数量 n 应为多少? ( 参 考 数 据 362 19 , 若 2~ ( , )z N   , 则 ( ) 0.6826P x      „ , ( 2 2 ) 0.9544P x      „ , ( 3 3 ) 0.9974)P x      „ . 解:(1)由题意得样本中成绩不低于 60 分的学生有 (0.0125 0.0075) 20 100 40    人, 其中成绩优良人数为 0.0075 20 100 15   人, 则至少 1 人成绩不低于 80 分的概率为 2 25 2 40 81 13 CP C    ; (2)由题意可知平均值 10 0.1 30 0.2 50 0.3 70 0.25 90 0.15 53x            , 所以 53  ,又 2 362  ,则 19  , 所以 1( 91) ( 2 ) [1 ( 2 2 )] 0.022752P Z P Z P Z           … … „ „ , 所以估计全市参加预赛学生中成绩不低于 91 分的人数为 4000 0.02275 91  人; (3)设 y 为甲答对题数,则 ~ ( ,0.75)y B n ,所以 ( ) 0.75E y n , 记甲答完 n 题所加分数为 X ,则 2X y ,所以 ( ) 1.5E X n , 依题意为获取答 n 题的资格,甲要花掉分数为 20.2 (1 2 3 ) 0.1 ( )n n n       , 记甲答完题分数为 ( )M n ,则 2 2( ) 100 0.1 ( ) 1.5 0.1( 7) 104.9M n n n n n         , 由于 *n N ,所以当 7n  时, ( )M n 取得最大值为 104.9,即成绩的最大值为 104.9 时,道 题量为 7. 5.第 31 届世界大学生夏季运动会定于 2021 年 8 月 18 日 29 日在成都举行,成都某机构随 机走访调查 80 天中的天气状况和当天到体育馆打乒乓球人次,整理数据如表(单位:天): 打乒乓球 人次 天气状况 [0 ,100] [100 , 200] [200 , 300] 晴天 2 13 20 阴天 4 6 10 雨天 6 4 5 雪天 8 2 0 (1)若用样本频率作为总体概率,随机调查本市 4 天,设这 4 天中阴天的天数为随机变量 X , 求 X 的分布列和数学期望. (2)假设阴天和晴天称为“天气好”雨天和雪天称为“天气不好”.完成下面的 2 2 列联 表,判断是否有 99% 的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关. 人次 200„ 人次 200 天气好 天气不好 参考公式: 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ,其中 n a b c d    . 参考数据: 2 0( )P K …k 0.10 0.05 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 解:(1)由题意可知随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4. 设一天为阴天的概率为 P ,则 4 6 10 1 80 4P    , 故 1~ (4, )4X B , 0 0 4 4 1 3 81( 0) ( ) ( )4 4 256P X C     , 1 3 4 1 3 27( 1) ( )4 4 64P X C     , 2 2 2 4 1 3 27( 2) ( ) ( )4 4 128P X C     , 3 3 1 4 1 3 3( 3) ( ) ( )4 4 64P X C     , 4 4 0 4 1 3 1( 4) ( ) ( )4 4 256P X C     . 则 X 的分布列为: X 0 1 2 3 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 故 14 14EX    ; (2)由题意可得的 2 2 列联表: 人次 200„ 人次 200 天气好 25 30 天气不好 20 5 则 2 2 80 (25 5 30 20) 8.33555 25 45 35K        . 因为8.335 6.635 , 所以有 99% 的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关. 6.有一种击鼓游戏,规则如下:每局游戏有两次机会,每次击鼓要么出现“你真棒“,要 么出现“再努力”,若击鼓一次出现“你真棒”,则得 10 分,若出现“再努力”,则得﹣ 20 分.设击鼓一次出现“你真棒”的概率为 α ,且各次击鼓相互独立. (1)设每局游戏所得的分数为 X,求 X 的分布列; (2)经过多次试玩该游戏,发现玩的局数越多,总分数越少,请你结合概率的知识确定 α 的取值范围; (3)若击鼓 6 次,求恰有 3 次出现“你真棒”的最大概率 解:(1)X 的所有可能取值为﹣40,﹣10,20. 根据题意有:P(X=﹣40)= , P(X=﹣10)= , P(X=20)= . ∴X 的分布列为: X ﹣40 ﹣10 20 P (1﹣ α )2 2(1﹣ α ) α α 2 (2)由(1)知,E(X)=﹣40(1﹣ α )2﹣10×2(1﹣ α ) α +20 α 2=60 α ﹣40, 由于玩的局数越多,总分数越少,∴60 α ﹣40<0,得 α < , 又 α >0, ∴ α 的取值范围为(0, ); (3)设 ξ 为击鼓 6 次中出现“你真棒”的次数, 则 P( ξ =3)= ,0< α <1. 令 f( α )=20 α 3(1﹣ α )3,0< α <1, 则 f′( α )=60 α 2(1﹣ α )2(1﹣2 α ),令 f′( α )>0,得 0< α < , 令 f′( α )<0,得 < α <1, ∴f( α )在(0, )上单调递增,在( ,1)上单调递减, ∴当 α = 时,f( α )取得最大值,且 f( )= , 故恰有 3 次出现“你真棒”的最大概率为 . 7.业余围棋高手甲与专业围棋高手乙进行比赛,为体现比赛的公平性,两人约定,甲胜一 局得 2 分,乙胜一局得 1 分.甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 . (Ⅰ)比赛 3 局后,甲的得分为 X,求 X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)比赛若干局后,甲、乙两人的得分之和若为 n 分,得分之和为 n 的概率为 Pn,请 写出概率 Pn,Pn﹣1,Pn﹣2(n≥3)之间的关系式,并求出 Pn. 解:(Ⅰ)由题意知甲获胜得 2 分,获胜的概率为 ,甲输的概率为 , 甲得分 X 的可能取值为 0,2,4,6, P(X=0)=( )3= , P(X=2)= = , P(X=4)= = , P(X=6)=( )3= , ∴X 的分布列为: X 0 2 4 6 P E(X)= =2. (Ⅱ)甲、乙两人得分之和为 n 时,即得分之和为 n﹣1 后,乙再胜一局,或得分之和为 n﹣2 后,甲再胜一局, ∴ , ∴ , ∴数列{ }是常数列, ∵P1= ,P2= = , P3= = , ∴ =1,P3+ =1,∴ =1, ∴ =﹣ (Pn﹣1﹣ ), ∴Pn=﹣ , =﹣ (Pn﹣1﹣ ), ∴数列{Pn﹣ }是以﹣ 为首项,﹣ 为公比的等比数列, ∴Pn﹣ =﹣ ×(﹣ )n﹣1, ∴Pn= . 8.某校高三年级举行班小组投篮比赛,小组是以班级为单位,每小组均由 1 名男生和 2 名 女生组成.比赛中每人投篮 n 次(n ∈ N*),每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立 的.已知女生投篮命中的概率均为 ,男生投篮命中的概率均为 . (1)当 n=2 时,求小组共投中 4 次的概率; (2)当 n=1 时,若三人都投中小组获得 30 分,投中 2 次小组获得 20 分,投中 1 次小 组获得 10 分,三人都不中,小组减去 60 分,随机变量 X 表示小组总分,求随机变量 X 的分布列及数学期望. 解:(1) ① 男生投中 2 次,女生投中 2 次的概率为 × × × + × × × × ×4= ; ② 男生投中 1 次,女生投中 3 次的概率为 × × × × × × × = ; ③ 男生投中 0 次,女生投中 4 次的概率为 × × = , 所以共投中 4 次的概率为 + + = . (2)X 的所有可能取值为 30,20,10,﹣60, P(X=30)= × = , P(X=20)= × × × + × × = , P(X=10)= × + × × × = , P(X=﹣60)= × = , 所以 X 的分布列为 X 30 20 10 ﹣60 P 数学期望 E(X)=30× +20× +10× +(﹣60)× = .

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