大题专练训练50:随机变量的分布列(独立性检验)-2021届高三数学二轮复习
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大题专练训练50:随机变量的分布列(独立性检验)-2021届高三数学二轮复习

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资料简介
二轮大题专练 50—随机变量的分布列(独立性检验) 1.近年来,我国肥胖人群的规模急速增长,肥胖人群有着很大的健康隐患.目前,国际上 常用身体质量指数(英文为 BodyMassIndex,简称 BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健 康,其计算公式是 BMI= ,中国成人的 BMI 数值标准为:BMI<18.5 为偏瘦;18.5≤BMI<23.9 为正常;24≤BMI<27.9 为偏胖;BMI≥28 为肥胖.某地区随 机调查了 100 名 35 岁以上成人的身体健康状况,测量身高、体重并计算 BMI 数值. (1)根据调查结果制作下面的 2×2 列联表,并判断能否有 99%的把握认为 35 岁以上成 人肥胖与不经常运动有关? 肥胖 不肥胖 总计 经常运动员工 40 60 不经常运动员工 24 40 总计 100 参考公式: ,其中 n=a+b+c+d. 参考数据: P(K2≥k) 0.25 0.10 0.050 0.010 0.005 0.001 k 1.323 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)如果视样本的频率视为概率,现随机地从这个地区抽取经常运动人群中的 3 人,不 经常运动人群中的 1 人座谈,记这 4 人中肥胖人数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 解:(1)填表如下: 肥胖 不肥胖 总计 经常运动员工 20 40 60 不经常运动员工 24 16 40 总计 44 56 100 所以 K2= ≈6.926, 因为 6.926>6.635,所以有 99%的把握认为肥胖与不经常运动有关. (2)“经常运动且肥胖”的概率为 = ,“经常运动且不肥胖”的概率为 = , “不经常运动且肥胖”的概率为 = ,“不经常运动且不肥胖”的概率为 = , X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4, P(X=0)=( )3× = , P(X=1)= × ×( )2× + ( )3× = , P(X=2)= ×( )2× × + × ×( )2× = , P(X=3)= ( )3× + ×( )2× × = , P(X=4)=( )3× = , 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 则数学期望为 E(X)=0× +1× +2× +3× +4× = . 2.随着人们生活水平的提高和对健康生活的重视,越来越多的人加入到了健身运动中.某 健身房从参与健身的会员中随机抽取了 100 人,对其每周参与健身的天数和 2020 年在该 健身房的消费金额(单位:元)进行统计,得到以下统计表和统计图: 平均每周健身天数 不大于 2 3 或 4 不小于 5 男性会员人数 20 35 10 女性会员人数 10 20 5 若某人平均每周健身天数不小于 5,则称其为“健身达人”.该健身房规定年消费金额不 超过 1600 元的为普通会员,超过 1600 元但不超过 3200 元的为银牌会员,超过 3200 元 的为金牌会员. (1)已知金牌会员都是“健身达人”,现从这 100 位会员里的“健身达人”中随机抽取 2 人,求他们都是金牌会员的概率; (2)根据所给数据,完成下面的 2×2 列联表: 男性会员 女性会员 是“健身达人” 不是“健身达人” 并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为是否为“健身达人”和性别有关? (3)该健身机构在 2020 年年底针对这 100 位会员举办一次消费返利活动,每位会员均 可参与摸奖游戏,游戏规则如下:摸奖箱中装有 5 张形状大小完全一样的卡片,其中 3 张印跑步机图案、2 张印动感单车图案,有放回地摸三次卡片,每次只能摸一张.若摸到 动感单车的总次数为 1,则获得 50 元奖励;若摸到动感单车的总次数为 2,则获得 100 元奖励;若摸到动感单车的总次数为 3,则获得 200 元奖励,其他情况不予奖励.规定每 个普通会员只能参加 1 次摸奖游戏,每个银牌会员可参加 2 次摸奖游戏,每个金牌会员 可参加 3 次摸奖游戏(每次摸奖结果相互独立).试估计在此次消费返利活动中该健身机 构的总支出. 附: ,其中 n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.500 0.250 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 0.455 1.323 2.706 3.841 6.636 7.879 解:(1)设事件 A 表示从这 100 位会员里的“健身达人”中随机抽取 2 人都是金牌会员, 则 . (2)根据题意: 男性会员 女性会员 是“健身达人” 10 5 不是“健身达人” 55 30 = , 故不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为是否为“健身达人”和性别有关系. (3)设一次摸奖所获得的奖励额为 X,则 X 的所有可能取值为 0,50,100,200, 且 , , , , 故 一 次 摸 奖 获 得 的 奖 励 额 的 期 望 值 为 , 故总支出约为(28+60×2+12×3)×63.2=184×63.2=11628.8 元. 3.为了解成年人的交通安全意识情况,某中学组织学生进行了一次全市成年人安全知识抽 样调查.随机地抽取了 200 名成年人,然后对这 200 人进行问卷调查,其中拥有驾驶证的占 2 5 .这 200 人所得的分数都分布在[30 ,100] 范围内,规定分数在 80 以上(含80) 的为“具 有很强安全意识”,所得分数的频率分布直方图如图. (1)补全下面的 2 2 列联表,并判断能否有 95% 的把握认为“具有很强安全意识”与“拥 有驾驶证”有关? 拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 22 不具有很强安全意识 总计 200 (2)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市成年人中随机抽取 3 人,记“具有很强安 全意识”的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 附临界值表: 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ,其中 n a b c d    . 2 0( )P K …k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解:(1)200 人中拥有驾驶证的占 2 5 ,有 80 人,没有驾驶证的有 120 人, 由题意知 (0.004 0.008 0.020 0.028 0.020 0.004) 10 1a        , 解得 0.016a  . 所以具有很强安全意识的人有 200 (0.016 0.004) 10 40    人, 不具有很强安全意识的有 160 人. 补全 2 2 列联表如下: 拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 22 18 40 不具有很强安全意识 58 102 160 总计 80 120 200 计算得 2 2 200 (22 102 18 58) 75 4.688 3.84140 80 160 120 16K          , 有 95% 的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关. (2)由频率分布直方图中数据可知, 抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为 1 5 , 所以 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 则 34 64( 0) ( )5 125P X    , 1 2 3 1 4 48( 1) ( )5 5 125P X C     , 2 2 3 1 4 12( 2) ( )5 5 125P X C     , 31 1( 3) ( )5 125P X    . 所以 X 的分布列为: X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 故 64 48 12 1 3( ) 0 1 2 3125 125 125 125 5E X          . 4.为了解使用手机是否对学生的学习有影响,某校随机抽取 50 名学生,对学习成绩和使用 手机情况进行了调查,统计数据如表所示(不完整): 使用手机 不使用手机 总计 学习成绩优秀 5 20 学习成绩一般 总计 30 50 (1)补充完整所给表格,并根据表格数据计算是否有99.9% 的把握认为学生的学习成绩与 使用手机有关; (2)现从如表 不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出 9 人,再从这 9 人中 随机抽取 3 人,记这 3 人中“学习成绩优秀”的人数为 X ,试求 X 的分布列与数学期望. 参考公式: 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ,其中 n a b c d    . 参考数据: 2 0( )P K …k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 解:(1)完成列联表如下: 使用手机 不使用手机 总计 学习成绩优秀 5 20 25 学习成绩一般 15 10 25 总计 20 30 50  2 2 2 ( ) 50(5 10 20 15) 0.0533 10.828( )( )( )( ) 20 30 25 25 n ad bcK a b c d a c b d              , 没有 99.9% 的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关; (2)现从如表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出 9 人, 则从学习成绩优秀中抽取 209 630   人,从学习成绩一般中抽取 109 330   人, 再从这 9 人中随机抽取 3 人,记这 3 人中“学习成绩优秀”的人数为 X , 则 X 的可能取值为 0,1,2,3, 3 3 3 9 1( 0) 84 CP X C    , 1 2 6 3 3 9 18( 1) 84 C CP X C    , 2 1 6 3 3 9 45( 2) 84 C CP X C    , 3 6 3 9 20( 3) 84 CP X C    , X 的分布列为: X 0 1 2 3 P 1 84 18 84 45 84 20 84 数学期望 1 18 45 20( ) 0 1 2 3 284 84 84 84E X          . 5.教育部官方数据显示,2020 届大学毕业生达到 844 万,根据相关调查,位于大城市的应 届毕业生毕业后,有 30% 会留在该城市进行就业,于是租房便成为这些毕业生的首选.为 了了解应届毕业生房租支出的费用,研究人员对部分毕业生进行相关调查,所得数据如图所 示. (1)求 m 的值以及房租支出的平均值 x ; (2)为了了解应届生选择租房时考虑的主要因素,研究人员作出调查,所得数据如表所示, 判断是否有 99.9% 的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性. 以距离上班地点的远近作为主要考虑因 素 以房租的高低作为主要考虑因素 男生 500 300 女生 300 400 (3)由频率分布直方图,可近似地认为 A 城市应届毕业生房租支出服从正态分布 (N  , 23.2 ) ,若 2020 年该市区的应急毕业生共有 100 万人,试根据本题信息估计毕业后留在该市 且房租支出介于 8.6 百元到 21.4 百元之间的毕业生人数. 附:参考公式: 2 2 ( ) ( )( )( )( ) ad bcK a b c d a c b d       . 参考数据: 2( )P K …k 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 ( ) 0.6827P X        , ( 2 2 ) 0.9544P X        , ( 3 3 ) 0.9973P X        . 解:(1)依题意, (0.0125 0.05 0.0375 0.0125) 4 1m      ,解得 0.1375m  ; 故 (0.0125 4 0.05 8 0.1375 12 0.0375 16 0.0125 20) 4 1 1.8x             ; (2)在本次实验中, 2K 的观测值 2 0 1500 (500 400 300 300) 57.876 10.828800 800 700 700        k , 故有 99.9% 的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性; (3)依题意,毕业后留在该市的应届毕业生人数为1000000 0.3 300000  人, 0.6827 0.9973(860 2140) ( 3 ) 0.842P x P x             , 故所求人数为 300000 0.84 252000  . 6.智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式,以信息化科学技术为媒介实现师生之间、生 生之间的多维度互动,能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式.为了进一 步推动智慧课堂的普及和应用, A 市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查, 统计数据如表: 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村 40 城市 60 总计 100 60 160 从城市学校中任选一个学校,偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是 1 4 . (1)补全 2 2 列联表,判断能否有 99.5% 的把握认为智慧课堂的应用与区域有关,并说明 理由; (2)在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中,按照农村和城市的比例抽取 6 个学校进行 分析,然后再从这 6 个学校中随机抽取 2 个学校所在的地域进行核实,记其中农村学校有 X 个,求 X 的分布列和数学期望. 附: 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      , n a b c d    . 2 0( )P K …k 0.1 0.050 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解:(1) 2 2 列联表, 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村 40 40 80 城市 60 20 80 总计 100 60 160 (2 分) 2 2 2 ( ) 160(20 40 40 60) 32 10.667 7.879( )( )( )( ) 100 60 80 80 3 n ad bcK a b c d a c b d               .(4 分) 所以有 99.5% 的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关.(6 分) (2)在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中,农村和城市的比例是 2 :1 ,所以抽取的 6 个样本有 4 个是农村学校,2 个是城市学校,从中抽取 2 个,则 X 的可能取值为 0,1,2.(7 分) 0 2 4 2 2 6 1( 0) 15 C CP X C    , 1 1 4 2 2 6 8( 1) 15 C CP X C    , 2 4 2 6 0 22( 2) 5 C C P X C    . 所以 X 的分布列为: X 0 1 2 P 1 15 8 15 2 5 (10 分) X 的数学期望 1 8 2 4( ) 0 1 215 15 5 3E X        .(12 分) 7.某学校共有 1000 名学生,其中男生 400 人,为了解该校学生在学校的月消费情况,采取 分层抽样随机抽取了 100 名学生进行调查,月消费金额分布在 450~950 之间.根据调查 的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示: 将月消费金额不低于 750 元的学生称为“高消费群”. (Ⅰ)求 a 的值,并估计该校学生月消费金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表); (Ⅱ)现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650),[750,850)内的两组学生 中抽取 10 人,再从这 10 人中随机抽取 3 人,记被抽取的 3 名学生中属于“高消费群” 的学生人数为随机变量 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅲ)若样本中属于“高消费群”的女生有 10 人,完成下列 2×2 列联表,并判断是否 有 97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关? 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计 男 女 合计 (参考公式: ,其中 n=a+b+c+d) P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解:(Ⅰ)由题意知 100×(0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001)=1,解得 a=0.0035, 样本平均数为 =500×0.15+600×0.35+700×0.25+800×0.15+900×0.10=670 元. (Ⅱ)由题意,从[550,650)中抽取 7 人,从[750,850)中抽取 3 人, 随机变量 X 的所有可能取值有 0,1,2,3. P(X=k)= (k=0,1,2,3)所以随机变量 X 的分布列为: X 0 1 2 3 P 随机变量 X 的数学期望 E(X)= +2× +3× = . (Ⅲ)由题可知,样本中男生 40 人,女生 60 人属于“高消费群”的 25 人,其中女生 10 人;得出以下 2×2 列联表: 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计 男生 15 25 40 女生 10 50 60 合计 25 75 100 = = >5.024, 所以有 97.5%的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关.

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