大题专练训练50：随机变量的分布列（独立性检验）-2021届高三数学二轮复习

二轮大题专练 50—随机变量的分布列（独立性检验） 1．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，国际上 常用身体质量指数（英文为 BodyMassIndex，简称 BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健 康，其计算公式是 BMI＝ ，中国成人的 BMI 数值标准为：BMI＜18.5 为偏瘦；18.5≤BMI＜23.9 为正常；24≤BMI＜27.9 为偏胖；BMI≥28 为肥胖．某地区随 机调查了 100 名 35 岁以上成人的身体健康状况，测量身高、体重并计算 BMI 数值． （1）根据调查结果制作下面的 2×2 列联表，并判断能否有 99%的把握认为 35 岁以上成 人肥胖与不经常运动有关？ 肥胖 不肥胖 总计 经常运动员工 40 60 不经常运动员工 24 40 总计 100 参考公式： ，其中 n＝a+b+c+d． 参考数据： P（K2≥k） 0.25 0.10 0.050 0.010 0.005 0.001 k 1.323 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）如果视样本的频率视为概率，现随机地从这个地区抽取经常运动人群中的 3 人，不 经常运动人群中的 1 人座谈，记这 4 人中肥胖人数为 X，求 X 的分布列和数学期望． 解：（1）填表如下： 肥胖 不肥胖 总计 经常运动员工 20 40 60 不经常运动员工 24 16 40 总计 44 56 100 所以 K2＝ ≈6.926， 因为 6.926＞6.635，所以有 99%的把握认为肥胖与不经常运动有关． （2）“经常运动且肥胖”的概率为 ＝ ，“经常运动且不肥胖”的概率为 ＝ ， “不经常运动且肥胖”的概率为 ＝ ，“不经常运动且不肥胖”的概率为 ＝ ， X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4， P（X＝0）＝（ ）3× ＝ ， P（X＝1）＝ × ×（ ）2× + （ ）3× ＝ ， P（X＝2）＝ ×（ ）2× × + × ×（ ）2× ＝ ， P（X＝3）＝ （ ）3× + ×（ ）2× × ＝ ， P（X＝4）＝（ ）3× ＝ ， 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 则数学期望为 E（X）＝0× +1× +2× +3× +4× ＝ ． 2．随着人们生活水平的提高和对健康生活的重视，越来越多的人加入到了健身运动中．某 健身房从参与健身的会员中随机抽取了 100 人，对其每周参与健身的天数和 2020 年在该 健身房的消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表和统计图： 平均每周健身天数 不大于 2 3 或 4 不小于 5 男性会员人数 20 35 10 女性会员人数 10 20 5 若某人平均每周健身天数不小于 5，则称其为“健身达人”．该健身房规定年消费金额不 超过 1600 元的为普通会员，超过 1600 元但不超过 3200 元的为银牌会员，超过 3200 元 的为金牌会员． （1）已知金牌会员都是“健身达人”，现从这 100 位会员里的“健身达人”中随机抽取 2 人，求他们都是金牌会员的概率； （2）根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表： 男性会员 女性会员 是“健身达人” 不是“健身达人” 并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为是否为“健身达人”和性别有关？ （3）该健身机构在 2020 年年底针对这 100 位会员举办一次消费返利活动，每位会员均 可参与摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有 5 张形状大小完全一样的卡片，其中 3 张印跑步机图案、2 张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张．若摸到 动感单车的总次数为 1，则获得 50 元奖励；若摸到动感单车的总次数为 2，则获得 100 元奖励；若摸到动感单车的总次数为 3，则获得 200 元奖励，其他情况不予奖励．规定每 个普通会员只能参加 1 次摸奖游戏，每个银牌会员可参加 2 次摸奖游戏，每个金牌会员 可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立）．试估计在此次消费返利活动中该健身机 构的总支出． 附： ，其中 n＝a+b+c+d． P（K2≥k0） 0.500 0.250 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 0.455 1.323 2.706 3.841 6.636 7.879 解：（1）设事件 A 表示从这 100 位会员里的“健身达人”中随机抽取 2 人都是金牌会员， 则 ． （2）根据题意： 男性会员 女性会员 是“健身达人” 10 5 不是“健身达人” 55 30 ＝ ， 故不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为是否为“健身达人”和性别有关系． （3）设一次摸奖所获得的奖励额为 X，则 X 的所有可能取值为 0，50，100，200， 且 ， ， ， ， 故 一 次 摸 奖 获 得 的 奖 励 额 的 期 望 值 为 ， 故总支出约为（28+60×2+12×3）×63.2＝184×63.2＝11628.8 元． 3．为了解成年人的交通安全意识情况，某中学组织学生进行了一次全市成年人安全知识抽 样调查．随机地抽取了 200 名成年人，然后对这 200 人进行问卷调查，其中拥有驾驶证的占 2 5 ．这 200 人所得的分数都分布在[30 ，100] 范围内，规定分数在 80 以上（含80) 的为“具 有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图． （1）补全下面的 2 2 列联表，并判断能否有 95% 的把握认为“具有很强安全意识”与“拥 有驾驶证”有关？ 拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 22 不具有很强安全意识 总计 200 （2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取 3 人，记“具有很强安 全意识”的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望． 附临界值表： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． 2 0( )P K …k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：（1）200 人中拥有驾驶证的占 2 5 ，有 80 人，没有驾驶证的有 120 人， 由题意知 (0.004 0.008 0.020 0.028 0.020 0.004) 10 1a        ， 解得 0.016a  ． 所以具有很强安全意识的人有 200 (0.016 0.004) 10 40    人， 不具有很强安全意识的有 160 人． 补全 2 2 列联表如下： 拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 22 18 40 不具有很强安全意识 58 102 160 总计 80 120 200 计算得 2 2 200 (22 102 18 58) 75 4.688 3.84140 80 160 120 16K          ， 有 95% 的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关． （2）由频率分布直方图中数据可知， 抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为 1 5 ， 所以 X 的所有可能取值为 0，1，2，3． 则 34 64( 0) ( )5 125P X    ， 1 2 3 1 4 48( 1) ( )5 5 125P X C     ， 2 2 3 1 4 12( 2) ( )5 5 125P X C     ， 31 1( 3) ( )5 125P X    ． 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 故 64 48 12 1 3( ) 0 1 2 3125 125 125 125 5E X          ． 4．为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取 50 名学生，对学习成绩和使用 手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）: 使用手机 不使用手机 总计 学习成绩优秀 5 20 学习成绩一般 总计 30 50 （1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9% 的把握认为学生的学习成绩与 使用手机有关； （2）现从如表 不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出 9 人，再从这 9 人中 随机抽取 3 人，记这 3 人中“学习成绩优秀”的人数为 X ，试求 X 的分布列与数学期望． 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． 参考数据： 2 0( )P K …k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 解：（1）完成列联表如下： 使用手机 不使用手机 总计 学习成绩优秀 5 20 25 学习成绩一般 15 10 25 总计 20 30 50  2 2 2 ( ) 50(5 10 20 15) 0.0533 10.828( )( )( )( ) 20 30 25 25 n ad bcK a b c d a c b d              ， 没有 99.9% 的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关； （2）现从如表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出 9 人， 则从学习成绩优秀中抽取 209 630   人，从学习成绩一般中抽取 109 330   人， 再从这 9 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中“学习成绩优秀”的人数为 X ， 则 X 的可能取值为 0，1，2，3， 3 3 3 9 1( 0) 84 CP X C    ， 1 2 6 3 3 9 18( 1) 84 C CP X C    ， 2 1 6 3 3 9 45( 2) 84 C CP X C    ， 3 6 3 9 20( 3) 84 CP X C    ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 84 18 84 45 84 20 84 数学期望 1 18 45 20( ) 0 1 2 3 284 84 84 84E X          ． 5．教育部官方数据显示，2020 届大学毕业生达到 844 万，根据相关调查，位于大城市的应 届毕业生毕业后，有 30% 会留在该城市进行就业，于是租房便成为这些毕业生的首选．为 了了解应届毕业生房租支出的费用，研究人员对部分毕业生进行相关调查，所得数据如图所 示． （1）求 m 的值以及房租支出的平均值 x ； （2）为了了解应届生选择租房时考虑的主要因素，研究人员作出调查，所得数据如表所示， 判断是否有 99.9% 的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性． 以距离上班地点的远近作为主要考虑因 素 以房租的高低作为主要考虑因素 男生 500 300 女生 300 400 （3）由频率分布直方图，可近似地认为 A 城市应届毕业生房租支出服从正态分布 (N  ， 23.2 ) ，若 2020 年该市区的应急毕业生共有 100 万人，试根据本题信息估计毕业后留在该市 且房租支出介于 8.6 百元到 21.4 百元之间的毕业生人数． 附：参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) ad bcK a b c d a c b d       ． 参考数据： 2( )P K …k 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 ( ) 0.6827P X        ， ( 2 2 ) 0.9544P X        ， ( 3 3 ) 0.9973P X        ． 解：（1）依题意， (0.0125 0.05 0.0375 0.0125) 4 1m      ，解得 0.1375m  ； 故 (0.0125 4 0.05 8 0.1375 12 0.0375 16 0.0125 20) 4 1 1.8x             ； （2）在本次实验中， 2K 的观测值 2 0 1500 (500 400 300 300) 57.876 10.828800 800 700 700        k ， 故有 99.9% 的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性； （3）依题意，毕业后留在该市的应届毕业生人数为1000000 0.3 300000  人， 0.6827 0.9973(860 2140) ( 3 ) 0.842P x P x             ， 故所求人数为 300000 0.84 252000  ． 6．智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、生 生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式．为了进一 步推动智慧课堂的普及和应用， A 市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查， 统计数据如表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村 40 城市 60 总计 100 60 160 从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是 1 4 ． （1）补全 2 2 列联表，判断能否有 99.5% 的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明 理由； （2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取 6 个学校进行 分析，然后再从这 6 个学校中随机抽取 2 个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有 X 个，求 X 的分布列和数学期望． 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ， n a b c d    ． 2 0( )P K …k 0.1 0.050 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：（1） 2 2 列联表， 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村 40 40 80 城市 60 20 80 总计 100 60 160 （2 分） 2 2 2 ( ) 160(20 40 40 60) 32 10.667 7.879( )( )( )( ) 100 60 80 80 3 n ad bcK a b c d a c b d               ．（4 分） 所以有 99.5% 的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关．（6 分） （2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是 2 :1 ，所以抽取的 6 个样本有 4 个是农村学校，2 个是城市学校，从中抽取 2 个，则 X 的可能取值为 0，1，2．（7 分） 0 2 4 2 2 6 1( 0) 15 C CP X C    ， 1 1 4 2 2 6 8( 1) 15 C CP X C    ， 2 4 2 6 0 22( 2) 5 C C P X C    ． 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 P 1 15 8 15 2 5 （10 分） X 的数学期望 1 8 2 4( ) 0 1 215 15 5 3E X        ．（12 分） 7．某学校共有 1000 名学生，其中男生 400 人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取 分层抽样随机抽取了 100 名学生进行调查，月消费金额分布在 450～950 之间．根据调查 的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示： 将月消费金额不低于 750 元的学生称为“高消费群”． （Ⅰ）求 a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表）； （Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550，650），[750，850）内的两组学生 中抽取 10 人，再从这 10 人中随机抽取 3 人，记被抽取的 3 名学生中属于“高消费群” 的学生人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望； （Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有 10 人，完成下列 2×2 列联表，并判断是否 有 97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？ 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计 男 女 合计 （参考公式： ，其中 n＝a+b+c+d） P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：（Ⅰ）由题意知 100×（0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001）＝1，解得 a＝0.0035， 样本平均数为 ＝500×0.15+600×0.35+700×0.25+800×0.15+900×0.10＝670 元． （Ⅱ）由题意，从[550，650）中抽取 7 人，从[750，850）中抽取 3 人， 随机变量 X 的所有可能取值有 0，1，2，3． P（X＝k）＝ （k＝0，1，2，3）所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 随机变量 X 的数学期望 E（X）＝ +2× +3× ＝ ． （Ⅲ）由题可知，样本中男生 40 人，女生 60 人属于“高消费群”的 25 人，其中女生 10 人；得出以下 2×2 列联表： 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计 男生 15 25 40 女生 10 50 60 合计 25 75 100 ＝ ＝ ＞5.024， 所以有 97.5%的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关．