大题专练训练49：随机变量的分布列（正态分布）-2021届高三数学二轮复习

二轮大题专练 49—随机变量的分布列（正态分布） 1．消费扶贫是社会各界通过消费来自贫困地区和贫困人口的产品与服务，帮助贫困人口增 收脱贫的一种扶贫方式，是社会力量参与脱贫攻坚的重要途径．大力实施消费扶贫，有 利于动员社会各界扩大贫困地区产品和服务消费，调动贫困人口依靠自身努力实现脱贫 致富的积极性，促进贫困人口稳定脱贫和贫困地区产业持续发展．某地为了解消费扶贫 对贫困户帮扶情况．随机抽取 80 户进行调查，并以打分来进行评估．满分为 10 分．如 表是 80 户贫困户所打分数 X 的频数统计． 分数 X 5 6 7 8 9 10 频数 4 8 20 24 16 8 （Ⅰ）求贫困户所打分数的平均值； （Ⅱ）若从打分不低于 8 分的贫困户中，任意抽取两户的分数和为 Y，求 Y 的分布列； （Ⅲ）为了更好调查消费扶贫对贫困户帮扶情况．某地民政部门从本地 20000 户贫困户 中抽取 200 户对 2020 年的收入进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表： 收入（千元） [6，8） [8，10） [10，12） [12，14） [14，16） [16，18] 频数 20 60 60 30 20 10 （ⅰ）求这 200 户 2020 年消费扶贫帮扶收入平均值 和样本方差 s2（同一区间的报价用 该价格区间的中点值代替）； （ⅱ）假设所有参与贫困户的收入 X 可视为服从正态分布 N（ μ ，σ2）且 μ 与σ2 可分别 由（ⅰ）中所求的样本平均数 及样本方差 s2 估计．若 2021 年计划帮扶贫困户的户数是 3174 户，根据调查，最低收入高于样本平均数 ，请你预测（需说明理由）需要帮扶贫 困户最低收入． 参考公式及数据： 若随机变量 X 服从正态分布 N（ μ ，σ2），则 P（ μ ﹣σ＜X＜ μ +σ）＝0.6826，P（ μ ﹣2 σ＜X＜ μ +2σ）＝0.9544，P（ μ ﹣3σ＜X＜ μ +3σ）＝0.9974． 解：（Ⅰ） ＝ + + ＝ ． （Ⅱ）由题意可知 Y 的所有可能取值为 16，17，18，19，20， P（Y＝16）＝ ＝ ， P（Y＝17）＝ ＝ ， P（Y＝18）＝ ＝ ， P（Y＝19）＝ ＝ ， P（Y＝20）＝ ＝ ， 则 Y 的分布列为： Y 16 17 18 19 20 P （Ⅲ）（i）根据表中给的数据，这 200 户的平均值为： ＝ + ＝11（千元）． 这 200 户的方差为： S2＝ ×（﹣4）2+ + ＝6.8（千元）． （ii）由题意知 ＝0.1587， X～N（11，6.8），P（ μ ﹣σ＜X＜ μ +σ）＝0.6826， P（X＞ μ +σ）＝ ＝0.1587． ∴2021 年份预测的需要帮扶贫困户的最低收入约为 13.69（千元）． 2．为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了 3000 名学生，统计了他们的周末运动 时间，制成如下的频率分布表： 周末运动时间 t （分钟） [30 ，40) [40 ，50) [50 ，60) [60 ，70) [70 ，80) [80 ，90) 人数 300 600 900 450 450 300 （1）从周末运动时间在[70 ，80) 的学生中抽取 3 人，在[80 ， 90] 的学生中抽取 2 人，现 从这 5 人中随机推荐 2 人参加体能测试，记推荐的 2 人中来自[70 ，80) 的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望； （2）由频率分布表可认为：周末运动时间 t 服从正态分布 2( , )N   ，其中  为周末运动时 间的平均数 t ， 近似为样本的标准差 s ，并已求得 14.6s  ．可以用该样本的频率估计总 体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取 10 名学生，记周末运动时间在 (43.9 ，87.7] 之 外的人数为Y ，求 ( 2)P Y  （精确到 0.001) ； 参 考 数 据 1 ： 当 2~ ( , )t N   时 ， ( ) 0.6826P t        ， ( 2 2 ) 0.9545P t        ， ( 3 3 ) 0.9973P t        ． 参考数据 82:0.8186 0.202 ， 20.1814 0.033 ． 解 ： （ 1 ） 随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 为 0 ， 1 ， 2 ， 0 2 1 1 2 0 3 2 3 2 3 2 2 2 2 5 5 5 1 3 3( 0) , ( 1) , ( 2)10 5 10 C C C C C CP X P X P XC C C          ， X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 所以 1 3 3 6( ) 0 1 210 5 10 5E X        ． （2） 35 300 45 600 55 900 65 450 75 450 85 300 58.53000t              ， 又 43.9 58.5 14.6      ，87.7 58.5 14.6 2 2      ， 所以 0.6827 0.9545(43.9 87.7) ( 2 ) 0.81862P t P t          „ „ ， 所以 (P t  „ 或 2 ) 1 0.8186 0.1814t       ， 所以 ~ (10,0.1814)Y B ， 所以 2 2 8 10( 2) 0.1814 0.8186 45 0.033 0.202 0.300P Y C        ． 2．2020 年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品．根据国家质量监督检验标准，过滤 率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于 5 微米的颗粒的过滤率必须大于 90% ．为 了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 10 个医用口罩， 检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤 率 Z 服从正态分布 2( , )N   ．假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立．记 X 表示 一天内抽取 10 个口罩中过滤率小于或等于 3  的数量． （1）求 ( 1)P X… 的概率； （2）求 X 的数学期望 ( )E X ； （3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率 Z 小于 3  的口罩，就认为这条生产线在 这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种 监控生产过程的方法合理吗？ 附 ： 若 随 机 变 量 2~ ( , )Z N   ， 则 ( ) 0.6826P Z      „ ， ( 2 2 ) 0.9544P Z      „ ， ( 3 3 ) 0.9974P Z      „ ， 100.9987 0.9871 ． 解：（1）抽取口罩中过滤率在 ( 3  ， 3 ]  内的概率 ( 3 3 ) 0.9974P Z      „ ， 所以 1 0.9974( 3 ) 0.00132P Z     „ ， 所以 ( 3 ) 1 0.0013 0.9987P Z       ， 故 10( 1) 1 ( 0) 1 0.9987 1 0.9871 0.0129P X P X       … ． （2）由题意可知 ~ (10,0.0013)X B ，所以 ( ) 10 0.0013 0.013E X    ． （3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于 3  的 概率， 1 0.9974( 3 ) 0.00132P Z     „ ，一天内抽取的 10 只口罩中， 出现过滤率小于或等于 3  的概率 ( 1) 0.0129P X … ，发生的概率非常小，属于小概率事 件． 所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情 况， 需要对当天的生产过程进行检查维修．可见这种监控生产过程的方法合理． 3．某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市 高三联考理综试卷的得分情况进行了调研．从全市参加考试的考生中随机抽取了 100 名 考生的理综成绩，将数据分成 7 组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）， [240，260），[260，280），[280，300]．并整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求直方图中 x 的值； （2）用频率估计概率，从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取 3 个，记理综成绩位 于区间[220，260）内的个数为 y，求 y 的分布列及数学期望 E（y）； （3）若变量 S 满足 P（ μ ﹣σ＜S≤ μ +σ）≈0.6827，且 P（ μ ﹣2σ＜S≤ μ +2σ）≈0.9545， 则称 S 近似服从正态分布 N（ μ ，σ2）．若该市高三考生的理综成绩近似服从正态分布 N （225，225），则给予这套试卷好评，否则差评，试问：这套试卷得到好评还是差评？ 解：（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1， 解得 x＝0.0075； （2）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取 1 个，理综成绩 位于[220，260）内的概率为（0.0125+0.0075）×20＝0.4， 所以随机变量 y 服从二项分布 B～（3，0.4）， 故 P（y＝k）＝C3k0.4k0.63﹣k，k＝0，1，2，3， 故 y 的分布列为 y 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 则 E（y）＝3× 0.4＝1.2； （3）记该市高三考生的理综成绩为 z， 由题意可知，P（210＜z＜240）≤P（200＜z＜240）＝20×（0.011+0.0125）＝0.47＜0.6827， P（195＜z＜255）≤P（180＜z＜260）＝20×（0.0095+0.011+0.0125+0.0075）＝0.81＜ 0.9545， 所以 z 不近似服从正态分布 N（225，225），所以这套试卷得到差评． 4．某省高考曾经使用过一段标准分制度，标准分是把学生考试的基础分参与全省排出相对 名称，通过公式换算成标准分．高考后公布考生的标准分，而不公布基础分．考生根据 自己的标准分多少就可以大致估出自己在全省考生的名次．其标准分 X 是服从正态分布 N（500，1002）的随机变量．假设某学生的数学成绩不低于 600 的概率为 p0． （Ⅰ）求 p0 的值； （Ⅱ）某校高三的高考英语和数学两科都超过 600 分的有 5 人，仅单科超过 600 分的共 有 8 人，在这些同学中随机抽取 3 人，设三人中英语和数学双科都超过 600 分的有 ξ 人， 求 ξ 的分布列和数学期望． （参考数据：若 X～N（ μ ，σ2），有 P（ μ ﹣σ＜X≤ μ +σ）＝0.6826，P（ μ ﹣2σ＜X≤ μ +2σ）＝0.9544，P（ μ ﹣3σ＜X≤ μ +3σ）＝0.9974．） 解：（Ⅰ）由于随机变量 X 服从正态分布 N（500，1002）， ∴ μ ＝500，σ＝100， P（X＞600）＝1﹣P（X≤600）， 由正态分布的对称性，可知 P（x≤500）＝ ， 则 P（400＜X≤600）＝0.6826， 则 p0＝P（X＞600）＝1﹣P（X≤600） ＝1﹣[P（X≤500）+ P（400＜X≤600）] ＝1﹣（ ） ＝1﹣（0.5+0.3413） ＝0.1587． （Ⅱ）英语和数学双科都超过 600 分的有 5 人，仅单科超过 600 分的有 8 人， ξ 的所有取值有 0，1，2，3， P（ ξ ＝0）＝ ＝ ， P（ ξ ＝1）＝ ＝ ， P（ ξ ＝2）＝ ＝ ， P（ ξ ＝3）＝ ＝ ， ∴ ξ 的分布列为： ξ 0 1 2 3 P E（ ξ ）＝ ＝ ． 5．5G 网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一．2020 年初以来，我国 5G 网络正在大面积铺开．A 市某调查机构为了解市民对该市 5G 网络服 务质量的满意程度，从使用了 5G 手机的市民中随机选取了 200 人进行了问卷调查，并将 这 200 人根据其满意度得分分成以下 6 组：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90， 100]，统计结果如图所示： （1）由直方图可认为 A 市市民对 5G 网络满意度得分 z（单位：分）近似地服从正态分 布 N（ μ ，σ2），其中 μ 近似为样本平均数 ，σ近似为样本的标准差 s，并已求得 s＝14.31．若 A 市恰有 2 万名 5G 手机用户，试估计这些 5G 手机用户中满意度得分位于区间（56.19， 99.12]的人数（每组数据以区间的中点值为代表）； （2）该调查机构为参与本次调查的 5G 手机用户举行了抽奖活动，每人最多有 10 轮抽奖 活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为 ．每一轮抽奖，若中奖，奖金为 100 元话费 且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动． （ⅰ）求小王获得 900 元话费的概率； （ⅱ）求小王所获话费总额 X 的数学期望（结果精确到 0.01）． 参考数据：若随机变量 z 服从正态分布 N（ μ ，σ2），即 z～N（ μ ，σ2），则 P（ μ ﹣σ＜ z≤ μ +σ）≈0.6827，P（ μ ﹣2σ＜z≤ μ +2σ）≈0.9545． 解 ： （ 1 ） 由 题 意 知 样 本 平 均 数 为 ， 所以（ μ ﹣σ， μ +2σ）＝（70.5﹣14.31，70.5+2×14.31）＝（56.19，99.12）， 而 ， 故 2 万名 5G 手机用户中满意度得分位于区间（56.19，99.12]的人数约为 20000×0.8186 ＝16372（人）． （2）（ⅰ）小王获得 900 元话费表明其前 9 轮连续中奖且第 10 轮未中奖，故所求的概率 为： ． （ⅱ）由题意可求得 所以 ． 令 ， ① 则 ， ② 由 ① ﹣ ② 得 ， 所以 ， 所以小王所获话费总额 X 的数学期望： ＝ （元）． 6．为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取 200 只小白鼠，并 将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某 项医学指标值并制成如图的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率 代替其概率）： （1）根据频率分布直方图，估计 200 只小白鼠该项医学指标平均值 （同一组数据用该 组数据区间的中点值表示）； （2）若认为小白鼠的该项医学指标值 X 服从正态分布 N（ μ ，σ2），且首次注射疫苗的 小白鼠该项医学指标值不低于 14.77 时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现， 对第一次注射疫苗的200只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗， 约有 16 只小白鼠又产生了抗体．这里 μ 近似为小白鼠医学指标平均值 近似为样 本方差 s2.经计算得 s2＝6.92，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产 生抗体的概率 p（精确到 0.01）． 附：参考数据与公式 ≈2.63，若 X～N（ μ ，σ2），则 ① P（ μ ﹣σ＜X≤ μ +σ）＝0.6827； ② P（ μ ﹣2σ＜X≤ μ +2σ）＝0.9545； ③ P（ μ ﹣3σ＜X≤ μ +3σ）＝0.9973． 解：（1）由频率分布直方图可得： X 12 14 16 18 20 22 24 p 0.04 0.12 0.28 0.36 0.10 0.06 0.04 则 ； （2）∵ μ ﹣σ＝17.40﹣2.63＝14.77， ∴ ， 记事件 A 表示首先注射疫苗后产生抗体，则 p（A）＝0.8414，可得 ， 因此 200 只小白鼠首先注射疫苗后有 200×0.8414≈168 只产生抗体，有 200﹣168＝32 只没有产生抗体． 故注射疫苗后产生抗体的概率 ．