大题专练训练46：随机变量的分布列（摸球类）-2021届高三数学二轮复习

二轮大题专练 46—随机变量的分布列（摸球类） 1．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的 8 个小球，其中白色球与黄色球各 3 个，红 色球与绿色球各 1 个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记 1 分、黄球每个记 2 分、红球每个记 3 分、绿球每个记 4 分，以得分高获胜．比赛规则如下：①只能一个人摸 球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出 1 球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里 摸出 2 个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出 3 个球，他的得分为两次摸出的球的 记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和． （1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲的得分不低于乙的得分的概率； （2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分 的分布列和数学期望 E ． 解：（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件 A ， 因为球的总分为 16，即事件 A 指的是甲的得分大于等于 8， 则 1 1 2 1 6 3 2 7 9 3( ) 21 7 C C CP A C    ， （2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出 3 个小球， 则得分情况有：6 分、7 分、8 分、9 分、10 分、11 分， 3 3 3 7 1( 6) 35 CP C     ， 2 1 3 3 3 7 9( 7) 35 C CP C     ， 1 2 3 3 3 7 9( 8) 35 C CP C     ， 1 1 3 3 1 3 3 3 7 7 4( 9) 35 C C CP C C      ， 1 1 1 3 3 1 3 7 9( 10) 35 C C CP C      ， 2 1 3 1 3 7 3( 11) 35 C CP C     ， 所以 的分布列为：  6 7 8 9 10 11 P 1 35 9 35 9 35 4 35 9 35 3 35 所以 的数学期望 60 7E  ． 2．某不透明纸箱中共有 4 个小球，其中 1 个白球，3 个红球，它们除了颜色外均相同． （1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出 2 个红球的概率； （2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取 4 次，记取到红球的次 数为 ，求 的分布列； （3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取 20 次，取得几次红球的 概率最大？（只需写出结论）． 解：（1）设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出 2 个红球”为事件 A ， 则从 4 个球中摸出 2 个，有 2 4C 种取法，都是红球的取法有 2 3C 种， 则 P （A） 2 3 2 4 1 2 C C   ． （2） 可能取 0，1，2，3，4， 0 0 4 4 3 3 1( 0) ( ) (1 )4 4 256P C     ， 1 1 3 4 3 3 3( 1) ( ) (1 )4 4 64P C     ， 2 2 2 4 3 3 27( 2) ( ) (1 )4 4 128P C     ， 3 3 1 4 3 3 27( 3) ( ) (1 )4 4 64P C     ， 4 4 0 4 3 3 81( 4) ( ) (1 )4 4 256P C     ． 所以 的分布列为  0 1 2 3 4 P 1 256 3 64 27 128 27 64 81 256 （3）根据题意，纸箱中共有 4 个小球，其中 1 个白球，3 个红球，每次从纸箱中摸出一个 小球，取出红球的概率为 3 4 ， 若连续摸取 20 次，摸到红球次数的期望为 320 154   ， 则摸到 15 次红球的概率最大． 3．袋中有 10 个大小、材质都相同的小球，其中红球 3 个，白球 7 个．每次从袋中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回．求： （Ⅰ）第一次摸到红球的概率； （Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； （Ⅲ）第二次摸到红球的概率． 解：根据题意，设事件 A ：第一次摸到红球；事件 B ：第二次摸到红球， 则事件 A ：第一次摸到白球． （Ⅰ）袋中有 10 个球，第一次从 10 个球中摸一个共 10 种不同的结果，其中是红球的结果 共 3 种， 所以 3( ) 10P A  ， （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论， 3( ) 10P A  ，前两次都摸到红球的概率 3 2 1( ) 10 9 15P AB    ， 则 ( ) 2( | ) ( ) 9 P ABP B A p A   ； （Ⅲ） 3( ) 10P A  ，则 ( ) 1P A P  （A） 7 10  ， 7 3 7( ) 10 9 30P AB    ， 则 P （B） 1 7 3( ) ( ) 15 30 10P AB P AB     ； 所以第二次摸到红球的概率 3( ) 10P B  ． 4．某大型商场国庆期间举行抽奖活动，活动规定：凡是一次性购物满 200 元的顾客就可以 从装有 3 个红球，5 个白球（除颜色外，其他完全相同）的抽奖箱中无放回地摸出 3 个小球， 摸到红球才能中奖，摸到 1 个红球奖励 1 元，摸到 2 个红球奖励 4 元，摸到 3 个红球奖励 10 元．活动第一天有 700 人次购物满 200 元，其中有 140 人次没有参与抽奖活动． （1）求活动第一天购物满 200 元的 700 人次中参与抽奖的频率； （2）设每次参与抽奖活动所得奖金的金额为 X 元，求 X 的分布列，并求活动第一天该商场 投入奖金总金额的数学期望． 解：（1）活动第一天购物满 200 元的 700 人次中参与抽奖的频率为 1401 0.8700   ． （2） X 的可能取值为 0，1，4，10 ， 3 5 3 8 5( 0) 28 CP X C    ， 1 2 3 5 3 8 15( 1) 28 C CP X C    ， 2 1 3 5 3 8 15( 4) 56 C CP X C    ， 3 3 3 18 1( 10) 56 CP X C    ， 则 X 的分布列为： X 0 1 4 10 P 5 28 15 28 15 56 1 56 所以 5 15 15 1 250 1 4 1028 28 56 56 14EX          ， 故活动第一天该商场投入奖金总金额的数学期望为 (700 140) 1000EX  元． 5．有三个同样的箱子，甲箱中有 2 只红球，6 只白球，乙箱中有 6 只红球，4 只白球，丙箱 中有 3 只红球，5 只白球． （1）随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率； （2）从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率． 解：（1）根据题意，记事件 1A ：从甲箱中取一球为红球，事件 2A ：从乙箱中取一球为红球， 事件 3A ：从丙箱中取一球为红球， 记事件 B ：取得的三球都为红球，且事件 1A ， 2A ， 3A 相互独立， 所以 1 2 3 1 3 3 9( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 8 160P B P A P A P A       ， 所以三球都为红球的概率为 9 160 ． （2）记事件 C ：该球为红球，事件 1D ：取甲箱，事件 2D ：取乙箱，事件 3D ：取丙箱 因为 1 2 3 1 3 3( | ) , ( | ) , ( | )4 5 8P C D P C D P C D   ， 所以 P （C） 1 1 2 2 3 3 1 1 1 3 1 3 49( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 3 4 3 5 3 8 120P D P C D P D P C D P D P C D             ， 所以该球为红球的概率为 49 120 ． 6．一个不透明的袋子中装有 5 个小球，其中有 3 个红球，2 个白球，这些球除颜色外完全 相同． （1）记事件 A 为“一次摸出 2 个球，摸出的球为一个红球，一个白球”．求 P （A）； （2）记事件 B 为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次 摸出的球为不同颜色的球”，记事件 C 为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个 球，两次摸出的球为不同颜色的球”，求证： P （C） P （B） 1 5 P （A）． 解：（1）一个不透明的袋子中装有 5 个小球，其中有 3 个红球，2 个白球，这些球除颜色外 完全相同． 记事件 A 为“一次摸出 2 个球，摸出的球为一个红球，一个白球”． 一次摸出 2 个球基本事件总数 2 5 10n C  ， 其中摸出的球为一个红球，一个白球包含的基本事件个数 1 1 3 2 6m C C  ， P （A） 6 3 10 5 m n    ． （2）证明：记事件 B 为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球， 两次摸出的球为不同颜色的球”， P （B） 3 2 2 3 12 5 5 25     ， 记事件 C 为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜 色的球”， P （C） 3 2 2 3 12 3 5 4 20 5      ， P （C） P （B） 1 5 P （A）． 7．袋中有大小形状均相同的 1 白球、2 黑球，现进行摸球游戏，约定摸出白球得 2 分，摸 出黑球得 1 分． （Ⅰ）现约定有放回地摸球 4 次，得分为 X，求变量 X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）当游戏得分为 n（n ∈ N*）时，游戏停止，记得 n 分的概率为 pn，pn 的和为 Qn，Q1 ＝ ． （ⅰ）求 Q2； （ⅱ）若 Tn＝Qn+1﹣Qn，求数列{Tn}的通项公式． 解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为 4，5，6，7，8，得 1 分的概率为 ，得 2 分的概率为 ， 则 P（X＝4）＝（ ）4＝ ， P（X＝5）＝ ＝ ， P（X＝6）＝ ＝ ， P（X＝7）＝ ＝ ， P（X＝8）＝ ＝ ， ∴X 的分布列为： X 4 5 6 7 8 P ∴E（X）＝ ＝ ． （Ⅱ）（i）由题意得 Q2＝ ＝ ． （ii）得 n 分分为两种情形，第一种在得（n﹣2）分之后再摸出白球，得 2 分，第二种在 得（n﹣1）分之后再摸出黑球得 1 分， ∴当 n≥3 时，Qn＝ ， 则 Tn+1＝Qn+2﹣Qn+1＝ ＝﹣ （Qn+1﹣Qn）＝﹣ ， ∴数列{Tn}是以 为首项，﹣ 为公比的等比数列， ∴Tn＝ （﹣ ）n﹣1＝（﹣ ）n+1．