专题 1.1 解三角形
本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形
的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与
和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵
活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.
（1）解三角形一般需要三个条件，如果条件不齐，则只能求角或者求范围．
（2）解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角
化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关
系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想
求最值．
（3）在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题
中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、
余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
（4）针对查利用正余弦定理解三角形，及利用基本不等式求三角形周长的最值，利用
条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然
后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造
和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值，考查学生的转化能力与运算解能力，
属于中档题．
1 ． ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知
2 23 cos 2sin cos sin2 4 4
A A AA
．
（1）求 A；
（2）若 5b c ，且 ABC 的面积为 3 3
2
，求 a 的值．
【试题来源】内蒙古包头市 2020-2021 学年高三上学期期末考试
【答案】（1）
3A ；（2） 7a ．
【解析】（1）由 2 23 cos 2sin cos sin2 4 4
A A AA
，得 3 cos 2sin cos2 2
A AA ，
即 3 cos sinA A ，又 0,A ，所以 tan 3A ，所以
3A ．
（2）因为 1 1 3 3sin sin2 2 3 2S bc A bc ，所以 6bc ，
由余弦定理，得 2 2 2 2 22 cos 3a b c bc b c bc ，
即 22 23 5 3 6 7a b c bc ，因为 0a ，所以 7a ．
2．已知 ABC 的内角， , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c ，且 3 sin cos 2a B b A b ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 6b c ，且 ABC 的面积 2 3S ，求 a．
【试题来源】浙江省之江教育评价 2021 届高三下学期 2 月返校联考
【答案】（1）
3
；（2） 2 3 ．
【解析】（1）因为 3 sin cos 2a B b A b ，由正弦定理得；
3sin sin sin cos 2sin sin 0A B B A B B （ ）
所以 3sin cos 2A A ，得sin 16A
，
因 0 A ，故
3A ；
（2） 1 3si 2 34n2S bc A bc ，得 8bc ，
2 2 2 2 cosa b c bc A 2( ) 3b c bc 36 24 12 ，所以 2 3a .
3．在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , , , 3a b c A B C ．
（1）求sinC 的取值范围；
（2）若 6c b ，求sinC 的值．
【试题来源】江苏省盐城市、南京市 2021 届高三下学期第一次模拟考试
【答案】（1） 20, 2
；（2） 2sin 3C ．
【分析】（1）利用三角形的内角和性质可得 22B C ，
2A C ，由
0
0
0
A
B
C
，可
得 0 4C ， 从 而 可 得 sinC 的 取 值 范 围 ．（ 2 ） 利 用 正 弦 定 理 的 边 角 互 化 可 得
sin 6sinC B ，由（1）可得 22B C ，代入上式即可求解．
【解析】（1）由 3A B C 及 A B C ，得 2 4B C ，
所以 22B C ，所以
2A C ．由
0
0
0
A
B
C
，得
0 ,2
0 2 ,2
0 ,
C
C
C
得 0 4C ，故 sinC 的取值范围为 20, 2
．
（2）若 6c b ，由正弦定理有sin 6sinC B ，①
由（1）知 22B C ，则sin sin 2 cos22B C C
．②
由①②得 2sin cos2 1 2sin1
6 C C C ，所以 212sin sin 6 0C C ，
解得 2sin 3C 或sin 3
4C ，又 2sin 0, 2C
，所以 2sin 3C ．
4．在 ABC 中， a ，b ， c 分别为角 A ， B ， C 的对边，且 3bcos A 2c a ．
（1）求角 B ；
（2）若 ABC 的面积为 2 3 ， BC 边上的高 1AH ，求b ， c ．
【试题来源】河南省新乡市 2020-2021 学年高三下学期 2 月一轮复习摸底考试
【答案】（1）
6
；（2） 2 7b ， 2c ．
【分析】（1）化角为边，化简得 2 2 2 3c a b ac ，再利用余弦定理求角 B ；
（2）由正弦定理算出 c ，由面积公式算出 a ，由余弦定理计算b 中即可．
【解析】（1）因为 3cos 2b A c a ，所以
2 2 2 3
2 2
b c ab c abc
，
所以 2 2 2 22 3b c a c ac ，即 2 2 2 3c a b ac ．
由余弦定理可得
2 2 2 3cos 2 2
c a bB ac
，
因为 (0, )B ，所以
6B ．
（2）由正弦定理可得
sinsin 2 2sin sin 6
AHAH AHBc B
．
因为 ABC 的面积为 2 3 ，所以 1 1sin 2 32 2ac B a ，解得 4 3a ．
由余弦定理可得 2 2 2 2 cosb a c ac B 348 4 2 2 4 3 282
，
则 2 7b ．
5．如图，在 ABC 中， 2AB ，
3B ，点 D 在线段 BC 上．
（1）若
4BAD ，求 AD 的长；
（2）若 3BD DC ，且 2 3ABCS ，求 sin
sin
BAD
CAD
的值．
【试题来源】江西省新八校 2020-2021 学年高三上学期第一次联考
【答案】（1） 3 2 6AD ；（2） sin 3 3sin
BAD
CAD
．
【分析】（1）利用正弦定理求解即可．（2）用余弦定理求出 2 3AC ，在两个三角形中
用正弦定理得出 sin 3
sin 2
BAD AC
CAD
，代入 AC 值求解即可．
【解析】（1）因为
sin sin
AD AB
B ADB
，且 75ADB ，
所以
2
3 6 2
2 4
AD
，所以 3 2 6AD ；
（2）因为 12 3 sin2 3ABC AS B BC ，
故算得 4, 3, 1BC BD DC ，
在 ABD△ 中，利用正弦定理有 3 2
sin sinBAD ADB
，
在 ADC 中，有 1
sin sin
AC
DAC ADC
，
所以 sin 3
sin 2
BAD AC
CAD
，
因为 2 14 16 2 2 4 122AC ，所以 2 3AC ，
所以 sin 3 3sin
BAD
CAD
.
6． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 3 sin 2 cosb A a B ．
（1）求角 B；
（2）若 3b ，且 ABC 的面积等于 3
2
，求 1 1
a c
的值．
【试题来源】云南师范大学附属中学 2021 届高三下学期第七次月考
【答案】（1） 2π
3
；（2） 11
2
．
【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及辅助角公式即可求解．
（2）根据三角形的面积公式可得 2ac ，再利用余弦定理可得 11a c ，代入即可求解．
【解析】（1）因为 3 sin (2 cos )b A a B ，
所以 3sin sin sin (2 cos )A B A B ．
因为 (0 π)A ， ，所以sin 0A ，
所以 3sin cos 2B B ，所以 π2sin 26B
，
所以 π π
6 2B ，所以 2π
3B ．
（2）因为 3
2ABCS
，所以 1 2π 3sin2 3 2ac ，所以 2ac ．
因为 2 2 2 22 cos ( )b a c ac B a c ac ，
所以 11a c ．所以 1 1 11
2
a c
a c ac
．
7．在 ABC 中，角 A， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且 23 sin 2 cos 2
B Ca B b ．
（1）求角 A的大小；
（2）若 BC 边上的中线 2AD ，求 ABC 面积的最大值．
【试题来源】新疆维吾尔自治区 2021 届高三第二次联考数学能力测试试题
【答案】（1） 2
3
；（2） 4 3 ．
【解析】（1）依题意有 23 sin 2 cos (1 cos )2
B Ca B b A b ．
所以 3sin sin (1 cos )sinA B A B ，sin 0B ，所以 3sin 1 cosA A ，
又 2 2sin cos 1A A ，解得 3sin 2A ， 1cos 2A ，所以 2
3A ．
（2）| | 22
AB ACAD
，| | 4AB AC ，
即 2 2 2 22| | | | 2| || | cos | | | | | || | 16 | || |3AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC
所以 max( ) 16AB AC
，当且仅当| | | | 4AB AC 时成立．
故 ABC 面积的最大值为 1 | |sin 4 32S AB AC A
.
8．在 ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，已知 cos 2 cos 0c A a b C ．
（1）求C 的大小；
（2） ABC 的面积等于 4 3 ， D 为 BC 边的中点，当中线 AD 长最短时，求 AB 边长．
【试题来源】安徽省安庆市 2021 届高三下学期一模
【答案】（1）120 ；（2） 2 14 ．
【分析】（1）利用正弦定理可求出 cosC 的值，结合角 C 的取值范围可求得角C 的值；
（2）利用三角形的面积公式求得 16ab ，利用基本不等式结合余弦定理求得 AD 的最小
值，利用等号成立的条件求出 a 、b 的值，再利用余弦定理可求得 AB 的长．
【解析】（1）由 cos 2 cos 0c A a b C 得 sin cos sin 2sin cos 0C A A B C …
即 2sin cos sin sin sinB C A C B B ，
0 180B ， sin 0B ，从而 1cos 2C
而 0 180C ，所以 120C ；
（2） 1 3sin120 4 32 4S ab ab ， 16ab ，
在 ACD△ 中 ， 由 余 弦 定 理 可 得
2 2
2 2 22 cos1202 2 2 2
a a a abAD b b b
2
2 32 242 2 2
a ab abb
，
当且仅当 1
2b a 时，即当 4 2a ， 2 2b 时，等号成立．
此时 2 2 2 12 cos120 32 8 2 4 2 2 2 562AB a b ab
，故 2 14AB ．
9．在锐角三角形 ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，向量 cos ,cosm C A
与 2 ,n b c a 平行．
（1）求角 A的大小；
（2）求 b
c
的取值范围．
【试题来源】浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2021 届高三下学期第二次联考
【答案】（1）
3A ；（2） 1 ,22
b
c
．
【分析】（1）由向量 / /m n
和正弦定理，求得sin 2sin cos 0B B A ，进而得到 1cos 2A ，
即可求解；（2）根据 ABC 为锐角三角形，求得
6 2C ，利用三角恒等变换的公式，
化简得到 3 1
2tan 2
b
c C
，进而求得 b
c
的取值范围．
【解析】（1）由向量 cos ,cosm C A 与 2 ,n b c a 平行，
可得 cos 2 cos 0a C b c A ，
又由正弦定理得sin cos 2sin cos sin cos 0A C B A C A ，
即 sin 2sin cos 0A C B A ，即 sin 2sin cos 0B B A ．
因为 (0, )B ，可得sin 0B ，所以 1cos 2A ，
因为 0 A ，所以
3A ．
（2）因为 ABC 为锐角三角形，可得
(0, )2
2 (0, )3 2
C
B C
，解得
6 2C ，
则
2 3 1sin cos sinsin 3 13 2 2
sin sin sin 2tan 2
C C Cb B
c C C C C
，
因为 ,6 2C
，所以 1 0, 3tanC
，可得 1 3 1 22 2tan 2
C
，即 1 22
b
c
，
所以 b
c
的取值范围为 1 ,22
．
10． ABC 的内角 A， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 1cos 2a c B b ．
（1）若 1c ，求 ABC 面积的最大值；
（2）若 D 为 BC 边上一点， 4DB ， 5AB ，且 12AB BD ，求 AC ．
【试题来源】福建省漳州市 2021 届高三毕业班下学期第一次教学质量检测
【答案】（1）最大值为 3
4
；（2） 8 3
3
．
【分析】（1）根据正弦定理求出角C ，再根据余弦定理及基本不等式求出 ab 的最大值，即
可确定三角形的面积的最大值；（2）首先求出 cos B ，再求出sin B ，再在 ABC 中利用正
弦定理即可求出 AC 的长．
【解析】（1）根据 1cos 2a c B b 及正弦定理，可得 1sin sin cos sin2A C B B ，
即 1sin sin cos sin2B C C B B ，
可得 1sin cos cos sin sin cos sin2B C B C C B B ．
sin 0B ， 1cos 2C ． 0 C ，
3C ．
根据余弦定理可得 2 2 2 2 cos 2c a b ab C ab ab ab ，
1ab ，当且仅当 a b 时等号成立，
ABC 的面积为 1 1 3 3sin 12 2 2 4ab C ，
ABC 的面积的最大值为 3
4
．
（2）由 12AB BD 可得
5 4 cos 12AB BD B ，
3cos 5B ， 0 B ， 4sin 5B ．
在 ABC 中，利用正弦定理可得
sin sin
AC AB
B C
，
即
5
4 3
5 2
AC ，解得 8 3
3AC ．
11．已知 ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别是 a 、b 、 c ，已知 2 cos 2a C c b ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ABC 的面积为 3 ，若 ABC 的周长为 6，求三角形的边长 a ．
【试题来源】 2020-2021 学年高三下学期 2 月月考试题（线上）
【答案】（1）
3A ；（2） 2a ．
【 分 析 】（ 1 ） 由 正 弦 定 理 和 已 知 得 2sin cos sin 2sinA C C B ， 再 利 用
sin sinB A C ，可得答案；（2）由面积公式、 ABC 的周长、由余弦定理可得答案．
【解析】（1）由正弦定理得 2sin cos sin 2sinA C C B ，
因为 A B C ，所以 sin sinB A C ，
所以 2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sinA C C A C A C A C ，
整理可得sin 2cos sinC A C ，
因为 0,C ，所以sin 0C ，所以 1cos 2A ，又 0,A ，所以
3A ．
（2）由（1）知
3A ，若 ABC 的面积为 3 ，所以 1 sin 32ABC bcS A ，
若 ABC 的周长为 6，所以 6ABCC a b c △ ，
由余弦定理，得 2 2 2 2 cosa b c bc A ，解得 2a ．
12．已知 ABC 中， 6 32AB BC ，且 2 2 5AC AB ．
（1）求 ABC 的值；
（2）若 P 是 ABC 内一点，且 5 3,6 4APB CPB ，求 tan PBA∠ ．
【试题来源】广西桂林、崇左市 2021 届高三联合调研考试（二模）
【答案】（1）
4ABC ；（2） 3tan 5PBA ．
【分析】（1）由已知求得 2 5 2 3AC ，再由余弦定理求得 2cos 2ABC ，即可求得
ABC ；（ 2 ） 由 题 可 得 PBA PCB ， 设 PBA ， 由 正 弦 定 理 可 得
2sin 2 3sin 6PB
，化简即可求出．
【解析】（1）由 6 32AB BC ，知 3, 2AB BC ，
由 2 2 5AC AB ，知 2 5 2 5 2 3AC AB ，
在 ABC 中，由余弦定理得
2 2 2 2 3 5 2 3 2cos 2 22 2 3
BC AB ACABC AB BC
，
0 ABC ，
4ABC ；
（2） ,4 4PBA PBC PCB PBC BPC ，
PBA PCB ，设 PBA ，
则在 PBC 中，由正弦定理得 , 2sin3sin sin 4
PB BC PB ，
在 APB△ 中，由正弦定理得 , 2 3sin5 6sinsin 66
PB AB PB
，
sin 3sin 3 sin cos cos sin6 6 6
，
化简可得 3tan 5
，故 3tan 5PBA ．
【名师点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是先得出 PBA PCB ，设
PBA ，由正弦定理可得 2sin 2 3sin 6PB
．
13 ． 在 ABC 中 ， a ， b ， c 分 别 为 角 A ， B ， C 的 对 边 ，
2 2 2sin sin sin sin sinA C B A C ．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 ABC 为锐角三角形， 3b ，求 2a c 的取值范围．
【试题来源】湖北省荆门龙泉中学、 2021 届高三下学期 2 月联考
【答案】（1）
3B ；（2） 0,3 ．
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再利用余弦定理求出角 B 的大小；（2）利用正弦定
理结合三角恒等变换化简 2a c ，再由锐角三角形得出 C 的范围，进而得出答案．
【 解 析 】（ 1 ） 由 已 知 2 2 2sin sin sin sin sinA C B A C ， 结 合 正 弦 定 理 ， 得
2 2 2a c b ac ．
再由余弦定理，得
2 2 2 1cos 2 2 2
a c b acB ac ac
，又 0,B ，则
3B ．
（2）由
3B ， 3b ，则由正弦定理，有
22 4sin 2sin 4sin 2sin3a c A C C C
2 24 sin cos cos sin 2sin 2 3 cos3 3C C C C
因为 ABC 为锐角三角形，则
6 2C ，则 30 cos 2C ．
所以 2a c 的取值范围为 0,3 ．
14．在 ABC 中，它的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且 2
3B ， 6b ．
（1）若 2cos cos 3A C ，求 ABC 的面积；
（2）试问 1 1 1a c
能否成立？若能成立，求此时 ABC 的周长；若不能成立，请说明理
由．
【试题来源】湖北省武汉市 2021 届高三下学期 3 月质量检测
【答案】（1） 3
3
；（2）不能成立，理由见解析．
【分析】（1）由于
3A C ，cos( ) cos cos sin sinA C A C A C ，得 1sin sin 6A C ，
结合正弦定理与面积公式可得结果；
（2）假设 1 1 1a c
能成立，得 a c ac ，由余弦定理， 2 2 2 2 cosb a c ac B 可得
3ac ，结合基本不等式判断即可．
【解析】（1）由 2
3B ，得
3A C ， cos( ) cos cos sin sinA C A C A C ，
即 1 cos cos sin sin2 A C A C ．
因为 2cos cos 3A C ，所以 1sin sin 6A C ．
因为
6 2 2sin sin 3
2
a c
A C
，所以 2 2 sina A ， 2 2 sinc C ．
所以 1 2 2 sin 2 2 sin sin 4sin sin sin2ABCS A C B A B C △
1 3 34 6 2 3
．
（2）假设 1 1 1a c
能成立，所以 a c ac ．
由余弦定理， 2 2 2 2 cosb a c ac B ，所以 2 26 a c ac ．
所以 2( ) 6a c ac ，所以 2( ) 6 0ac ac ，所以 3ac 或-2（舍），此时 3a c ac ．
不满足 2a c ac ，所以 1 1 1a c
不成立．
15．在 ABC 中， cos ( 3 sin ) sin cosB a b C b B C ．
（1）求 B；
（2）若 2c a ， ABC 的面积为 2 3
3
，求 ABC 的周长．
【试题来源】河北省张家口市 2021 届高三一模
【答案】（1）
3B ；（2） 2 2 3 ．
【分析】（1）由已知三角函数的等量关系，结合两角和正弦公式得 3 cos sina B b A ，根
据正弦定理、三角形内角的性质，即可求 B；（2）由三角形面积公式求出 a 、 c ，再根据余
弦定理求b ，即可求 ABC 的周长．
【解析】（1）由 cos ( 3 sin ) sin cosB a b C b B C ，
得 3 cos cos sin sin cosa B b B C b B C ，
所以 3 cos sin cos cos sina B b B C b B C ，即 3 cos sin( )a B b B C ，
所以 3 cos sina B b A ．
由正弦定理，得 3sin cos sin sinA B B A ，又 sin 0A ，
所以 3 cos sinB B ，即 tan 3B ， 0 B ，
所以
3B ．
（2）由 2 ,c a ABC 的面积为 2 3
3
，得 1 1 3 2 3sin 22 2 2 3ABCS ac B a a
，
解得 2 3
3a ，即 4 32 3c a ．
由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B ，
可得
2 2
2 2 3 4 3 2 3 4 3 12 43 3 3 3 2b
，解得 2b ．
所以 ABC 的周长为 2 3 4 32 2 2 33 3a b c ．
【名师点睛】（1）利用三角恒等变换及正弦定理，将已知条件化简为一个内角的函数值，根
据函数值确定角的大小．（2）综合应用正余弦定理求三角形的边，进而求其周长．
16． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知向量 ,sinm c a B ，
,sin sinn b a A C ，满足 //m n
ur r ．
（1）求 C；
（2）若 6 3 3c b a ，求 sin A ．
【试题来源】山东省泰安市 2020-2021 学年高三上学期 1 月月考
【答案】（1）
3
；（2） 6 2
4
．
【分析】（1）由 //m n
ur r 得出等式，再用正余弦定理即可；
（2）由正弦定理转化为角的关系，然后运用三角恒等变换公式即可．
【解析】（1）因为 //m n
ur r ，所以 sin sin sinc a A C b a B ，由正弦定理得
c a a c b a b ，所以 2 2 2a b c ab ，
所以
2 2 2 1cos 2 2 2
a b c abC ab ab
，因为 0,C ，故
3C ．
（2）由（1）知 2
3B A ，由题设及正弦定理得 26 sin 3sin 3sin3C A A
，
即 2 3 1cos sin sin2 2 2A A A ，可得 2sin 3 2A
．
由于 20 3A ，
3 3 3A ，所以 2cos 3 2A
，
故sin sin sin cos cos sin3 3 3 3 3 3A A A A
2 1 2 3 6 2
2 2 2 2 4
．
17． ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 3 cos cosA c a C ．
（1）求 c
b
；
（2）若 cos 2
cA b
，且 ABC 的面积为 9 11
4
，求 a ．
【试题来源】云南西南名校 2021 届高三下学期联考
【答案】（1） 3
3
；（2）3 3 ．
【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可求得结果；
（2）根据三角形的面积公式以及余弦定理可求得结果．
【解析】（1）因为 3 cos cosA c a C ，
所以由正弦定理可得 3sin cos sin sin cosC A C A C ，
即 3sin sin cos sin cos sinC C A A C A C ，
而 sin sinA C B ，所以 3c b ，故 3
3
c
b
．
（2）由（1）知 3cos 6A ，则 33sin 6A ，
又 ABC 的面积为 21 11 9 11sin2 4 4bc A c ，
则 3c ， 3 3b ．
由余弦定理得 2 2 2 32 cos 27 9 2 3 3 3 276a b c bc A ，
解得 3 3a ．
【名师点睛】利用正余弦定理以及三角形的面积公式求解是解题关键．
18．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c ，已知 cos cos 1
2
A C
a c
，
且 2b ．
（1）证明： 4 a c ；
（2）若 ABC 的周长为 2 3 2 ，求其面积S．
【试题来源】江苏省连云港市 2021 届高三下学期期初调研考试
【答案】（1）证明见解析；（2） 7
2
．
【分析】（1）解法一：用正弦定理化边为角，得到 2sin sin sinB A C ，再变成 2b ac ，
运用基本不等式可证明；解法二：用余弦定理化角为边，得到关系式 2b ac ，再用基本不
等式求解即可．（2）用余弦定理求出 3cos 4B ，再用三角形面积公式求解即可．
【解析】（1）解法一：由已知及正弦定理，得 cos cos 1
sin sin sin
A C
A C B
因为 cos cos cos sin cos sin sin( ) sin
sin sin sin sin sin sin sin sin
A C A C C A A C B
A C A C A c A c
所以 sin 1
sin sin sin
B
A c B
， 2sin sin sinB A C
由正弦定理得 2b ac ，即 4ac ． 2 4a c ac ．
解法二：由已知及余弦定理，得
2 2 2 2 2 1
2 2 2
b c a a b c
abc abc
，得 2 4 ac b ，
所以 2 4a c ac ．
（2）因为 ABC 的周长为 2 3 2 ，所以 a c 3 2 ，
因为 2 2 2 22 cos ( ) 2 2 cosb a c ac B a c ac ac B
因为 4ac ，所以 3cos 4B 得 7sin 4B ．
所以 1 7sin 2sin2 2
ABCS ac B B ．
19．已知 , ,a b c 是 ABC 的内角 , ,A B C 的对边，且
5cos cos 2 5sin sin cos2B C B C A ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ABC 的面积 3 3, 32S c ，求 sin sinB C 的值
【试题来源】江苏省百师联盟 2021 届高三下学期 3 月摸底联考
【答案】（1）
3A ；（2） 1
2
．
【分析】（1）由已知化简可得 22cos 5cos 3 0A A ，解出 1cos 2A 即可求出角 A 的
大小；（2）利用面积公式可求得b ，再利用余弦定理可求得 a ，进而求出 ABC 外接圆直
径，得出所求．
【解析】（1） 5cos cos 2 5sin sin cos2B C B C A ，
25cos( ) 2 2cos 1B C A ， 22cos 5cos 3 0A A ，
解得 1cos 2A 或 cos 3A （舍去）． 0 A ，所以
3A ．
（2） 3 13 sin2 2 3S bc ， 6bc ， 3, 2 3c b ，
由余弦定理得 2 2 2 12 3 6 9, 3a b c bc a ，
由正弦定理得 ABC 外接圆直径
32 2 3sin 3
2
aR A
，
2(2 ) sin sin 6R B C bc ，所以 1sin sin 2B C ．
【名师点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正余弦定理进行化简．
20．如图，在四边形 ABCD 中， 3 3CD ， 7BC ， 7cos 14CBD ．
（1）求 BDC∠ ；
（2）若
3A ，求 ABD△ 周长的最大值．
【试题来源】广东省广州市天河区 2021 届高考二模
【答案】（1）
6
；（2）12
【分析】（1）在 BCD△ 中，利用正弦定理可求得结果；
（2）在 BCD△ 中，由余弦定理可求得 4BD ，在 ABD△ 中，
3A ，设 ,AB x AD y ，
由余弦定理得
2 2 16 1cos 2 2
x yA xy
，即 2 2 16x y xy ，利用基本不等式求得
maxx y ，进而求出 ABD△ 周长的最大值．
【解析】（1）在 BCD△ 中， 7cos 14CBD Q ，
2
7 3sin 1 14 14
21CBD
，
利用正弦定理得
sin sin
CD BC
CBD BDC
，
37sin 114
2
sin 23 3
1
BC CBDBDC CD
又 CBD 为钝角， BDC 为锐角，
6BDC
（ 2 ） 在 BCD△ 中 ， 由 余 弦 定 理 得
2 2 2 27 27 7cos 2 142 7 3 3
BC BD CD BDCBD BC BD
解得 4BD 或 5BD （舍去）
在 ABD△ 中，
3A ，设 ,AB x AD y
由余弦定理得
2 2 2 2 2 16 1cos 2 2 2
AB AD D x yA AB
B
AD xy
，
即 2 2 16x y xy ，整理得 2 16 3x y xy ，
又 0, 0x y ，利用基本不等式得 2
2 31 3 46 x yx y xy
，
即 2
4 16x y ，即 2 64x y ，
当且仅当 4x y 时，等号成立，即 max 8x y ，
所以 max 8 4 12AB AD BD ，
所以 ABD△ 周长的最大值为 12.
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